De même f^ n'est pas altérée par la substitution

et plus généralement par celles de la forme lorsque Ton a.

sa'; (î, -^ a, p", H- . . .H- <P« 4- ««^so,

Opérons en effet sur / la substitution [a«, ^1,..., a;,» ^n] 6t soit T = (X'., V„ . . ., X'„, y:). . . (Xn ¥(»*),..., Xi»^), ¥(»*)) le terme résultant : on aura

X'p-i-XJ-f- .. .=a:p 4- a:J -+-...-+- (|ut — m)ap = |utap,

Opérons maintenant sur T la substitution [a^, |3'|,..., a„, p^] » soit m' le nombre des facteurs de T inaltérés par cette substitution : on aura (319)

m'=y (3;X.-f-a'. Y. -f-,..4-P',X„ -+.«'„ Y, -+.«'. p'.-f-... -+.«'„ (3', = IX (a, P', -f- «', p,-f-...4- a« P'„ -4- «„ P„) s o,

et si e = (?',. >î'i,.... C, VJ... (^i'*^ >3S^..., e\ •^L'^O est ce que devient T par cette opération, on aura

^-f-ç;-f-...=x;-hx;-+-...4-(/x-m')a;=/x(a,H-a;). r,;H.y,;4-...^Y;4-Y;-4-...-+.(a-m')p;^^(P, + p;).

Opérons de même sur 0 la substitution [a\, jS' ,..., a„f |S^]. Soit m'' le

.24i LIVRE DEUXIÈME.

nombre des facteurs de Q iniailtérés par cette substitution : on aura

et si 0= (a,, IT,,..., S„,K)-" (S',"', H*A..., EL"', HiT') est ce que devient & par cette opération, on aura

h; + h;+. ..=n;-i-y);+. . .+ (,z- ff»')a,s.u(p, + p; + ?;)=o.

Donc 6 est un terme de <P|^ : donc la substitution

n*altëre pas 9|^, mais transforme ses termes les uns dans les autres.

338. Théorème. — Le groupe G« est dérivé des seules substitutions 2 et A» et son ordre a>;, est égal à

a, { (2»-»-. I) 2»--». . . (2*- I) 2> j ilii^^, ,1 ^> 2,