Considérons au contraire Téquation du quatrième degré

X* -h px^ -4- qx^ -h rjr -+- 5 == o.

Soient a?,, x^^ x^, x^ ses racines; H le groupe d'ordre 8 dérivé des substitutions [x^x^], [x^x^), {x^x^){x2X^). Une fonction 9, des racines de la proposée, invariable par les substitutions de H, dépend d'une équation du troisième degré (366). Celle-ci résolue, le groupe G de la proposée se réduit au groupe I formé par celles de ses substitutions qui sont communes au groupe H et à ses transformés par les diverses substitutions de G. On vérifie aisément que ces substitutions communes sont les quatre qui dérivent de (iT, x^) [x^x^), [x^x^) (a?2^4). Mais ces substitutions sont permutables au groupe partiel H', d'ordre 2, formé par les puissances de [x^X2)[x^x^). Donc une fonction des racines invariable par les substitutions de H' dépend actuellement d'une équation du second degré. Celle-ci résolue, le groupe de la proposée se réduit à H'. Cette équation se décompose alors en deux équations du second degré, ayant respectivement pour racines x^, x^ et x^,

276 LIVRE TROISlÈaŒ.

X, (357). Il sufQra d'ailleurs de résoudre Tune d'elles pour réduire le groupe de la proposée à la seule substitution i .

Parmi les diverses fonctions qu'on peut prendre pour Çi, la plus commode est la fonction [x, -h x^-x^--x,Y, adoptée par Lagrange. On calcule aisément les coefficients de l'équation du troisième degré

Y .~(3/i>-8^)Y»-h(3p*-i6p«fl-M69'-4-i6pr— 645)Y-(/i^-4M-+-8r)»=o

dont elle dépend.

Soient u,, U2» ^:i ses racines, on aura

Xx-^ Xi— JTj— x^-= ^Wi, X, — ^j4- Xy— x^=^ yvu Xx — Xi— x^-k- x^^sfxjij x,-h JTj-h JTj-H j:4=— p;

d'où.

On a d'ailleurs

V'ï^ yfûi v^= (^« -^ •^»"- ^3 — ^4 ) [x, — X2-^ Xi— X^)(Xx— Xi— Xi-¥ x^)

d'où

Les autres racines s'obtiennent en changeant les signes des deux radicaux indépendants ^v,, \/u2.

388. Pour appliquer les résultats qui précèdent, il est nécessaire, une équation étant donnée, de savoir déterminer son groupe.

La marche à suivre pour traiter cette question sera celle-ci : i"* ou formera les divers groupes de substitutions possibles G, G',... entre les racines a:f,..., x„ de l'équation; 2^ soit G l'un de ces groupes, choisi à volonté : on s'assurera s'il contient ou non le groupe de l'équation en formant une fonction 9 des racines, invariable par les substitutions de G et variable par toute autre substitution, calculant par la méthode des fonctions symétriques l'équation qui a pour racines les diverses valeurs de ^, et cherchant si cette équation a, oui ou non, une racine rationnelle. Parmi les groupes de la suite G, G',... qui contiennent ainsi le groupe de l'équation, le plus petit sQra ce groupe lui-même.

Cette méthode, théoriquement satisfaisante, serait impraticable, s'il fai-

lait rappliquer à une éqiMtioD numérique donnée au hasard. Mais les équations que l'on rencontre dans l'analyse ont toujours des propriétés spéciales qui permettent de déterminer leur groupe avec plus de facilité souvent que leurs coefficients eux-mêmes. Nous en donnerons divers exemples dans les chapitres suivants.

§ II. — Groupe de monodromie.

389. Jusqu'à présent nous n*avons considéré que des équations à coeÛicients numériques. Mais il est clair que les raisonnements employés seraient applicables lors même que les coefficients des équations proposées» renfermeraient certains paramètres indéterminés : et le groupe de Téquation pourrait varier, suivant qu'on lui adjoindrait ou non ces paramètres.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il n*y ait qu'un seul paramètre k : et soit G le groupe de l'équation proposée après Fadjonction de k. Toute fonction <p des racines et de k invariable par les substitutions de G sera une fonction rationnelle de k, à coefficients rationnels. Si donc on fait varier k d'une manière quelconque, la fonction f reprendra la même valeur toutes les fois que k prendra lui-même la même valeur: ou pour employer le langage reçu, (p sera une /onction monodrome de k.

