AB...)'' = A''B^.. = A

expression < i , - n'étant pas divisible par />*, ordre de la première puissance

de A qui se réduit à l'unité.

Au contraire, si l'une des quantités A, B,..., A par exemple, n'était pas

racine primitive, il est clair que (AB...) se réduirait h i , et AB... ne serait pas racine primitive.

Les équations 0;''*= I , oc^^=i,,., ayant respectivement />*(i— -)'

p^it ) ' ' " racines primitives, la proposée en aura nli jfi j--

Soit a l'une de ces racines primitives : les autres seront évidemment les puissances d'ordre premier à n de celle-là.

412. Supprimons par la division tous ceux des facteurs de l'équation

ac"— I = o qui lui sont communs avec les équations a:'' — i = o, a?'' — i = o, . . . : nous obtiendrons une équation ¥{x) = o ayant pour racines les racines primitives de la proposée. Les équations considérées ayant pour premier coefficient l'unité, la division n'introduira pas de fractions, et F{oc) aura ses coefficients entiers : de plus, le premier de ses coefficients sera égal à 1 .

Théorème. — V équation ¥{x) = o est irréductible.

Cette importante proposition, prouvée d'abord par Gauss dans le cas où n est premier, a été établie généralement par M. Kronecker. Parmi les démonstrations qui ont suivi la sienne, nous choisirons celle de M. Dedekind.

413. Lemme. — Si ¥{oo) a un diviseur rationnel f[x) dont le premier coefficient soit égal à i , tous les autres coefficients de f[x) seront entiers.

Car supposons qu'il en soit autrement; posons

9(.r)sera un polynôme dont les coefficients seront rationnels, le premier étant égal a i . Supposons les coefficients fractionnaires réduits à leur plus simple expression, tant dans ^{x) que dans f{x). Soit p un des facteurs premiers qui entrent en dénominateur dans les coefficients Ae f{x)\ et soit M^^ un terme de ç(a?) tel, que p y entre en dénominateur à une plus haute puissance que dans les précédents, et à une puissance non moindre que dans les suivants. Soit Nx^ un terme choisi de la même manière dans

(p entre en dénominateur au moins dans le premier terme de cette

expression). Parmi les termes en x^'^^' que contient le produit /(x) -^-^ —

développé se trouvera le terme MN^'^'^'', qui contiendra p en dénominateur à une puissance au moins égale à 2, et supérieure à celle à laquelle il se trouve dans les autres termes du même degré. Donc en réduisant ensemble les termes de ce degré, p restera en dénominateur au moins à la seconde puissance : multipliant par ^, ce nombre resterait encore au moins une fois au dénominateur de ce terme-là: résultat absurde, les coefficients de Y[x) =f[x) ff{x) étant entiers.

414. Procédons maintenant à la démonstration du théorème. Supposons Yix) décomposé en facteurs irréductibles; soit

un de ces facteurs, choisi parmi ceux dont le degré est minimum. Nous allons établir que /, [x) admet toutes les racines de F(x), lesquelles ne sont antres que les puissances d'ordre premier à /i de la racine a.

i" Si f [x) admet pour racines a^ et a\ il admettra pour racine o^'. Car l'équation /, [x^) = o, ayant'une racine commune a avec l'équation irréductible f{x) = o, admettra toutes les racines de cette dernière, et en particulier a' : donc /, {a''') = o : donc / {.x) admet la racine a'''. II suffit donc de prouver que f{x) admet celled des racines de f{x) qui sont de la forme à^^ n étant premier.

DES IRRATIONNELLES. 5î»>;

2** Oi* le polynôme

a ses coefficieDis évidemment entiers, et de la forme M"; -h ttOK , N"; -h rr x, . . . ; ^n, 3fl>f.., étant des fonctions symétriques des racines de fi{x), et» par suite, des entiers. Mais le théorème de Fermât donne M'Jee^^M,, N'I^N,,..., (inod rr). Donc M^^M,, N^=^No-.., et enfin /^{x)e=^//{x). D'ailleurs les racines de /^^{x) étant des puissances de a, 6,..., d'ordre premier a /i, sont (les racines de f{x) : donc /t(«^) divise ¥{oo) : enfin il sera irréductible; car s'il avait des diviseurs rationnels, leur degré serait < X, ce qu'on suppose impossible.

Cela posé, on aura yîc(a?) =:/<(a;). Car s'il en était autrement, ¥[x), et par suite x" — i, serait divisible par le produit de ces deux fadeurs. Soit

x^ — i=:f,{x)f4x)(^{x)=f](x)(^{x) (mod. r);

on en déduit en différentiant

nx^'^2f\(x)f,{x)(^[x)-\-f]{x)(^'^x) (mod. r).

Les deux congruences j:r"— i =^ o et noo'^'*^^ o auraient donc en couimun toutes les racines de la congruence f^[x)^zo : résultat évidemment absurde, car la première n'est pas satisfaite par la valeur a;=EO, qui seule satisfait à la seconde. Donc f\{x) se confond avec /^{x), et admet la racine à^.

415. Cherchons maintenant la forme des substitutions du groupe G de l'équation ¥{x) = o.

i*' Soit d'abord n=p^, p étant premier impair. Soient ^o une des racines de F(;r), g une racine primitive de la congruence

g.f»«-f»«-' = , (mod.;;*).

