GÉNÉRALITÉS

§ I*^. — Théorie générale des irrationnelles.

348. Soit Y{x) = o une équalion algébrique quelconque de degré m. Elle aura m racines : et Ton sait que toute fonction symétrique de ces racines s'exprime rationnellement par les coeOicients de Téquation.

Ces fonctions sont en général les seules qui jouissent de cette propriété. Supposons en effet qu'on ait (p = ^, 9 étant une fonction non symétrique des racines, et ^ une fonction rationnelle des coefficients. Substituons dans ^ à la place de chacun des coefficients sa valeur en fonction des racines; l'équation f = vp deviendra une relation entre les racines, relation qui ne pourra se réduire à une identité, puisque le second membre est symétrique, et que le premier ne Test pas. Mais ou ne peut admettre qu'il existe en général et nécessairement aucune relation de cette espèce entre les racines : car on peut former une équation du degré m ayant pour racines m quantités entièrement arbitraires x^,..., a*,„. C'est donc seulement dans certains cas particuliers qu'il pourra exister entre les racines des relations telles, qu'une fonction non symétrique de ces racines soit exprimable rationnellement au moyen des coefficients.

Mais on peut généraliser le problème, et chercher quelles sont, pour chaque équation donirée Y{x) = o, les fonctions des racines susceptibles d'être exprimées rationnellement en fonction des coefficients et de certaines irrationnelles données arbitrairement à priori, irrationnelles que nous dirons adjointes à F équation.

Nous considérerons dorénavant comme rationnelle toute quantité expri-

i5i UVRE TROISIÈME.

mable rationnellement au moyen des coefficients de Téquation et des quantités adjointes.

Une équation à coefficients rationnels est dite irréductible, lorsqu'elle n*a aucune racine commune avec aucune équation de degré moindre et à coefficients rationnels.

349 . Lemme I . — Si l'une des racines d'une équation irréductible f{x) = o satisfait à une autre équation à coefficients rationnels 9(0?) = o, toutes y satisfont.

En effet, cherchons le plus grand commun diviseur de (f{x) et de /{x) : il ne peut se réduire à une constante, les équations /{x) = o et (p{x) = o ayant des racines communes : cessera donc une fonction de x, ^(^); en régalant à zéro, on aura une équation dont les racines satisfont évidemment à chacune des deux équations ç(a?) = o et /{x) = o. Celte dernière équation étant irréductible, le degré de ^{x) ne peut être inférieur à celui de /{x) : donc ^{x) est égal à /{x), à un facteur constant près.

Corollaire. — Si toutes les racines de V équation 9(0?) = 0 satisfont à r équation f{x) = o, ç(a?) sera une puissance exacte de /{x), à un facteur constant prés .

En effet ff{x) est divisible par /(a?) (Lemme I). Si le quotient de cette division ne se réduit pas à une constante, il sera lui-même divisible par f[x)\ etc.

350. Lemme IL — Soit Y[x) =0 une équation dont les racines x^^^.^œ^ soient toutes inégales. On peut déterminer une fonction V de ces racines, telle, que les i .2.3... m expressions que Von obtient en y permutant les racines de toutes les manières possibles^ soient distinctes en valeur numérique.

Posons en effet

V = Mi^F, -h Ma JT, 4- ...,

M«,M2,... étant des entiers indéterminés. En égalant entre elles deux quelconques des fonctions qui dérivent de Y par des substitutions entré les racines x^,...,x^, on aurait une équation de condition à laquelle devraient satisfaire M«, M,,.... Aucune de ces équations n'est identique : car les coefficients de M,,M2,... dans chacune d'elles sont les différences des racines o^i,..., Xfn^ qui par hypothèse ne sont pas nulles. D'ailleurs ces équalioDS sont en nombre limité. Il est donc aisé de déterminer les entiers M|, Msf... de manière à ne satisfaire à aucune d'elles.

DES IRRATIONNELLES. iS»

Nous désignerons dans ce qui suit par ¥« Tune des valeurs de la fonction Vt choisie arbitrairement; par ¥«, V^,... les valeurs qui se déduisent de celle-là, lorsqu'on y elTectue entre les racines les substitutions respectivement représentées para, 6,....

331. Corollaire. — Soii G un groupe quelconque de substitutions entre les racines a?|,..., x^. On peut former une fonction W de ces racines ^ dont la valeur numérique soit invariable par les substitutions de G, et varie par toute autre substitution.

Soient en effet i , a, &,... les substitutions de G. Posons

X étant une constante indéterminée. Une substitution de G, telle que a, transforme W, en

mais les substitutions i , a, 6,..., formant un groupe, se confondent, a Tordre près, avec a, a^, 6a,...; les facteurs binômes qui composent W^ sont donc les mêmes, à l'ordre près, que ceux qui composent W| : cette fonction n'est donc altérée par aucune substitution de G. Soit au contraire a une substitution étrangère a ce groupe; elle transforme W| en

( X ~ V. ) ( X - V.. ) ( X ~ Vé. ) . . . = W..

Les facteurs binômes qui composent W^ étant essentiellement différents de ceux qui composent W|, ces deux expressions ne sont pas identiques, et ne pourraient prendre des valeurs égales que pour certaines valeurs particulières de la quantité X, qu'il sera aisé d'éviter.

332. Lemme III. — La fonction V étant choisie comme au lemme U, on pourra exprimer chacune des racines Xt,.,.fXm en fonction rationnelle de V, et des coefficients de Y {ce).