Mais pour qu'une fonction rationnelle 9 des racines et de k soit une fonction monodrome de A*, il n'est pas nécessaire qu'elle soit invariable par toutes les substitutions de G. Considérons par exemple l'équation

Ses deux racines sont des fonctions monodromes de ^, et cependant elles ne sont pas rationnelles, si l'on n'a pas adjoint à l'équation l'Irrationnelle

numérique V^.

390. Théorème. — Soit Y[x^k) = o une équation dont les coefficients <ontitnnent un paramètre indéterminé k. On peut déterminer entre les racines <U cette équation un groupe de substitutions H tel^ que toute fonction ration- ^Ue des racines et de k monodrome par rapport à k soit invariable par les substitutions de H [indépendamment de toute valeur particulière donnée à k), et réciproquement.

En effet» supposons qu'après avoir donné à k une valeur initiale réelle ou imaginaire, mais déterminée, on le fasse varier suivant une loi quel-

conque. Les racines a:,, a:^,... de l'équation proposée varieront conlinuellement avec k^ et si à la fin de l'opération, k a repris sa valeur initiale i«* les valeurs finales de x^, j^s»*-- satisferont à Téquation V{x^ k^)^o i elles se confondent donc, à Tordre près, avec leurs valeurs initiales. Donc si cbacune d'elles ne reprend pas sa valeur initiale, elles seront simplement permutées les unes dans les autres, et le résultat de l'opération sera représenté par une certaine substitution S effectuée sur ces racines.

Si Ton modifie de toutes les manières possibles la loi de variation de A, on obtiendra diverses substitutions S, S,,... formant évidemment un groupe H : car, si en faisant varier k d'une certaine façon on obtient la substitution S, puis en le faisant varier d'une autre façon, la substitution S,, on obtiendra la substitution SS, en luî faisant subir successivement ces deux modes de variation.

Cela posé, soient y une fonction des racines et de k, monodrome par rapport à kx ff\ y",... les diverses valeurs que prend celte fonction par les substitutions de H : en faisant varier k convenablement, on peut opérer entre les racines les substitutions de H, et par suite transformer rf en une quelconque des quantités 9', <p",..., la valeur de k n'étant pas changée. Mais y, étant monodrome, n'a par bypothèse qu'une seule valeur pour chaque valeur de k : donc on aura, quel que soit k.

Réciproquement, si ces égalités sont constamment satisfaites, il est clair que, de quelque manière qu'on fasse variera, 9 reprendra sa valeur initiale en même temps que lui. Donc f est une fonction monodrome.

Le groupe H peut être appelé le groupe de monodromie de l'équation proposée. Il est nécessairement contenu, comme on l'a vu plus haut, dans le groupe algébrique G obtenu en adjoignant k à l'équation.

391. On peut compléter cette proposition en remarquant que /oi/les /es substitutions de G sont permutable.s à H. En effet, soit y une fonction des racines de l'équation proposée, invariable par les substitutions de H, et variable par toute autre substitution : c'est une fonction monodrome de k^ telle que /(A). Remplaçons tous les coefïîcients de/{k) par des indéterminées, puis substituons cette expression dans l'équation irréductible dont 7 est racine, et exprimons que le résultat de celte substitution est nul pour toute valeur de k. On obtiendra un certain nombre d'équations de condition algébriques auxquelles les coefficients inconnus de la fonction /(A) doivent

satisfaire. Ces coefficients sont donc les racines (réquations algébriques à coefficients numériques.

Cela posé» adjoignons à l'équation proposée toutes les racines de ces équations numériques. La fonction ff devient rationnellement exprimable : le groupe de la proposée ne contient donc plus aucune substitution étrangère à H. Mais d'autre part il contient le groupe de monodromie, lequel ne peut évidemment être altéré par l'adjonction de quantités simplement numériques : donc il se réduit précisément à H. Donc on réduit le groupe de la proposée de G à H par l'adjonction de toutes les racines de certaines équations : donc les substitutions de G sont permulables à H (376).

§ III. — Théorkmks divehs.

392. THûORfeME. — Soit G' un groupe quelconque contenu dans un autre groupe G; ses facteurs de composition diviseront ceux de G.

