si n

Ce théorème est évident si /i = 2, d'où ^„ = 6, ê^n-\ — '• Car les substitutions [a,» /3|f •••] ne contenant chacune qu'un cycle, ne sont autres que les diverses transpositions que Ton peut eflectuer entre les six lettres (j^i, y«,...). En les combinant ensemble, on obtiendra toutes les substitutions possibles, en nombre 1.2. 3. 4*5. 6.

328. Nous allons maintenant prouver que le théorème est vrai pour n s'il l'est pour /i — 1.

Nous avons vu (326) que les substitutions dérivées de celles de la forme [a,, |3,,...] permettent d'amener deux lettres données, (o, 0,1, 1,0, o,...j et (i, o, I, I, o, o,...) par exemple, à la place de deux lettres quelconques. Soient donc L une substitution quelconque de G; V la substitution dérivée des substitutions [a, /3,...] qui amène (o, o, i, i, o, o,...) et (1, o, I, I, o, o,...) aux mêmes places. On aura L=L'M, M étant une substitution de G, qui laisse ces deux lettres immobiles. Le nombre des systèmes de places distinctes que l'on peut assigner à ces deux lettres étant d'ailleurs égal à ^«(^h— i), l'ordre de G sera ^;, (^„ — i)0, 0 étant l'ordre du groupe partiel H formé par les substitutioif^ M (44).

Or ces substitutions, ne déplaçant pas (o, o, i, 1, o, o,...), (i, o, I, I, o, o,...) et n'altérant pas 94, laisseront évidemment invariable la fonction partielle ^ formée par ceux des termes de f 4 qui contiennent en facteur le produit de ces deux lettrés. Mais soit

îo,o, i,i,o,o,...)(i,o, i,f,o,o,...)(^\,/,,a:'j,/,,^'3,/3,...)l^,;^%:r*,^';,j?%

l'un de ces termes. Les relations (44) donneront

Donc les deux lettres {x\,y\,x^.y^,x^,yj^,...), {aft,y\fiJo''^,y\,a;\,y\,...) forment un cycle de la substitution [1, o, o, o, o, o,...J. Donc les lettres qui figurent dans cette substitution seront précisément Jes mêmes que celles qui figurent dans ^. Les substitutions de H, n'altérant pas cette fonction, permuteront exclusivement entre elles les <:R„— 2^„, = 2^""^ lettres restantes, qui n'y figurent pas.

329. Celles des substitutions [a, P»...J qui appartiennent à H permutent

!fJ8 LIVRE DEUXIÈME.

transilivement les 2^"-'^ letlres ci-dessus. Supposons en effet qu'il en soil autrement, et groupons ces lettres en classes, en réunissant ensemble celles que ces substitutions permutent entre elles. L'une au moins de ces classes contiendra tout au plus 2^""' lettres. Mais soit (a?,, y,, ^21 J'at ^»» J'tf-) une lettre de cette classe; ses indices satisfont aux deux relations suivantes :

.r, ri -+-^2/2 -4- ara 73 4-...^!, (^, H- i)y\ h- ^,7,-4-^373 -+-... ^o, d'où ^1^1.

D'ailleurs, pour qu'une substitution ra^, /3,, as, jSj, a,, /3,,...J netléplace ni (o, o, I, I, o, o,...) ni (i, o, i, i, o, o,...), mais déplace

(a?,, y,, a?2, J2» ^a.^'a»-..)» *' faudra qu'on ait

(5i) (a,-+-i)P, -f- (a, -+-!)( (îa 4-1) -i- «3^3 H-. «.^o, d*où p.^o,

(52) (JT, -h a. ) (7, H- (3i ) -+- (Xa-t- a,) (72 4- p,) 4- (^3 4- «3) (r^-*- P3) 4- . . . s o.

Autant donc ce système de relations aura de solutions, autant on aura de lettres (iPi -ha,, ^'i 4- jS,,...) différentes de (a?,, /i,...) et appartenant à la même classe.