Soient V,,...Vp, les |x= i.2.3...(m — i) valeurs que prend V quand on y permute les m— i racines â?s» ^tf.« ^mf ssins changer la place de x^. On pourra former une équation en V du degré |x, à savoir :

dont les racines V,,Va,.*- seront toutes différentes, et dont les coefficients.

qui sont des fonctions symétriques des racines X29X3,...,Xm de réquation

ll£l=:0

jl ~~~ uC \

s'exprimeront rationnellement par les coefficients de cette équation, c'està-dire en fonction de ar, et des coefficients de Y[x). Par suite Téquation (i) pourra être mise sous la forme

f désignant une fonction rationnelle de V et de x^. Or cette équation est satisfaite pour V = V,; on aura donc identiquement

d'où il suit que l'équation

sera satisfaite pour x = x^: el par conséquent les équations F(a7) = oet /(V,,a?) = o auront une racine commune a?,. D'ailleurs ces équations ne sauraient avoir d'autre racine commune. Car si elles en avaient une autre, 0:2» l'équation

serait satisfaite pour V = V,. Or cette équation se déduit de l'équation

/{V,^,) = o, ou (V-V.)(V-V,) ..(V-V^)=o,

en changeant x^ et x^ J'un dans l'autre : d'ailleurs par ce changement les quantités V,, V2,...,V|i se changent en d'autres V',, Vjj,..,, V'^, toutes distinctes des premières, par hypothèse; réquation/(V,;r2) = o peut donc se mettre sous la forme

et Ton voit qu'elle ne saurait avoir V, pour racine.

Les équations F(jc) = o et f(S ^^x) = o n'ayant que la seule racine commune a;,, on déterminera aisément cette racine. Pour cela on cherchera le plus grand commun diviseur entre Y[x) et /(V,,x), et l'on poussera l'opération jusqu'à ce qu'on obtienne un reste du premier degré en x : en égalant à zéro ce reste, on aura une équation qui fera connaître la valeur de x^\ et cette

f»8 UVRE TROBIEHE.

rapport aux racines de réquation (3)» s'exprimera ratioDoellement par les coefTicients de cette équation, qui sont eux-mêmes rationnels.

Réciproquement» toute fonction exprimable rationnellement sera invariable par les substitutions i, a, 6,,... Soit en effet (pz=^{\^) une pareille fonction : Yi satisfaisant à l'équation a coefficients rationnels f = ^(V|), toutes les racines V,, V^, V^,... de Téquation irréductible (3) devront y satisfaire : donc la fonction ^(V| ) ne varie pas quand on y remplace successivement ¥« par Va, y^,..., ce qui revient à opérer entre les racines a?,,...» â?^ 1^ substitutions a, &,....

354. Il ne reste plus qu'à démontrer que les substitutions i, a, b^... /arment un groupe, ce qui ne présente pas de difficulté.

Le polynôme Y étant une fonction de l'indéterminée X, dont les coefficients sont rationnels, ne devra varier par aucune des substitutions i » a» 6» ... . Effectuons, par exemple, la substitution a. Ce polynôme devient

Pour que ce nouveau polynôme soit identique à Y, quel que soit X, il faut nécessairement que les quantités Y^, Y^i, Y^,... ne soient autres que les quantités Y|, Y«, Y^,... à Tordre près. Mais, par hypothèse, deux substitutions distinctes donnent pour la fonction Y des valeurs essentiellement différentes. Il faudra donc que les substitutions a, a^, 6a,... soient identiques à l'ordre près aux substitutions i, a, 6, — Ainsi, aei b étant deux substitutions quelconques de la suite i, a, 6,..., la substitution 6a fera également partie de cette suite : les substitutions de cette suite forment donc un groupe.

355. Le groupe défini par le théorème précédent peut être appelé groupe de V équation relatif aux quantités adjointes y, z^....(jd groupe poui varier suivant la nature des quantités adjointes. Parmi tous les groupes que Ton peut ainsi obtenir, il en est un G particulièrement remarquable» ei que nous pourrons appeler d*une manière absolue le groupe de Véquation. C'e& celui qu*on obtient en supposant qu'il n'y ait aucune quantité adjointe.

Ce groupe contient tous les autres : car, soit H le groupe que Ton obtiei en adjoignant k l'équation des quantités v, s,... arbitrairement choisies ^ une fonction invariable par les substitutions de G et variable par toute auL. y. substitution est exprimable rationnellement avant» et à fortiori après V\ jonction de v, js,...; donc elle sera invariable par toutes les substitufii de H : donc toutes ces substitutions sont contenues dans G.

356. Corollaire. — Si deux fonctions (p^f^^, des racines de la proposée, sont numériquement égales, la même égalité subsistera entre les fonctions <faf ^a* obtenues en efTectuant dans chacune d'elles Tune quelconque des substitutions de G, car la fonction ff — (|/|, étant nulle, est exprimable rationnellement; donc elle n*est pas altérée par la substitution a : donc 9«— ^fl = o.

357. Théorème II. — Toute équation irréductible F(x) = o a son groupe transitifs et réciproquement.

Car supposons que son groupe G ne soit pas transitif : soient a?, Tune quelconque de ses racines; rr,,..., a?,„ les racines avec lesquelles elle est permutée parles substitutions de G; ces substitutions, remplaçant les racines x^^..., Xn\es unes par les autres, n'altërent pas leurs fonctions symétriques : donc ces fonctions symétriques sont rationnelles. Donc F(a?) admet le diviseur rationnel (a? — ic,)...(a? — ic,„).

Réciproquement, supposons que G soit transitif: F(a?) ne peut admettre de diviseur rationnel tel que {x — Xt).,.{x — Xm)' Car soit rc,„4., une racine de Téquation autre que x^,...,Xm: G contient une substitution qui remplace j?i para?;,,^., : elle transformera {x ^Xt)...{x — x,„) en un nouveau produit différent de celui-là, puisqu'il admet le facteur x — Xn^^ : donc le produit {x — Xi)...{x —Xn)f n'étant pas invariable par toutes les substitutions de G, ne peut être rationnel.