Soient en effet 0 Tordre de G; /, /w,... ses facteurs de composition; G, H,

I,... une suite de groupes ayant respectivement pour ordre 0, -y» j—y" et

tels, que chacun d'eux soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions. Soient, d'autre part, G', H% T,... les groupes respectivement formés par celles des substitutions de G' qui appartiennent k G, à H, à I, etc;

O', -py Y' — ?'••• leurs ordres respectifs. Chacun de ces groupes sera évidemment contenu dans le précédent, et, de plus, permutable à ses substitutions. Car, soient, par exemple, g' et h deux substitutions quelconques appartenant aux groupes G' et H' : h' appartient à H, auquel les substitutions de G, et notamment ^, sont permutables. Donc ^"' kg appartient à H; mais elle appartient aussi à G' : donc elle appartient k H'; donc g^ est permutable à ce dernier groupe.

0' Soient y l'ordre d'un groupe G\ aussi général que possible parmi ceux

qui contiennent H', et sont contenus dans G' et permutables à ses substitu-

lions; j-y- l'ordre d'un groupe Gj, aussi général que possible parmi ceux

qui contiennent H' et sont contenus dans G'^ et permutables à ses substitu-

0' tiens, etc. Soient de même -p— l'ordre d'un groupe H'^ aussi général que

possible parmi ceux qui contiennent T, et sont contenus dans H' et permu-

i80 UVRE TROISIÈME.

tables à ses subslilutions, etc. Les groupes G', G'^, Gj,..., H', H', ,..., I',... formant ainsi par construclion une suite telle> que chacun d'eux soit aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le précédent et

permutables à ses substitutions, et ayant respectivement pour ordre 0', y» , . . . , --, -- , . . . , - , . . . , les facteurs de composition de G' seront X, ,

If -^f

Xg,..., Y~^ » fJiM..., » — Ils diviseront donc respectivement/', m',....

Nous achèverons la démonstration en prouvant que l\m\... divisent respectivement /, m,....

Soient A,, A,,... les substitutions de H; K^, A^,... celles de H'; celles de G' seront de la forme g^ h\ ; g^j, g^'a»---» gr étant des substitutions de G' qui ne satisfassent à aucune relation de la forme g^ = g^. h\, (39). Cela posé, les substitutions de G', appartenant à G, sont permutables à H. Le groupe K, dérivé de la combinaison de G' et H, aura donc toutes ses substitutions de la forme g^ h\ h^. Mais K^ A^, appartenant à H, est de la forme A^ : les substitutions de K seront donc de la forme g^ Ag. Réciproquement, les /'— substitutions de cette forme obtenues en faisant varier a et (^ appartiennent à K, et sont distinctes : car si l'on avait g\ hi = g^,hi», sans avoir a = a', d'où c)' = c^, la substitution gj^ga = Ag/AjT' appartiendrait à H et à G', et par suite à H' : désignons-la par h^.; il viendrait g^ =:g^.h\,, ce qui est impossible.

Donc l'ordre de K est égal à /' j; mais ce groupe est contenu dans G,

dont Tordre est 0; donc son ordre divise ce dernier nombre : donc /' divise /. De même m' divise m, etc.

393. Théorème. — Soient G un groupe quelconque; H et G' deux groupes contenus dans G ; H' fe groupe formé par les substitutions communes aux deux précédents; 0, P, 0, P' fe^ ordres respectifs de ces quatre groupes; rf,

d\ Cy f les valeurs des entiers p^» -p>» 7y » p7? <? /^ plus grand commun diviseur de d et de e: d' sera au plus égal à d, et divisible par -j-

Soient en effet A,, A^,... les substitutions de H; A', , A^,... celles de H': celles de G' seront de la forme g\ h\; g\,..., g^. étant des substitutions convenablement choisies. En outre, le groupe G contiendra au moins les substi-

tutioDS g^ Ap, qui sont toutes distinctes (392), et en nombre Prf'. On aura (loncPrf' = 0, d'où d'^d.

D'autre part, on a évidemment ed' =^df: donc ^ divise d' .

394. Théorèmf. — Soit E une équation décomposable en facteun rationnels X, Y,...: tout facteur de composition d^une des équations partielles X, Y,... sera un facteur de composition de E; et réciproquement^ tout facteur de composition de E sera facteur de composition d'une ou plusieurs de ces équations partielles ,

En effet, on résoudra Téquation E en résolvant successivement les équations partielles X, Y,..., ce qui pourra se faire pour chacune d'elles à l'aide d'une suite d'équations simples.