• Or il existe (259) a^""'-}- 2""^ manières de déterminer aj^ if /S, 4- 1, ^:t« /^s*... pour satisfaire à la relation

(a, -i- l) (Pa-h l) 4- «3(334- .. .^O.

Posant en outre |S|^o, les relations (5o) et (5i) seront satisfaites : et Ton pourra déterminer a, par la relation (52), ce qui n'offre aucune difliculté, le coefficient j, 4- 13|, qui le multiplie, étant congru à 1.

Donc la classe considérée contient au moins 2^"""' -4- 2""* 4- 1 racines, nombre supérieur à 2^"""^ Nous arrivons donc à une contradiction.

Donc les substitutions de H permutent transitivement les 2**^* lettres considérées; et son ordre est égal à 2^''"^0,, 0, étant Tordre du groupe H| formé par celles de ses substitutions qui laissent immobiles une de ces lettres, choisie à volonté, par exemple (o, 1, 1, 1,0, o,...). En outre, toute substitution M prise dans H pourra évidemment se mettre sous la forme M' Mo M' étant la substitution dérivée de celles de la forme [a,, |3|,...] qui amène (o, i, 1, 1,0, o,...) à la même place que M, et M| une substitution de H,.

330. Les substitutions de H|, laissant immobiles les trois lettres (o, o, I, I, o, G,...), (1, o, I, I, o, o,...j, (o, I, I, î, o, o,...), et n'alté-

bËS SÛBStlTÛTIOKS. i39

raot pas f^, n^altéret'otit pas les fonctions ^^ ^i, ^2« respectivement ibrinées par ceux des termes de f 4 qui contiennent en facteur les produits ' (0,0, 1, 1,0. o,...) (1,0, t, 1.0,0,...), (0,0, 1, 1,0, £>,... )(o, 1,1, ï, 0,0,...), (i, 0, 1, 1,0,0,. .•)(o» 1^ 1, 1,0,0,...)'. Elles remplacent donc les unes par les autres les lettres de la forme (o, o, x^. y^f ^3» Xs^O' q^' seules jouissent de la propriété d*être déplacées par (|i et par ^t, sans l'être par ij;,. Soit donc <p\ la fonction partielle formée par ceux des termes de f^ qui sont exclusivement composés avec les ^;,«, lettres (o, o, ûo^^ y^^ x^, 73,... )• Toutes les substitutions de H, laisseront 94 invariable. Considérons d'autre part les substitutions [o, o, «2» ^2* ^3» P3»***]> ^t désignons par [o, o, «2, jSj» «3, jS,,...]' les substitutions partielles obtenues en ne conservant que ceux de leurs cycles qui sont formés par les racines (o, o, 072» y^f 073, Xa,...). Le théorème étant supposé vrai pour 2(71 — 1) indices, le groupe de la fonction 9^ sera évidemment dérivé des substitutions [o, o, «2, ^29 ^3» /S,,...]', et son ordre sera égal à Cl„^t. L'ordre du groupe partiel formé par celles de ses substitutions qui laissent immobile la

lettre (0,0, 1,1, o, o,...) sera ■^^^- Soient maintenant A' une substitution

de ce groupe partiel; A la substitution formée avec les [0,0, azy^ifOc^,^^,...} de la même manière que A' l'est avec les [o, o, «2» 132» ^st i^,,...]'. 11 est clair que A permute les lettres (o, o, X2* 72» ^3» J'3>-'0 de la même manière que A'; donc elle laisse immobile la lettre (o, o, i, 1, o, o,...). D'ailleurs les substitutions [o, o, «2, ^2* ^3> i^d»...]* ^^^^ ^''^ dérive, ne déplacent ni (i , o» I, I, o, o,...) ni (o, I, I, I , o, o,...); donc A ne les déplacera pas "^n plus, et appartiendra à H,.

