sin=:Q

Soit d'abord n = 2. On aura

et les substitutions qui laissent cette fonction invariable dérivent évidemment de la substitution A, qui permute entre eux ses deux termes, jointe aux substitutions 2, qui permutent deux à deux les facteurs de chacun de ces termes. II est clair en outre que G« a pour ordre 2.(1.2.3)^.

Nous allons maintenant prouver que le théorème est vrai pour /i, s'il Test pour /i — I .

339. Le groupe I dérivé des substitutions 1 est contenu dans G, (336) : il est d'ailleurs transitif. En effet, supposons qu'il en soit autrement; on pourrait partager les ^„ lettres en classes, en réunissant celles que les substitutions de I permutent ensemble. Soient G la classe la moins nombreuse, (a?,, y,,...) une de ses lettres: la substitution [a,, |3,,...] la remplace par

une autre lettre [a:, -h a,, y, -h |3,,...] si Ton a, outre les conditions

(53) a, (3, -f-...-f-a„p«si,

(54) ^iri4-. . .-hXnXn^l,

la suivante

(55) (a:,H-a,)(7,-+-P,)-h... = i, ou Pia:,-f- a,/,-h,..4- P„ j:«H- a«^»= r.

On aura donc au moins autant de lettres différentes de la proposée et appartenant a la même classe» que les relations (53) et (55) donnent de solutions pour «1, |3|,...» oLnf ^n' Ov Tune au moins des quantités o^f, ji«... diffère de o (mod. 2) en vertu de la relation (54). Soil, pour fixer les idées, a?,^i. La relation (55) déterminera |3| en fonction des autres coefficients, qui satisferont à la congruence

isai(i — «ij, — Pao:,— «jja--... — P»ar„ — a«^'„) H- a, (3, h- . . . 4- a. j3« ^ («,— «, ^a) (Pï — «1 Xi) H- . . . •+- (a„ — a, j:„) ( P„ — «, j«J.

Cette congruence a 2^„| solutions : car a« peut être choisi arbitrairement, et Ton aura ensuite ^;,i manières distinctes de déterminer a^— «1^2» ^a"" «i/if-» et par suite, «a» /52*««««

Donc la classe G contient au moins 2<a^, + 1 lettres; donc la classe la plus nombreuse en contiendra au plus ^n-- ^^n^i — »•

340. Ce résultat est inadmissible : car il est aisé de prouver que la classe qui contient la lettre (i, i, o, o,..., o, o) contient plus de ^w— 2^„, — i lettres. En effet, cette lettre est déplacée par celles des substitutions 2, en nombre 2^^,, qui sont de la forme [a,, a,H-i, a2»P2f-» «n» |3«]» lesquelles la permutent avec les 2^;,, lettres de la forme(ai-f-i,a,, «a, /Sj,..., «;,, jS^,), et en' particulier- avec la lettre (i, o, j, i,..., 0,0). Or, soient «2, /Ba,...,»;,* P«des entiers quelconques» satisfaisante la condition «a^a-^-'-l-a/ip/i^i; la substitution [«a H- /Sa, «2 -H 1^2 H- i» «2» l^a,..., a„, |3„], laquelle est Tune des substitutions 2, remplace (i, o, i, i,..., o, o) par

(aa4- Pa-f- I, «j-f- j3a-+- I, «j "i" I , ^a "i" I , • • • , «», (3„).

En faisant varier «a, /Sa,..., ««, |3;„ on obtiendra ^„, nouvelles lettres appartenant à la même classe que les 2A„^t précédentes, dont elles différeront d'ailleurs essentiellement par cette circonstance que leurs deux premiers indices sont égaux.

3i»; LniŒJMEC]UÈME.

Ld classe coosidérée cootient dooc ao moins 3Ji|^i lettres, nombre supérieur à «A^ — 2il^., — I» /» étant supposé > 2.

341. Cela posé, soient L une substitution quelconque de G|, qui fasse succéder o, o, i , i,..., o, o à une autre lettre quelconque; L' la substitution de 1 qui produit ce même résultat : on aura L = L'M; M étant une substitution de G,, qui laisse ^o^ o, i, 1,..., o, o; immobile. Et Tordre de G, sera il«0, 0 étant Tordre du groupe partiel H formé par celles de ses substitutions qui sont de la forme M.