Soient x^^x^,.*. les racines de l'équation X, lesquelles appartiennent également à E; / son premier facteur de composition : il existe une équation simple U, d'ordre /, dont la résolution fera connaître des fonctions de a?,,â?2*--» qui auparavant n'étaient pas rationnelles. Cette résolution abaissera donc l'ordre de X et celui de E en les divisant l'un et l'autre par / (372). Quant à chacune des autres équations partielles, telle que Y, son ordre ne sera pas réduit par cetle résolution, ou il sera divisé par /, auquel cas Y aura /pour facteur de composition.

Si donc on résout l'équation X par l'adjonction des racines d'une suite d'équations simples, on trouvera successivement que chacun des facteurs de composition de X est un facteur de composition de E. Quant aux autres équations partielles Y,..., leurs groupes pourront perdre par ces adjonctions quelques-uns de leurs facteurs de composition, mais conserveront tous ceux qui ne leur sont pas communs avec le groupe de X. Résolvant maintenant l'équation Y par l'adjonction des racines d'une suite d'équations simples, on verra de même que tous les facteurs de composition qui restent dans le groupe de l'équation Y sont des facteurs de composition de E; et que les équations partielles restantes Z,... conserveront après cette nouvelle adjonction tous ceux de leurs facteurs de composition qui ne leur sont pas communs avec X ou Y. On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on ait résolu toutes les équations X, Y,... Mais alors l'équation E sera elle-même résolue, et le théorème sera démontré.

395. Thkorème. — Soient C une équation irréductible et primitive de degré n\ E r équation de degré n — i obtenue par V adjonction d'une de ses raie

28i LIVRE TROISIÈME.

cines, a; X, Y,... les diviseurs rationnels de cette dernière équation, supposée irréductible. Tout facteur de composition de l'une des équations partielles X, Y, . . . divisera l'un au moins des facteurs de composition de chacune des autres équations partielles.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il y ait deux équations partielles, X, Y, et que Y ait un facteur de composition, m, qui ne divise aucun des facteurs de composition de X; nous allons prouver que Téquation C, supposée irréductible, n'est pas primitive.

Soit en effet G le groupe de l'équation Ë : abaissons-le autant que possible par la résolution successive d'équations simples, dont l'ordre ne soit pas divisible par m\ et supposons que ces adjonctions réduisent successivement le groupe de l'équation E à H,..., à K. L'équation partielle X étant complètement résolue paT ces opérations, et l'équation Y ne l'étant pas, le groupe final K contiendra des substitutions différentes de l'unité; mais les racines ^,, iCa,... de X, qui sont actuellement connues, ne seront déplacées par aucune de ces substitutions (362).

La suite des facteurs de composition de K peut être déterminée, soit à\\m seule manière, soit de plusieurs manières différentes; mais, dans tous les cas, le premier de ces facteurs sera divisible par /n; car, sans cela, le groupe pourrait être abaissé, contrairement à Thypotbèse, par la résolution d'une équation simple dont l'ordre ne serait pas divisible par /n. Réciproquement, K contient tous les groupes contenus dans G et jouissant de cette propriété. Car soit G' un groupe quelconque contenu dans G et non dans K. Supposons, pour fixer les idées, que parmi les groupes de la suite G, H,..., K, le groupe H soit le premier qui ne contienne pas G' : soit H' le groupe fornné

par les substitutions communes à H et à G'; soient enfin 0, y» 0', y les ordres respectifs de G, H, G', H'. Les premiers facteurs de composition de G', X,, Xa,... auront pour produit /', qui divise /(392) : ils ne sont donc pas divisibles par m.

396. Soient maintenant a, a,,..., a^,., celles des racines de E que les substitutions de K laissent immobiles. Cette suite contenant, outre la racine a que l'on s'est adjointe, les racines a?,, iCa,... de l'équation X, contient plusieurs racines; mais il est clair qu'elle ne les contient pas toutes.