358. Tbkorème III. — V ordre du groupe d*une équation irréductible de degré n, dont les racines sont des fonctions rationnelles d'une seule d'entre eUeSy a?«, est égcd à n.

Car soient Xt,...fX„ les racines de l'équation, Yi une fonction de ces racinse variable par toute substitution; elle peut s'exprimer en fonction de x^ seulement. Soit ¥« =/(^i ) : cette fonction satisfait a l'équation de degré n

dont les coefficients, symétriques en a?4,..., Xnf sont rationnels. Donc l'ordre du groupe de l'équation (lequel est le degré de l'équation irréductible dont V| est racine) ne peut être supérieur à n. Mais, d'autre part, ce groupe étant transitif, son ordre est divisible par n (44) : donc il est égal à n.

359. Théorème IV. — Le groupe de l'équation de degré mn obtenue en

éliminant y entre les deux équations

oii A, B,... sont des constantes rationnelles et M(j), N(j),... des fonctions rationnelles de y^ n'est pas primitif. Réciproquement, toute équation dont le groupe n'est pas primitif résulte dune semblable élimination.

Soient 7,,..., j,„ les racines de Téquation Ay -+-... = 0; x^^x^ ,... celles (le Téquation M(jp)a/'4-... = o; 9, une fonction symétrique de â?i»â?'|«...; fp la fonction analogue formée avec x^,x^ ,...; ^ une fonction symétrique de <pi,..., <p;„. Cette fonction ^ sera exprimable rationnellement : car fp, s'exprimant rationnellement par les coefficients M (jp),... est une fonction rationnelle de y^, dont les coefficients ne dépendent pas de p; substituant dans vp pour les quantités fp leur valeurs en jp, ^ deviendra une fonction symétrique de y,,..., y,;, : elle s'exprimera donc rationnellement en A, B,....'

Le groupe de Téquation est donc contenu dans celui dont les substitutions laissent invariable la fonction ^, lequel est évidemment non primitif, ses substitutions remplaçant les racines de chacun des systèmes 07,, a7'j, ...;..,; x^fX^^... par celles d'un même système.

Réciproquement, soit ¥{x) = o une équation dont le groupe G ne soit pas primitif. Ses racines se répartissent, par définition, en m systèmes Xi, x\, ...;...; XfnfX^,..., contenant chacun n racines, et tels, que toute substitution de G remplace les racines d'un système par celles d'un même système.

Soient y^ = [X — x^) {X — x^ )..., X étant une indéterminée; ^ une fonction symétrique de y^^-^^ym' ^ n'étant altérée ni par les déplacements d'ensemble des systèmes a?,, x\, ...;,.,; x^, ^';„,..., ni par les déplacements des racines dans l'intérieur de chacun d'eux, sera invariable par toute substitution de G, et par suite rationnelle. Les diverses fonctions j",,..., Jm sont donc les racines d'une équation du degré m à coefficients rationnels, telle

que

Cela posé, toute fonction symétrique de Xt, x\,... s'exprime rationnellement en fonction de j, {voir plus loin le n"^ 362). On aura donc

On aura de même

(a: — Xp) ( j: — yj . . . z= M (/p ) :r" -f . . . .

DES IRRATIONNELLES. 2fîl

Donc enfin Téquation

est le résultat de rélimination de y entre les deux équations

A/"-f-... = o et M(j) jr^-h. . . = o.

360. Nous dirons désormais qu'une équation esl primitwe ou non prindùve^ simple ou composée^ suivant que son groupe est primitif ou non primitif, simple ou composé : l'ordre de Téquation et ses /acteurs de composition seront Tordre et les facteurs de composition de son groupe : deux équations seront isomorphes si leurs groupes sont isomorphes, etc.

361. Le groupe d'une équation étant connu, on peut se proposer de le diminuer progressivement par Tadjonction successive de quantités auxiliaires. A chacune de ces adjonctions deux cas pourront se présenter, i^ Si Téquation irréductible (3) reste irréductible, il est clair que le groupe ne subira aucun changement. Si au contraire, grâce a l'adjonction nouvelle, le polynônic (X — V,) (X — V«) (X — V^).. . se décompose en facteurs plus simples, (X — V,) (X — V«)..., (X — V^)...,... on obtiendra un nouveau groupe H, moindre que G, et formé des seules substitutions i , a, —

Nous examinerons d'abord ce qui arrive lorsqu'on adjoint à l'équation proposée certaines fonctions de ses racines; puis nous passerons au cas où les quantités adjointes seraient des fonctions des racines d'autres équations.

362. Théorème V. — Soient G le groupe d'une équation F(^) = o, fi une /onction rationnelle quelconque de ses racines : i" celles des substitutiens de G qui n altèrent pas la valeur numérique de qp, /orment un groupe H, ; a® V adjonction de la valeur de y, réduira le groupe de V équation précisément

I® Soient en effet a, a, deux substitution^ de G qui n'altèrent pas ç),; on aura ç^=Ç|, <p^^ = ç,. De la dernière égalité on déduit (356) la suivante, f^^ = f^ = f,. Ainsi la substitution a^a n'altérera pas la fonction 9«, ce qui démontre la première de nos proposition."".

a® Adjoignons la valeur de y, à l'équalion. Après cette opération, le groupe réduit de l'équation ne peut contenir que des substitutions qui faisaient partie du groupe initial G: d'ailleurs il ne peut contenir que des substitutions qui n'altèrent pas (pi, la valeur de cette quantité étant supposée rationnellement connue : donc toutes ses substitutions sont contenues

â<l2 LIVRE TROISIÈME.

dans H,. RéciproquenieDt il contiendra toutes leslMibstitutions de H|. Soient en effet a une de ces dernières substitutions, ipi une fonction des racines exprimable rationnellement en fonction de f>, et des quantités précédemment connues : et soit

Y^ désignant une fonction rationnelle. On déduira de cette égalité la suivante (356), tj/^ = ;^(ç^), et comme 9« = ç,, il viendra tj;«=i|;,. Ainsi, toute fonction ^^ exprimable rationnellement sera invariable par la substitution a : cette substitution fait donc partie du groupe réduit.

