APPLICATIONS ALGÉBRIQUES

§ I. — Equations abélienhes.

Des équations abéliennes en général»

400. Considérons avec Abel les équations irréductibles dont deux racines, Xi et ^2, sont liées par une relation rationnelle de la forme

^ Le groupe d'une semblable équation étant transitif contient une substitution S qui remplace x^ par x^* Soit [x^x^.^.Xn) le cycle de S qui contient ces deux racines : la fonction nulle x^— ?(^i) n'étant pas altérée en valeur numérique par S ni par ses puissances (356), on aura

(i) .Ta — (p( j;,)=: j;^ — <p{jr2) = . . . =::a:, — cjp(j-„) = o.

Supposons, pour plus de généralité, que l'équation proposée ait d'autres racines que a?,, a^a,..., a?„. Soit x\ l'une d'elles : le groupe de l'équation contient une substitution T qui remplace ^1 para?',. Soient a:',, ar'j,..., x\ les racines par lesquelles elle remplace x^, a?2,..., Xn- La substitution T opérée sur les identités (1) ne les trouble pas (356); on aura donc

', — ?{^'.' = ^'3 — 9^rV; = .. ' = ^\- 9(.r;,)=r:o.

Les nouvelles racines x\, ic'j,..., x\ sont essenliellement distinctes des racines ^,, ^2»«"» ^«î car, si x„ était égal à X2, par exemple, x\ =:^[x\) le serait à ^a = ?(^2)î n^^is l'équation, étant irréductible, n'a pas de racines égales : donc x\ serait identique à x^, contre fhypotbèse.

S*il existe une racine x\ qui ne fasse partie d'aucun des deux systèmes x^, X29"", ocn\ x^, x\,.,,, x„, on aura de même un troisième système de racines x\, a?^,..., a:', distinctes des précédentes, et liées entre elles par

DES IRRATIONNELLES. iisY

(les relations analogues aux relations (i); et Ton continuera ainsi jusqu'à ve qu'on ait épuisé le nombre des racines, qui se trouveront ainsi groupées nk n en m systèmes.

401. Soit maintenant U une substitution quelconque du groupe de IV*qualion donnée, laquelle remplace, par exemple, a?i' par a^'f : elle remplacera x],% a?i!;l„..., a:i!l\ par x[^li, a:^?^,,..., x^^l^. Car, soit z la racine qu'elle fait succéder à x^^ : U n'altérant pas la fonction nulle ^r-'^i, — ^^r/ , on aura z — f (x^J^) = o, d'où z = a:^?[,; etc.

Il résulte évidemment de là que toutes les substitutions du groupe chercbé résultent de la combinaison de substitutions A permutant tout d'une pièce les m systèmes de racines, en remplaçant les unes par les autres les racines qui ont le même indice, avec les puissances des substitutions circulaires

Donc ï équation proposée sera non primitive; et en résols^ant une équation de degré m, on la décomposera en m équations partielles, de degré n, déterminant respectivement les m systèmes de racines ^,, o^j»---? ^n'" ^, ♦ ^2

x'^\.., (359). Les groupes de ces équations partielles ne contiendront plus respectivement que des puissances de F, des puissances de V\ elc

402. Nous nous trouvons ainsi amenés à étudier les équations dont le groupe est formé par les puissances d'une seule substitution circulaire. M. Kronecker a proposé de les nommer équations abéliennes : mais il nous parait convenable d'étendre celte désignation à une classe d'équations plus générale, également considérée par Abel, et qui se traite d'après les mêmes principes. Nous appellerons donc équations abéliennes toutes celles dont le groupe ne contient que des substitutions écbangeables enire elles.

403. Si une équation abélienne n'est pas irréductible, les facteurs irréliuctibles dont elle est le produit seront eux-mêmes abéliens. Car soient F, F',... ces facteurs irréductibles; x, x^,,..; x\ a?\,...;... leurs racines. Chaque substitution du groupe de la proposée sera de la forme AA'...; A, A',.., étant respectivement des substitutions qui permutent entre elles les racines J?, ^1,..., les racines x\ x^,..,, etc. Mais, pour que deux substitutions de cette forme. A, A',,.., Aa A^... soient écbangeables entre elles, il faut évidemment que A, soit écbangeable à A^, A', à A'2, etc. Donc les

suhslilutions A^, A,,... sont toutes échangeables entre elles; et réquation F = o, dont le groupe est formé de ces substitutions (*), est abélieDDe. Il nous suffira donc d'étudier les équations abéliennes irréductibles.