331. Les ^^ substitutions A seront les seules que contienne H,. Soient en

e^et B une substitution de H,; B' la substitution obtenue en ne conser^

vant que ceux des cycles de B qui sont formés par les racines

(9» o, a?2.72» ^3>73»-«-) ' f\ sera invariable par B, ou, ce qui revient au

™éme, par B'. Donc B' se confond avec Tune des substitutions A'. La sub-

solution A, formée comme tout a l'heure, permutera évidemment les lettres

(^f o, J72» V2» ^2, y9f'") ^^ '3 même manière que B. On aura donc B = AC,

^ étant une nouvelle substitution qui laisse immobiles toutes les lettres

\^f o, a?2fy2» ^3» y»»-") s^însi que (1,0, i, 1,0,0,...) et (o, 1, i, 1, o, o,...j.

Or il est aisé de voir que C se réduit à l'unité. Car cette substitution,

'hissant immobiles les trois lettres (o, 0,1,1, o, o,...), (i, o, 1, i, o, o,...),

f^> o, X2f y 2^ ^3. y%y'*')^ laissera invariable le terme de 94 qui seul est divi-

iiO LIVRE DEUXIÈME.

sihic par leur produit. Donc elle laisse immobile la quatrième lettre qui figure dans ce terme, laquelle est (i, o, x^.y^y ^3»y3»*«-)- On voit de même que C, laissant immobiles (o, o, i, i, o, o, .. •)» (0,1,1,1,0,0,...), (o, o, 372,^2, iCa, js»'--)* laissera immobile (o, i, x^^y^^ ^»» v,,...). Considérons enfin une lettre de la forme (i, i, x^^y.^^ x^^y^,...) : celle lettre, multipliée par le produit

11,0. I -i-a:,-+-a:3n, o, I, !,...) (o, 1,0, j,4- i, i, i,...) (0,0, i -\- x^y,, i, ^3, .Vt,...)

forme un terme de 94. La substitution C, laissant immobiles ces trois derniers facteurs, laissera le quatrième immobile. Donc C, laissant immobile une lettre quelconque, se réduit à l'unité.

Donc les substitutions de Hf« et par suite celles de G, dérivent toutes de

la combinaison des substitutions [a,, So--«]« En outre, on a 0, = •^^^'»

et l'ordre de G sera égal à ^«(«^y,— 1)2*"""^ ^^- Remplaçant Û«, par sa

valeur déduite du théorème, que l'on suppose vrai pour /i — i, le théorème se trouve démontré pour n.

332. TiiKORÈME. — Le groupe G est isomorphe sans mériédrie au groupe ahélien.

Considérons en effet les deux substitutions

et cherchons la transformée de la première par la seconde. Si la quantité

t'st con£j[rue à 1 . chacun des cvcles de S aura une de ses lettres, et une seule, déplacée par T (322). Lorsqu'on effectuera la transformation de S par T, cette lettre sera remplacée par celle qui lui est associée dans T, et dont les indices surj)assent les siens respectivement de a,, ]3|,.... Donc les sommes d'indices, qui étaient respectivement congrues à ar,, v,,... dans chacun des cycles de S. seront congrues à j:, -h a,, v, -h |S,,... dans chacun

de^i odes de la transformée. Cette transformée sera donc

Soit au contraire K^o. Si quelqu'un des cycles de S a Tune de ses lettres déplacée par T, Tautre le sera aussi; et les indices de ces deux lettres seront accrus de la même quantité par la transformation. Les sommes d'indices dans les cycles de la transformée seront donc encore congrues à a?,, 7m... (mod. a), et la transformée sera égale à S.

On aura donc généralement

[«„ (3,,...]-* [a:,, j„. ..][«„ (3„. ..] = [jr, -4-aiK, /•, -h (3,K,. . .].

333. Toute substitution de G transforme la substitution [^o y ««...] en une substitution [^i, iq^...], ^^ >7if. étant des fonctions linéaires de x^y Ji**** dont les coefficients satisfont aux relations qui caractérisent le groupe abélien .