Corollaire I. — V adjonction de plusieurs fonctions des racines^ ç,, f'g»... réduit le groupe de l'équation au groupe H' formé par celles de ses substitutions qui n altèrent ni (f^, /ïi ç', , etc.

Corollaire II. ■— Deux fonctions <p, et if^, invariables pcw les mêmes substitutions de G, s'expriment rationnellement l'une par Vautre.

Car, en adjoignant 9, à Téquation, on réduit son groupe a celles de ses substitutions qui n'altèrent pas 9,; et ^,, étant invariable par ces substitutions, devient rationnel.

363. On peut réaliser le calcul de ^1 en fonction de 9, de la manière suivante. Soient j,a, a^... celles des substitutions de G qui laissent la valeur de 91 invariable : celles de G seront i, a, cii,.:.; b^ ab, a^h^,..\ c, oc, aiC, . ..; . ..; b.c^... étant des substitutions convenablement choisies (39). Cela posé, on voit comme au n^ 61 : i^ que, m étant un entier quelconque, la fonction

est invariable par les substitutions de G, et par suite exprimable rationneU lement; 2^ qu'en posant

/(Y) = (Y-9.)(Y-9,)..., /ilL = Y'*- + >,,Y^-»-^...+X„

il viendra

**" fM

Les quantités qui entrent dans cette expression avec 9, sont /,, /'j,...,/^{^*^ et les coefficients de /(Y), lesquels, étant également invariables parles substitutions de G, sont rationnels.

364. Soit maintenant Tf une fonction des racines de Téquation proposée

¥(a[^) = o^ invariable par les substitutions de G, et variable par toute

;iut.re substitution. Chacune des quantités /|,..., /\'"~*^ et chacun des coetii-

cients de /(Y) peut s'exprimer en fonction de r, et des coefficients de F (a?).

Ki^ effet considérons Tune d'elles, telle que /,. Soient i, a, 6,... les substi-

itit.ioDsde G : les diverses substitutions possibles entre les racines de la

proposée seront i, a, 6,...; j3, aj3, 6p,...; y, ay, Ay,. ..;..., j3, y,... étant

des substitutions convenablement choisies (39); et Ton voit comme tout à

VVieure que, n étant un entier quelconque, chacune de ces substitutions

Xaîsse invariable la fonction

On aura donc

(/i étant le degré de la proposée), expression symétrique par rapport aux racines, et qui pourra s'exprimer rationnellement en fonction des coefficients de F(j:), par les méthodes connues. Soit maintenant

.f ( Z) = ( Z - T. ) ( Z - Tp ) . . . , f^ — Z, H- /v- 2 Z,, -h ... -h /. ;

il viendra

0,/,-4-e',/,-h...-f-er*^

expression qui ne contient avec T| que les quantités $^,ff^,... et les coefficients de ^(Z), lesquels, restant aussi invariables par toute substitution opérée entre les racines de Téquation F(a?) = o, seront aussi exprimables rationnellement en fonction de ses coefficients.

363. La méthode de calcul qui vient d'être exposée est due à Lagrange. Il s'en est servi pour établir la proposition suivante :

Soient F(a?) = o une équation algébrique; t, une fonction de ses racines, dont l'expression algébrique reste invariable par un certain groupe de substitutions (i, a, 6,...), e/ dont toutes les valeurs algébriquement distinctes le soient aussi numériquement. Toute fonction /, des racines de cette équation dont ces substitutions n'altèrent pas la forme algébrique est exprimable en fonction raiionneUe de r, et des coefficients deY[x).

26 i UVRE TROISIÈME.

Soient en efTet i, a, 6,...; /3, a]3, 6]3,...; y, ay, fry,. ..;... les diverses substitutions possibles entre les racines; n un entier quelconque : la fonction T^j /, -hTj/p-4-... = ô"' sera invariable par toute substitution et par suite s'exprimera rationnellement en fonction des coeflicients. Cela posé, /, s'exprimera parla formule (4).

366. Théorème VI. — Tout étant posé comme au théorème V, soient a«, a^, ^2.... les substitutions de H, [a^ se réduisant à i) : a^, a«, as*...; a«6, a,fr, a^fr,...; a^c, a^c, a^c,...;... celles de G : l'équation

(5) (Y-9.)(Y-(p4)(Y-(pc)... = o.

c/o/i/ le degré est égal au rapport des ordres deG et deHi^ aura ses coefficients rationnels, et sera irréductible.

1^ Soit a une substitution quelconque de G : elle transforme les uns dans les autres les termes 9,, <p^, ^c»** (61 et 363). Les coeflBcients de Téquation (5), symétriques en ^i, f^, 9c>---> ^^ seront donc pas altérés para: mais a est Tune quelconque des substitutions de G : donc ils sont rationnels.

2^ L'équation (5) est irréductible : car si elle admettait, par exemple, le facteur rationnel (Y — 9,) (Y — 9^), ce facteur resterait inaltéré par la substitution c : mais cette substitution le transforme en (Y — fc)(Y — f^e) ' pour qu'il restât inaltéré, Y restant indéterminé, il faudrait que f^t fbc fussent égales à Tordre près a 91, 9^. Soit par exemple (fe = <fb ' on en conclurait 9c6~' = Tf (356). Donc c6~' serait l'une dos substitutions ûq» «m «»»... et c serait de la forme a^b, ce qui n'est pas.