40i. Théorème. — Les racines d'une équation abélienne irréductible $ expriment toutes par des fonctions rationnelles (f[x)^ ^{x),... d'une seule d'entre elles : et les symboles d'opération y, if,... seront échangeables. Réciproquement^ toute équation irréductible dont les racines jouissent de cette propnéie est abélienne.

Soit S une substitution du groupe G d'une équation abélienne irréductible : elle déplacera toutes les racines, ou se réduira à l'unité. Car supposons qu'elle laisse immobile une racine x. Soient 7 une autre racine quelconque; 1 une substitution de G qui remplace x par j: 2""'S2 laissera v immobile.. Mais 2""* S2 = S : donc S laisse toutes les racines immobiles» et, par suite, se réduit à l'unité.

Donc le groupe de l'équation proposée se réduit par l'adjonction de xtk la seule substitution i : donc ses racines x, y, z,... sont toutes des fonctions rationnelles de x.

Soient par exemple j = y(a?), z = ^{x) : G, étant transitif, contient une substitulion T qui remplace x par j, et une substitution U qui le remplace par z. Soient / la racine que T fait succéder h z; u celle que U fait succéder à y. La substitution T, opérée sur la fonction nulle z — ^{x) n'altère pas sa valeur (356). Mais elle la change en /— ^'(jk)- Donc / est égal k ^(v), ou ^'^<p(^)j* De même, la substitution U, opérée sur la fonction nulle y — ^{x), n'altère pas sa valeur. Donc u est égal à (p{z) ou f[^{^)]» Mais TU et UT remplacent respectivement x par u et par /; ces deux substitutions étant identiques, par hypothèse, on aura u = t.

Réciproquement, soient x, j, z,... les racines d'une équation quelronque, jouissant de la propriété indiquée au théorème; T et U deux substitutions de son groupe, qui remplacent respectivement x parj = ç(j:) et :; = K^?) : T n'altérant pas la fonction nulle z — ^{x), remplacera z par une racine / égale à ^{y) ou ^^.(fi{x)\ : U remplacera de même ^^ par (p ! d^(x)] = /. Les deux substitutions TU et UT remplaceront toutes deux x

(*) En effet, pour qu'une fonction de x, jt,,. . . soit rationnelle, il faut et il suffit qu'elle soit invariable par les substitutions A,A', ,..., A, A',...,..., ou, co qui revient au même, par les substitutions A,, A„

la fonction f, équivalent respectivement à des substitutions 2» 2, opèret;» entre ces valeurs; et les substitutions SS,, 8,8 équivaudront évidemment aux substitutions 22, ,2,2. Mais SS, = S, S, par hypothèse : donc 22, = 2, 2. Les substitutions 1, 2,,..., qui forment le groupe de Téquation auxiliaire dont dépend y, sont donc échangeables entre elles, et cette équation est abélienne.

Soit de même tj; une fonction des racines, invariable par les substitutions 9 et variable par toute autre substitution. Elle dépendra d*une équation abélienne irréductible de degré y*.

Les racines de la proposée s*exprimeront rationnellement en fonction de 9, ^ : car Tadjonction de ces deux fonctions réduit le groupe de Téquation à la substitution i, qui seule les laisse toutes deux invariables (362).-

406. Théorème. — La résolution d'une équation abélienne irréductible de degré p'' se ramené à celle d'équations abéliennes successives^ dont les groupes ne contiennent que des substitutions d'ordre p {la substitution i exceptée).

Soit G le groupe d*une semblable équation. Ses substitutions ont toutes pour ordre une puissance de/>; soit p^ l'ordre de celles de ces substitutions dont Tordre est maximum. Celles des substitutions de G dont Tordre ne dépasse pas /?^~' forment un groupe H. Car soient T, T, deux de ces substitutions, on aura

donc TT, jouit de la même propriété que T et T, . Soit /?* Tordre du groupe H.