Cela posé, soient Ç le groupe de ^; S une de ses substitutions, qui remplace a par une des racines a, a,,..., a^^, telle que a, : elle remplacera toutes ces racines les unes par les autres. En effet, S transforme le groupe G,

fait succéder k d\ a\,..., aj^,. La substitution WR appartient à ff, et remplace a, a,,..., a,!^, par a^, a,..., (^. Mais a\ appartient au système a,, a'j,..., aj,,. Donc a,..., d' sont les autres racines de ce système. Donc l'équation C n'est pas primitive, ce qu'il fallait démontrer.

397. Corollaire I. — V équation C étant irréductible et primitive^ tout nombre premier qui divise V ordre de E divisera l'ordre de chacune des équations partielles X , Y, —

Car soit/7 un semblable diviseur. Divisant Tordre de E, il divise un de ses facteurs de composition; mais ce facteur de composition appartient à l'une au moins des équations partielles X, Y,... (394). Donc il divise un au moins des facteurs de composition de chacune des autres équations : donc il divise Tordre de chacune d'elles.

Corollaire II. — Si V une des équations partielles X, Y,.. . a tous ses facteurs de composition premiers, il en est de même des autres.

398. Théorème. — Si une équation E, irréductible et de degré n, a son

ordre divisible par un nombre premier p, supérieure - n, son groupe G sera n — /? 4- I fois transitif.

Supposons en effet que. G soit w — y -h i fois transitif, q étant >/?. Son ordre sera égal à /i (/i— i)...(y 4- i) îî, iî étant Tordre du groupe partiel ^ formé par celles de ses substitutions qui laissent immobiles n — q racines données a, a^,..., lequel est simplement transitif par rapport aux q racines restantes. Mais n{n — i)...(y-h i) n'est pas divisible par p, n étant < 2p et q >/?. D'autre part, iî ne peut être divisible par/?. En effet, considérons Téquation c de degré q à laquelle se réduit la proposée par Tadjonction des racines a, a,,...; elle a évidemment pour groupe (^. Si elle n'est pas primitive, soit [i le nombre des systèmes entre lesquels se répartissent ses racines : le groupe (^ est contenu dans le groupe F obtenu en combinant tous les déplacements possibles des systèmes avec tous les déplacements possibles des racines dans chacun d'eux. L'ordre de ce dernier groupe, évidemment égal à 1.2... fjif 1.2... ^ j sera donc un multiple de Q; mais il n*est

pas divisible par p, qui est supérieur à -- et, par suite, à fx et à ^« Si, au

contraire, Téquation C est primitive, son ordre est égal à y 0, 0 étant Tordre de Téquation E', de degré q — ^* qu'on obtient en adjoignant une nouvelle racine b. Mais ff étant simplement transitif, le groupe de E', formé par celles

des substitutions de ç qui laissent 6 immobile, sera intransitif : Téquation E' se décompose donc en plusieurs facteurs rationnels X, Y,... L'une au

moins de ces équations partielles sera d'un degré d inférieur à 2, el par

suite à p; son ordre, divisant i.2...rf, ne sera pas divisible par p. Mais il est divisible par tout nombre premier qui divise 0 (397) : donc 0, et, par suite, Q = qO n'est pas divisible par p.

399. Théorème. — Soient C une équation irréductible et primitive de degré n; E l'équation de degré n — i qui s' en déduit par l'adjonction d*une de ses racines, a; Ç et G les groupes de ces équations. Groupons les substitutions de G en classes, en réunissant ensemble celles qui sont semblables entre elles : chaque racine de G sera déplacée par l'une au moins des substitutions de chacune de ces classes.

Supposons en effet qu'il existe une classe C dont toutes les substitutions laissent immobiles certaines racines af,..., a^t. Soit S une substitution de G qui remplace a par l'une des racines a, a,,..., a,i i, telle que «,; elle remplacera toutes ces racines les unes par les autres. En effet, S transforme le groupe G, formé des substitutions qui ne déplacent pas a, en un groupe analogue G« formé des substitutions qui ne déplacent pas a,; el la classe C aura pour transformée la classe formée par celles des substitutions de Gf qui sont semblables aux substitutions de C; mais les substitutions de C, ne déplaçant pas a^ , sont contenues dans G« : donc la classe C est sa propre transformée : donc S remplace les unes par les autres les lettres a, a,,..., a^^t, que les substitutions de C ne déplacent pas.

On conclut de là que c n'est pas primitive (396).

-iSO LIVRE TROISIÈME.