367. Remarque. — Les substitutions de G qui n altèrent pas 9< étant ^0, a,,..., celles qui n altèrent pas 9^ seront b^* a^b, b~^aj),,..\ celles qui n'altèrent pas 9^ seront c* a^Cy c~* a, c, ... ; etc. Car soit a une substitution de G qui n'altère pas 9^ : on aura

94 rir 94,, (1*011 9, = 9m-', d*où 60-6"' == flp, 0- = b-^a^b.

368. Théorème VII. —. Tout étant posé comme aux théorèmes précédents ^ l'adjonction simultanée des valeurs de(f^^ 9^» ?c« • • • réduira le groupe de l'équation proposée à 1, 1 étant le groupe le plus général parmi ceux qui sont contenus dans H, et permutables aux substitutions de G.

En effet, le groupe se trouve réduit aux substitutions communes aux

groupes

respectivement formés par les substitutions qui n'altcrent pas 91, f^, (p^,.... Or soient! le groupe formé par ces substitutions communes; s une quelconque de ses substitutions; a une substitution quelconque de G : la substitution (T^so sera commune aux groupes transformés de H^H^, Hc,... par (T. Mais ces groupes transformés sont identiques, à Tordre près, à H, , H^,

Hc Car chacune des substitutions a, 6<7, ca,..., appartenant à G. pourra

se mettre sous Tune des formes ap, a^fr, a^c,.... Soit par exemple ba=a^d\ le groupe transformé de H^ par a sera formé des substitutions

(T^^ b'^ a^b d =z d^'a'^a^a^dy (j^^b-^aiba=z rf""*fl~*a,aprf, . . . ,

€]ui ne sont autres que les substitutions de Hj. Donc a'* s a appartient à J : oe groupe est donc permutable à a : donc il est contenu dans I.

Réciproquement, le groupe I étant contenu dans H|, les transformées de ses substitutions par b, c,... seront contenues dans H^, Hc*...; mais ces t.ransformées reproduisent, à Tordre près, les substitutions de I; donc toutes les substitutions de I sont communes à H|, H^, H^,...

369. Remarque. — Dans le cas particulier où H| serait permutable à iLOutes les substitutions de G, on aurait

H| -- H4 = Hc := . . . =1,

^t les fonctions 9i, 9^, ^c**-» invariables par les mêmes substitutions de G, s'exprimeraient rationnellement en fonction de Tune quelconque d'entre «Iles.

Réciproquement, si les fonctions ^«, ^^, fc»*-* s'expriment rationnellement en fonction d'une seule d'entre elles, elles seront invariables par les mêmes substitutions de G : on aura donc H, == H^ = Hc,...f et ce groupe sera transformé en lui-même par toutes les substitutions de G.

370. Théorème VIII. - Soient îi Tordre de G; W = ^ l'ordre del: Tordre

du groupe G' de T équation (5) sera v.

Posons en effet W= M,9< -i-M^f^-H McÇ>c-<----» M^ M^, Met... étant des constantes indéterminées : W sera racine d'une équation irréductible d'un degré égal à Tordre du groupe de Téquation (5) (353). Mais, d'autre

part, W peut être considérée comme fonction des racines de l'éiiiïîn F('x) = o, laquelle fonction, non altérée par les substitutions de I, l'est (■vidcmmenl par toute autre substitution de G. Elle dépend donc d'une éi|uatioi) irréductible dont le degré est égal à v, rapport des ordres de G ot de I (366).

371. TiiKuRÈHE IX. — S' il n' existe aucun groupe plus général que l (fUt ioi( contenu dant G el permutable à ses substitutions, le groupe G' sera simple.

Car s'il existe un groupe 1' contenu dans G' et permutable îi ses substitutions, soit v' son ordre : une fonction >^ des racines de l'équation { 5j. invariable p»r les substitutions de 1' el variable par toute autre subslitulion

dépendra d'une équation irréductible de degré — (366), dont les raei»

seront fonctions rationnelles les unes des auties (369). M»is tj- peut être considérée comme une fonction des racines de F(ar) = o; soit.l^ le groupe formé par celles des substitutions de G qui ne l'allèrenl pas : i" L contiendrai, dont les substitutions, n'altérant pas y,, pj, ^c,..., ne peuvent altérer i}<; 2" il sera plus général, car son ordre étant égal à celui de G, divisé par le

degré — de l'équation irréductible dont dépend 4< (366), est égal à — .

celui de I étant simplement — ; 3" enfin les racines de l'équation en ((i étaol

fonctions rationnelles les unes des .lulres, L est permutable aux substili lions de G (369).

Kn renversant ce raisonnement, on démontre que : réciproquement, s'il existe un groupe L plus général que 1, qui soit contenu dans G el permutable à ses substitutions , G' ne sera pas simple; car on pourra déterminer un j;roupe I' contenu dans G' et permutable à ses substitutions.

372. Théorème X. — Soient F( j:) — o une équation dont le groupe G soir lumposé : G , 1 , 1 , , . . . une suite de groupes tels : i " que chacun d'eux soit canif nu dans le précédent et permutable à ses substitutions ; a" qu'il soit aussi général que possible parmi ceux qui satisfont à cette double propriété: N. — < .,.., Igf ordres respectifs de ces groupes :

La résolution de l'équation proposée dépeiulra de celle d'équations succès-^ sives, dont les groupes seront simples, el contiendront respectivement i substitutions.