Soit maintenant 9 une fonction des racines de Téquation, invariable par les substitutions de H, et variable par toute autre substitution. Elle dépend d'une équation irréductible de degré /?"**. On voit, comme au numéro précédent, que cette équation sera abélienne. De plus, toutes ses substitutions ont pour ordre p. Car soient S une substitution quelconque de G, 2 la substitution correspondante du groupe de l'équation en 9 : la substitution S^ aura évidemment pour correspondante 1**; mais Tordre de S'' divise j?"^ : donc sa correspondante se réduit à Tunité : donc 1p=\.

La fonction 9 étant supposée déterminée, son adjonction réduira le groupe de la proposée à H. Soit de même H, le groupe formé par celles des substitutions de H dont Tordre ne dépasse pas /?^~^. Une fonction 9,, invariable par les substitutions de H,, dépendra d*une équation abélienne telle, que les substitutions de son groupe soient d'ordre p: son adjonction réduira le groupe de la proposée à H,, etc....

!292 UVRE TROISIÈBfE.

Toute racine commune à deux équations de cet Le former af = i et x^ = i , satisfait à l'équation x^ = 1, 6 étant le plus grand commun diviseur de m et de n,

Soil en effet n > m. Si m divise n, la proposition est évidente. Dans le cas contraire, soit n = mq-\'r: des deux équations a:'"^"*^=i, ;r^ = i,on déduit évidemment o?^ = i . De cette équation, combinée avec oc^=i, on déduira de même x*=i, s étant le reste de la division de m parr, etc....

En particulier, si 6 = i, les deux équations n'auront d'autre racine commune que l'unité.

410. Soit maintenante une racine de la congruence af=i : formons ta suite de ses puissances, i, a, a*,..., a'",...; soit a? la première d'entre elles qui se réduise à l'unité : tous les termes de la suite qui précédent a^ seront différents. Car si l'on avait a^=c^, r et 5 étant < p, on en déduirait rt'~*= \y r— s étant < p, ce qui est contraire a l'hypothèse. Il est clair que tous les termes de la suite se reproduiront périodiquement à partir de a^.

V exposant p divise n : car a, satisfaisant aux deux équations a^ = i et a^=\ , satisfait à la suivante a^= i , Q étant le plus grand commun diviseur de n et de p. Mais, par hypothèse, aucune puissance de a inférieure à la jo''*"* ne se réduit a l'unité : donc Q-=p.

Si p = n, a sera une racine primitive de l'équation proposée.

411. Problème. — Trouver le nombre des racines primitives de r équation x" = I .

I** Soit n=fl^, p étant premier. Les racines non primitives satisfont k l'équation ay'*~'=i et sont en nombre /?*"•. Les autres racines, en nombre

/?* ( I — -|» sont primitives.

-2^ Soit n=p'^q^..,f p^q,... étant premiers et différents. Soient respectivement A, B,... des racines quelconques des équations af*= i, xf'^=\,. .. : on aura (AB...)'' = A''B''...= i. Donc AB... est une racine de l'équation proposée. Réciproquement, en faisant varier A,B,..., on obtiendra />*y^... produits tous différents, qui seront les diverses racines de la proposée. Car si l'on avait AB...= A'B'... sans avoir A = A', B = B',..., et qu'on eût par exemple A <A', il viendrait

AA'- = B'B-'..., d'où (AA'-)»^---i=r(BB'-'...)*^-"=«,

ce qui ne peut être : car on a (AA'""')''* = i; AA'""' serait ainsi racine commune aux deux équations ir''* = i, x'^^'" = i, ce qui est absurde, car elles n'oDt d'autre racine commune que Tunilé (409).

Cela posé, si A, B,... sont des racines primitives des équations correspondantes, AB... sera une racine primitive de la proposée; sans quoi elle satisferait k Tune des équations

iXf — ^^ I y JL ^— • J • • ' f

ce qui est impossible; car on a, par exemple,