En effet, K étant une fonction linéaire de â?4, /i,... il en est de même de a?4 H- a, K, yiH-|3, K,.... On vérifie d'ailleurs aisément que ces dernières fonctions satisfont aux relations du groupe abélien. Donc notre assertion est vraie, si la transformante est une des substitutions [a,, |3|,...]. Mais G étant dérivé de substitutions de cette forme, on obtiendra la transformée de [x^y 7i>--*] par ^^^ substitution quelconque de G en opérant une suite de transformations par des substitutions de cette forme; et le type à la fois linéaire et abélien des fonctions ^^ v^i,... se conservera à chaque transformation.

334. Faisons maintenant correspondre à chaque substitution T du groupe G, qui transforme [^r^, j,,...] en [?,, >3|,...], une substitution linéaire

Il est évident qu'au produit de deux substitutions de G correspond le produit de leurs correspondantes : donc les substitutions Q forment un groupe F, isomorphe à G.

Cet isomorpMsme n'est pas mériédrique. Cherchons en effet quelles sont les substitutions de G qui ont pour correspondante l'unité. Soit S l'une d'elles. Elle est échangeable à chacune des substitutions [ot|, /3|,...]. Donc elle permute exclusivement entre elles, d'une part les lettres que [a,, /3«,...] déplace, d'autre part celles qu'elle ne déplace pas.

Soient donc (a?,, ji,...) une lettre quelconque; {x\y y\,..>) celle que S lui fait succéder. Ces deux lettres devront être a la fois déplacées ou non déplacées par chacune des substitutions [a«, |3|,...]. On aura donc (319),

ta UVRE DEUXIÈME.

quels que soient «,, |3,,..., la relation

(Foii

Donc S remplace (^m ji»...) par elle-même. Donc elle se réduit à Tuaité. Donc la substitution i de T correspond à une seule substitution de G; donc il n y a pas de mériédrie.

L'ordre de r est donc égal a

nombre égal à Tordre du groupe abélien. Mais d'autre part ses substitutions sont toutes abéliennes. Donc F se confond avec te groupe abélien.

335. Corollaire. — Le groupe G est simple^ si /i > 2. Car il est isomorphe au groupe abélien, qui est simple (227).

Si n = 2» le groupe G est formé de toutes les substitutions possibles entre

six lettres. Il a donc pour facteurs de composition 2 et ' ' '^' * (85). Il en sera de même du groupe abélien.

336. Étude du groupe G|. — Considérons maintenant le groupe G|, dont les substitutions n'altèrent pas la fonction ^j^, quel que soit l'entier jul.

Soit / = (^'i. y,,..., a?'„,y„)...(iPi'*\ yt'*^•••» ^n\yn) ''un quelconque des termes de (p^, |jl étant supposé impair. On voit comme au n^ 319 que le nombre m des facteurs de / inaltérés par la substitution [a,, ^,,..., a«, ^«J est congru a jjL(ai |3| -h ... -H a„^„). Donc, si a, |3, -h . . . -+-a„/3„=^ 1, le nombre 11 — m des facteurs altérés sera pair. Soit alors

T =. (X'., Y'.,. . ., X'„, Y'J. . . (X(^ Y^r^ . . . , Xir), Yir))

ce que devient t par la substitution [a«, ^i,..., a„, ^„] : on aura

X'^ -f- XJ -h . . .^^p H- JT* H- . . . -h (fx — m)cCf^Of

y; -h y; -h . . . =r\ n-r; 4- . . . h- (fx - m) (3e=o.

Donc T sera un terme de (p^ : et cette fonction n'est pas allérée par la substitution [«o ^i»***» ot„, ^„] sous la condition ci-dessus :

DBS SUBSTITUTIONS. 443

Nous appellerons, pour abréger, substitutions 1 celles de la forme

[a,, |3,,..., anf ^„] qui satisfont à cette condition.