Car soit f, une fonction des racines de la proposée, invariable par l«J

DES IRRATIONNELLES. îiu

siibsCitutioDS I : elle dépend d'une équation de degré v (366) dont le groupe sera simple (371) et d'ordre v (369 et 370). Cette équation résolue, le groupe de la proposée sera réduit à I : soit maintenant <f\ une fonction des racines invariables par les substitutions de I» : elle dépendra d'une équation de degré v,, dont le groupe sera simple et d'ordre V|, etc.

Ce théorème montre qu'on peut classer les équations à groupe composé d'après le nombre et la valeur de leurs facteurs de composition v, v

373. Supposons maintenant qu'on adjoigne à l'équation proposée ¥{x) = o une ou plusieurs fonctions des racines d'une autre équation /(z) = o.

Le cas ou l'on adjoindrait plusieurs fonctions ;^,, ;^'i,... revient à celui où l'on n'en adjoint qu'une seule : car soient G' le groupe de l'équation f[z) = o, H', le groupe formé par celles de ses substitutions qui n'altèrent aucune des fonctions ;^|, /j,...: Ti une fonction de z,,..., z„ invariable par les substitutions de H'^ et variable par toute autre substitution. L'adjonction de ;f,, /,,... réduisant le groupe de /(s) = o à H'j, dont les substitutions n'altèrent pas Ti, cette fonction deviendra exprimable rationnellement. Réciproquement, l'adjonction de r« réduisant ce groupe à ff^ , dont les substitutions n'altèrent pas;(i,x', ,..., ces fonctions deviendraient rationnelles. Donc toute fonction rationnelle de r< s'exprime rationnellement en x<»Xi'--- ^^ réciproquement. Donc il est indifférent d'adjoindre à une équation quelconque, soit Xi» Xi»--- ^^^^ simplement r,.

374. Adjoignons donc à l'équation V{oo) = o l'unique fonction r, : soient ât5, fff,... les substitutions de H'^; «o* ^i»--*; orojS, aijS,...; «oV* ^i7*-***-* celles de G' : r, dépend d'une équation irréductible

(6) (X-r.)(X-rp)(X~ /•,)...:= o.

Supposons que l'adjonclion de r, réduise le groupe deF(a;) = o a Hi*, soient, comme tout à l'heure, ^o, ai,... les substitutions de ce groupe; ao, a,,...; Uob, a|6,...; «oC, rt,c,. ..;... celles de G. Soient enfin Çi une fonclion des racines de f{oo) =o, invariable par les substitutions de H,, et variable par toute autre substitution; elle satisfera à l'équation

Mais, par hypothèse, 91 est une fonction rationnelle de^f : soit 9, = v{/(r,) :

sera racine de l'équation

i68 LIVRE TROISIÈME.

Mais, d'autre part, r« satisfait à Téquation irréductible (6). Une des racines de cette équation satisfaisant à l'équation (8), toutes y satisfont (349). Donc les quantités ^J^(r,), ^(rp), ^[r^),... satisfont toutes à Téquation (7). Mais elles satisfont à l*équation

dont les coefficients, symétriques en r,, rp, r^,..., sont rationnels.

Les racines de Téquation (9) satisfaisant toutes à Téquation irréductible (7), le premier membre de (9) sera une puissance exacte du premier membre de (7) (349), à un facteur constant près, qui se réduit ici à Tunité, les deux polynômes ayant Tunité pour coefficient de leur premier terme. Soit /JL le degré de cette puissance : la suite des termes 4^(r,), vj;(rp),... contiendra tj. termes égaux à (pi, jx égaux à 9^, etc.

delà posé, adjoignons à Véquation Y[x) = o /'w/ie quelconque des racines de Véquation (7), telle que r^ : le grotte de Véquation sera réduit à H,, on groupe H^ dérivé des substitutions {b~* a^b^ b^^ a^c^..,)^ au groupe analogue Hc, etc.n suivant que ^[r^) sera égcd à ft, à (fi,, à fc*..,.

En effet, soit par exemple ij;(rp) = y^. L'adjonction de rp rendant 9^ rationnel, le groupe réduit H ne peut contenir que celles des substitutions de G qui n'altèrent pas (pi,, c'est-à-dire celles de H^. Le nombre de ces substitutions étant égal à celui des substitutions de H|, on voit que Tordre de H est au plus égal à celui de H,. Réciproquement, en partant de la racine rp au lieu de partir de la racine r^ , on verrait que l'ordre de H| est au plus égal à celui de H : donc ces deux ordres sont égaux, et H contiendra toutes les substitutions de H&.

375. Théorkme XI. — Les notations du numéro précédent étant conservées, si H'j est permutable aux substitutions de G\ H, le sera à celles de G.

En effet, H'^ étant permutable aux substitutions de G', les racines de Téquation irréductible (6) dont dépend Ti sont fonctions rationnelles les unes des autres (369). Donc les fonctions 91, 9^, 9c»-** sont respectivement des fonctions rationnelles de r^ : donc elles sont invariables par les substitutions deH| : mais elles le sont respectivement par celles de H|,H6,Hc...:doric ces groupes sont identiques, et H, est permutable aux substitutions de G.

376. Thkorkme XII. — Si Von adjoint à l'équation F(^) = o, dont le groupe est G, toutes les racines d'une équation /(s) = o, le groupe réduit H, sera permutable aux substitutions de G.

La résolution de l'équation F(a;) = o entrainflilfpelle de Téquation auxiliaire ^{u) = o, dont les racines sont des fonctions rationnelles de a;,,...» x,n, réduira le groupe de /{z) =q de manière à ce qu'il contienne tout

au plus — substitutions : il ne peut d'ailleurs en contenir un nooindre

nombre : car si le groupe réduit H\ contenait seulement — substitutions»

[i étant un nombre plus grand que v, on verrait, en répétant tous les raisonnements que nous venons de faire à partir de l'équation /{z) = o, que la résolution de cette équation devrait réduire le groupe de ¥{op) = o a ne

plus contenir que — substitutions tout au plus: résultat contraire à notre

N hypothèse d'après laquelle le groupe réduit H| contient — substitutions.