342. La substitution M, n'altérant pas la fonction f,» n'altérera pas la fonction partielle ^ formée par ceux de ses termes qui contiennent To, 0, 1 , 1 , . . . , o, G en facteur. Mais le facteur qui multiplie (o, o, 1 , i , . . . , o, o)

dans f!f est évidemment égal âV 'x,, v,,..., x^, j.) (x,, v',,..., x^.y^), la

sommation s'étendant à tous les couples de lettres qui forment les cycles de la substitution 0,0, i, 1,..., o, oj. Ces couples sont au nombre de Ji^4 ^320, : et )1, laissant ^ invariable, permutera exclusivement entre elles les A^ — 2^«-i — 1 = 2*""* — I lettres que cette fonction ne contient pas.

Réciproquement, celles des substitutions de 1 qui laissent (o, o, i , i ,. . . , o, o) immobile permutent transitivement ces a'*~~^— i lettres. Car s'il en était autrement, on pourrait répartir ces lettres en classes, en réunissant ensemble celles qui sont permutées ensemble par ces substitutions; et Tune au moins de ces classes contiendrait au plus a''"-^— i lettres. C'est impossible; car, soit ^J?i, V,, a:,, Vj,..., x^, y^) une lettre de cette classe, on aura

X, y\ -h XtXi -^- . . . 4- X, r« ^ I, X, V, -»- X: -h I r2-i-i H-. . .-f- X, ?-,^o, d'où X, -Kr»^o.

La substitution 'a,, jâ,, or,, jS,,..., a^, jS« sera de la fonme 2, ne déplacera pas 'o, G, I, I,..., o, g) et déplacera (a?,, 7,, arj,y,,..., x^, v,,), si Ton a

a, ^, -h at, ^a -h . . . -t- a, 3, ^ 1 , 22 + ^^ o, 3, X, -+- a, »•, H- 3: X: -i- a: >-j 4- . . . -^ 3, x« -i- a, >*, ^ I ,

d*oij

\ atj == Pa = I — Xi fil — atj 3j — ... — 2a j^a,

' 3, X, -K 3t, }\ 4- l^jXj -f- a,^*3 4- . . . H- ^« Xa -I- a. V. = 1 .

Mais ^a-f, j,, a:,, ^j,.. ., x„, y„} diffère de /^o, g, i, i,.. ., 0, o); donc

^o/m ^«» J'if-f ^/i» yn ne peuvent être à la fois congrus à zéro : les relations (56) déterminent donc a,. |3a et Tune des quantités a^ |S|» ^3* jSs****» ûr«« jâ^f les autres restant arbitraires; ce qui donne 2^"^' systèmes de valeurs pour ces quantités. Donc la classe qui contient (ar«,yi, x^^y^y...^ x^^ y„) contiendra au moins 2^""^ lettres différentes de celles-là; elle en contient donc plus de a*'^' — i .

Cela posé, on aura évidemment M = M'Mi; M' étant une des substitutions de-I, et M« une substitution de 6| , qui laisse immobile, outre (o, o, I, i,.v, o, o), l'une des 2*""^— i lettres considérées, par exemple (i, o, I, I,..., o, o); et 0 sera égal à (a*""*— O^o 0, étant Tordre du groupe partiel formé par celles des substitutions de G| qui sont de la forme M,.

343. La substitution M«, n'altérant pas f ,, et laissant immobiles les deux lettres (o, o, i, i,..., o, o) et (1,0, i, i,..., o, o), laissera invariables les deux fonctions vp, ^i formées respectivement par ceux des termes de 93 qui contiennent ces deux lettres en facteur. Donc elle remplacera les unes par les autres les lettres qui figurent dans (|/{ et non dans 4^. Les indices de ces lettres sont donnés par les solutions des congruences

^iji -^ ^»/» -4- x^Xi-h. .. = 1, ^i/» -•:(^a-+- 0(7*4- 0 -+-a:sJ3-^ ... = o, (X, H- 1) j, -f- (;r, -+- 1 ) (/, 4- 1) -h XiX^ -I- . . . = r , OU

Xi ^= ï , Xi ^s jTj ^= ' — Xi — x^y\ — . . . ,

lesquelles sont évidemment en nombre a*""*.

Or celles des substitutions de I qui laissent immobiles (0,0, 1 , 1 , . . . , o, oj et (i, o, I, I,..., o, o) permutent transitivement ces 2*""' lettres. Car s'il en était autrement, on pourrait répartir ces lettres en classes, dont Tune contiendrait au plus 2*""* lettres. C'est impossible : car soit (jKTi, j',, a?„ ^2, ...» 0?^, ^„) une de ces lettres; la classe qui la renferme contiendra au moins autant d'autres lettres qu'il y a de solutions aux congruences

P,^, H-a,/, 4- (îa^a 4- «aj, -4-^3^5 -+-«3^-5 4" • • . = I ,

d'où

( a./, 4-p3^j4- «SJ34-. ..çsi.