379. Corollaire I. — Si le groupe G de C équation F (a?) = o est simpky elle ne peut être résolue qu'au moyen d'équations dont le groupe ait pour ordre un multiple de l'ordre de G.

Car, adjoignons à cette équation les racines d'une équation auxiliaire /(2) = o; si son groupe est abaissé, il est réduit à la seule substitution i (377). Donc l'ordre du groupe de Y{x) =o, qui était N, sera réduit à i par Fadjonction des racines de /(z) = o. Donc réciproquement l'adjonction des racines de F(a:) = o à l'équation f{z) = o divisera par N l'ordre de son groupe. Donc cet ordre est un multiple de N.

380. Corollaire II. — Si le groupe de Y{x) = o est abaissé par la résolution d'une équation simple /(js) = o, les racines de cette dernière équation sont des fonctions rationnelles de Xt,..., x„.

Car la résolution de ¥{x) = o, abaissant le groupe de /iz)=^o (378), résout complètement cette dernière équation (377).

Cette proposition est l'extension de ce théorème d'Abel : Si une équalion est soluhle par radicaux^ chacun des radicaux qui concourent à sa rébolution est une fonction rationnelle de ses racines et des racines de l* unité,

381. Remarque. — Si la fonction ^j^fa^i,..., av„) est variable par toute substitution opérée entre les racines ^,,..., x,n, ces racines sont exprimables rationnellement en fonction de ^{x^,..., a?^) (352), et par suite en fonction de 3,,..., Zn. La résolution de Téquation f[z) = o entraînera donc la résolution complète de l'équation F(^) = o.Si en même temps x(^i"--»^«)

esl variable par toute substitulion opérée entre les Zt,..,, z„, la résolution de F(a:) = o entraînera celle de/(5) = o. Les deux équations seront il i tes équivalentes.

C3oROLLAiRE III. — Deiuv éçuations équivalentes Y(x) = 0 et fiz) = o ont le^i^r^ ordres égaux.

Soient en effet N Tordre de Téquation F(ir) = o, N' celui de Téquation y( .s ) = o. La résolution de/(js) = o réduit le groupe de F(a7) = o à la seule substitution i; donc la résolution deF(a?) = 0 réduira legroupe de/(s) = o

N' à lae plus contenir que -^substitutions (378): mais la résolution deFfj?) = o

ent.v*ainant celle de/(z^) = o, réduit le groupe de cette dernière équation à

la seule substitution i; on doit donc avoir tr^- = 1, d'où N = N'.

CIoROLLAiRE IV. — Toute udjonction de quantité auxiliaire qui abaisse le grx^Mâpe de lune de ces deux équations en divisant par v le nombre de ses subsfi£€Ations abaisse de même le groupe de l'autre.

Eïn effet, les équations étant équivalentes après l'adjonction comme avant, l^u Mrs groupes ne devront pas cesser de présenter le même nombre de substitutions.

13e ce corollaire on déduit, comme conséquence immédiate, la proposi- '•on suivante :

doROLLAiRF. V. — Toute équution équivalente à une équation composée ^^^ dle-mime composée des mêmes équations auxiliaires.

. PROBLiiiME. — Déterminer toutes les équations irréductibles équivaes à une équation donnée F(a;) = o.

►it f[z)=^o une de ces équations. La résolution de F(.r) = o devant

^ïï traîner celle de f{z) = o, les racines ^s,,..., Zn de cette dernière équation

*^ni des fonctions rationnelles de j^i,.., x^* Soit donc :3| =y, : désignons

^^mme précédemment parGle groupe de F(a?) = o; par «o, a^,... celles des

^^bstilutions de G qui n'altèrent pas la fonction 9,, lesquelles substitutions

^c G. Nous avons vu (366) que l'équation irréductible dont dépend ^i est

m LIVRE TBOtSifeME.

puis que t'adjonclion simull^née de ses racines réduit le groufir de la proposée à ! (368). Mais celle adjonction doit résoudre complctemenl la proposée; donc I se réduit à la seule substitution i : d'où ce résultat :

Pour qu'une équation irréductible f{z) = o soit équivalente à Y{X) = o // faut et il suffit : i" que l'une Je ses racines, z,. soit fonction rationnelle des racines de f{x] = o; a" que le groupe H, forme par celles des substitutions dr G {groupe de F(a;) = oj qui n'altèrent pas cette fonction ne contienne aucun groupe permutable aux substitutions de G (sauf celui qui est forme' de la seule substitution i).

383. Soit H, un groupe quelconque satisfaisant à la condition ci-dessus :

il existe une infinité de fonctions de x x,„ invariables par les stibslilu-

lions de H,, et variables par toute autre substitution de G. Chacune d'elles sera la racine d'une équation irréductible équivalente h la proposée V{x) = o et dont le degré v est égal au rapport des ordres de G et de H,.

Soient f , et f\ deux quelconques de ces fondions ;

les équations irréductibles dont elles dépendent : f, et f\ étant invariables par les mêmes substitutions s'expriment rationnellement l'une par l'autre.

Soit donc f'i = ijrfy,). On en déduit ff\ = <]^{^t), etc. (356). Donc les diverses racines de l'équation /'(Y) = o s'expriment par une même fonction rationnelle des diverses racines de /fYj — o. On passera donc de l'une à l'autre de ces deux équations par une transformation rationnelle.

On peut considérer comme appartenant à la même classe deux équations telles, que les diverses racines de l'une d'elles s'expriment respectivement par une même fonction rationnelle des racines correspondantes de l'autre. Le nombre des classes d'équations irréductibles équivalentes à la proposée ¥{x) =o est nécessairement limité, et on pourra le déterminer en cherchant quels sont les divers groupes H, contenus dans G et jouissant de la propriété indiquée au numéro précédent : on remarquera d'ailleurs que les v groupes

juation et ne fournissenl

correspondent aux diverses racines d'une même i ainsi qu'une seule et même classe.

384. Théorème XIV.— Soient F(x) = o et f(z) = o deuj: équations irréductibles dont les racines soient liées par des relations algébriques

y (iTo . . . , Xm^ 3 , , . . . , z„ ) ^ o, . . . , Toutes ces relations se déduisent d'une seule ^ de la forme

OÙ les racines des deux équations Isont séparées [^ et /^ désignant, ainsi que 9, des fonctions rationnelles convenablement choisies).

Soit en effet ¥« une fonction de x^,..., x^ variable par toute substitution; chacune des quantités x^,,..fXm est exprimable en fonction rationnelle de ¥«; substituant ces expressions dans la fonction 9, il vient une équation de la forme

La quantité Vi satisfait donc à l'équation

9'(X, z„. . ., Zn) = o.

D'autre part elle satisfait (353) à Téquation irréductible de degré N,

7r(X) = (X- V.)(X-Va)(X--V6)...=:0.

Ordonnons les deux polynômes /(X, jZ|,..., z„) et ^(X) suivant les puissances descendantes de X, et divisons le premier par le second : il viendra

p(X) et a(X) étant deux polynômes entiers par rapport à X, à coefficients rationnels en z,,..., z^ et le degré de (t{X) par rapport à X étant au plus égal à N — I .

Soit donc

<T(X) = AXN-'-hBX«-'^...,

deux cas pourront se présenter :

i*' Si l'on a simultanément A = o, B = o, ..., on aura, au lieu de l'équation unique

o=:(p'(V„z„...,2„)=:p{V,).7r(V.)^AV?-'-+-BVN-^...,

les suivantes :

dont la première est une relation entre les- racines x^,...,x,„ de l'équation Y[x) = o, et les autres des relations entre les racines :;,,..,, ^;, de /(z) = 0;

m - UVRE TROISIÈME.

c*est grâce à la présence de ces relations que peut exister Féquatiou (lo) qui ne lie quen apparence les racines de ¥{oc) = o à celles de /{z) =o. Ce cas doit donc être rejeté.

2® Si Ton n'a pas simultanément A = o, B = o,..., divisons le polynôme a(X) par le coefficient de la plus haute puissance de X, puis cherchons le plus grand commun diviseur A de ce polynôme avec le polynôme ^(X). Les coefficients de A seront des fonctions rationnelles de z^,..., z„. D'autre part, en désignant par V,, V«, V^,,... celles des racines de 7r(X) =-o qui satisfont en même temps à l'équation cfX) = o, on aura

et les quantités V,, V^, V«,,... étant des fonctions rationnelles de .T|,..., x^^, si Ton développe le polynôme A suivant les puissances de X, les coefficients de ces diverses puissances seront eux-mêmes des fonctions rationnelles de ic,,..., x^. Mais nous venons de voir que ces coefficients s'expriment également en fonction rationnelle de Z|,..., z„; égalant ces deux expressions pour chaque coefficient, on aura une suite de relations de la forme

La relation (lo) n'est qu'une conséquence de celles-là : en effet les relations (i i) expriment que les deux polynômes (7(X) et n{X) s'annulent tous deux pour X = V,, X =¥«,..*.; on aura donc en particulier

11 nous reste à démontrer que toutes les relations (i i) qui peuvent exister entre les racines des deux équations ¥{x) = o et /{z) = o sont des conséquences d'une seule d'entre elles. Cette démonstration n'offre aucune difficulté. Soient en effet H| ce que devient le groupe de l'équation F(a?)= o par l'adjonction des quantités z^,,..,z„; ^j;(^|,..., ic,„) une fonction invariable par les seules substitutions H,; elle sera exprimable rationnellement en fonction de :;i,..., z„, et l'on aura ainsi

Les autres fonctions ^', ^'\... rationnellement expriniables en fonction des :;,,..., z„ sont invariables par les substitutions de H, et par suite fonctions rationnelles de ^j;. Leur expression en fonction de z,,..., ;?„ se déduit donc de celle de ^ en fonction de ces mêmes quantités.

385. Théorkme XV. — Aucune équation irréductible de degré premier p ne peut être résolue au moyen d'équations auxiliaires de degré inférieur.

Car l'équation étant irréductible, son groupe est transitif: il a donc son ordre divisible par p\ et Ton voit par le théorème XIII qu'il continue à être divisible par p tant qu'on n'emploiera pas d'équation auxiliaire dont Tordre soit divisible par p. Mais l'ordre du groupe d'une équation auxiliaire de degré q <C^p est un diviseur de 1.2... y; il est donc premier à p. Donc Tordre du groupe de l'équation proposée restera divisible par p tant qu'on n'emploiera que de semblables équations.

386. Théorème XVI. — V équation générale du degré n ne peut être résolue au moyen d^ équations de degrés inférieurs [sauf le cas où n = 4)«

En effet son groupe a pour ordre 1.2... /i. En résolvant une équation du

second degré on peut le réduire au groupe alterné, dont Tordre est -^— -^.

Mais ce nouveau groupe est simple (85). Donc Téquation ne peut plus être résolue qu'au moyen d'une équation auxiliaire telle, que Tordre de son

groupe soit au moins égal à ' • Mais si q est le degré de cette équa-

tion auxiliaire, son ordre divise 1.2... y. Donc q ne peut être moindre que /i.