Les racines de Y[x) seront données par la suite

Xaj X\ := X^^ y Xi "^^^ X'I ^^ X ^ » • • •

dont les p"^ — p^^^ premiers termes sont distincts, et s'expriment chacun par une même puissance du précédent. Cela posé, la substitution de G <|ui remplace x^, par x^ remplacera en général x^ par x^.^^ (401); elle sera

±m UVRE TROISIÈME.

donc circulaire : en outre, ses puissances constilueront à elles seules le groupe G (401).

2® Soit /i= 2". Si v< 2» la congruence

g^ ^1 (mod. 2^)

ayant encore un^racine primitive, on raisonnera comme tout à Flieure. Si V > 2, cette congruence n'a plus de racines primitives : mais on peut déterminer (14) un entier a tel, que la moindre valeur de t qui satisfasse à la congruence a'^i (mod. 2") soit 2"'^, puis un entier b qui ne soit pas une puissance de a, et dont le carré soit congru à i (mod. 2''). Les deux suites

a, a%. . ., a'^~'^a»; 6a, 6a% . . . , fca'""' (mod. 2")

reproduiront tous les nombres inférieurs et premiers à 2".

Cela posé, soit R = (0,0) une des racines de F (a:); et désignons en général par {r,s) celle des racines de cette équation qui est égale à (0,0)*'"*'. Le groupe de l'équation sera formé des substitutions de la forme

Soit en effet S une substitution du groupe, qui remplace (0,0) par (a, jS). Soient (r, s) une racine quelconque, {p, q) celle qu'elle lui fait succéder. La

substitution S opérée sur l'identité (r, 5) = (0,0)*'^'*' donnera

(p, ff)rz:(a, j3)*« =(rH-a,5-+-(3), d'où p = r-\-a, (i:=s-¥-^,

¥{x) n'ayant pas de racines égales.

3** Soit enfin n = p'^q^..., p, g,.., étant premiers et différents. Désignons respectivement par jo» J<f-» parz©, S|,..., etc., les racines des équations

yP — l Z^ — l

Soient

les substitutions des groupes de ces équations.

Nous avons vu que les racines de F(;r) sont les divers produits de la forme jr^f- (4*0' Posons en général (r, 5,...) = y^Zg.... Les substitutions

du groupe cherché seront les suivantes :

En effet, soit K une fonction des x invariable par ces substitutions; considérons-la d'abord comme fonction des y, lesz,... étant traités comme des coefficients indéterminés : K étant invariable par les substitutions

|r,5,... 9(r),*,... I, ou \ Xr rçH I

sera une fonction rationnelle des coefficients de /{y) et des quantités z^, s,,...;.... On voit de même que K peut s'exprimer rationnellement en fonction des coefficients de /(y)» de ceux de /i{z) et des indéterminées suivantes (représentées par des points dans l'écriture); et enfin que K est rationnel. Donc le groupe cherché est exclusivement formé des substitutions (3) qui n'altèrent pas K.

D'ailleurs il contient toutes ces substitutions. Car les substitutions (:2)

étant respectivement en nombre/>"( i — -)i ^f^fi — -U--- les substitutions

dérivées des substitutions (3) seront en nombre /i ( i — -î-j ( i -—-)•• • seulement : et le groupe cherché, étant transitif, contient au moins ce nombre de substitutions.

§ II. — Equations de Galois.

416. Soit ¥{x) = o une équation irréductible de degré premier p, et dont toutes les racines s'expriment rationnellement en fonction de deux d'entre elles x^ et x^. Cherchons quel sera son groupe G.

L'ordre de G ne peut dépasser p{p'-\). En effet, il est égal au produit du nombre des systèmes de positions distinctes que ses substitutions donnent à Xq et x^ par l'ordre du groupe partiel H formé par celles de ses substitutions qui ne les déplacent pas (44). Le premier de ces deux nombres est au plus égal à />(/> — i) : et le secortd se réduit à l'unité, l'adjonction de Xq et de x^ devant réduire le groupe de l'équation à la seule substitution I.

D'autre part, G étant transitif (357), son ordre est divisible par/? : donc G contient au moins une substitution d'ordre p. Cette substitution A, égale à [x^x^... x^... Xp^^)^ pourra être représentée par le symbole \ z z -h 1 |.

Le groupe G ne contient aucune substitution d'ordre /?, sauf  et ses puis-

sances. Car, s'il en contenait une autre B, il contiendrait les p^ substitutions A*Bl^, lesquelles sont toutes distinctes : car si A*BP était égal à A"'B^, sans qu'on eût iS'= /3, d'où a' = a, B serait une puissance de A, contre Thypothèse (407). Mais G contient au plus p{p — i) substitutions : donc il ne peut contenir de substitution telle que B.

La transformée de A par une substitution quelconque S du groupe G est semblable à A et fait partie de G : c'est donc une puissance.de A. Soit donc S= I 2 9(2) I : on aura une relation telle que S""'AS= A^, d'où la condition

9(2-i-i)=cp(z)-+-«, ou (p(3) = az4-a. Donc G ne contient que les substitutions de la forme

z az -\- oL

Il peut d'ailleurs les contenir toutes. Car supposons que le groupe de l'équation F(a?) = o ne contienne que des substitutions de cette forme : chacune d'elles, sauf l'unité, déplace l'une au moins des deux racines x^, a;,. Donc l'adjonction de ces deux racines réduit le groupe de la proposée à la seule substitution i; donc les autres racines sont fonctions rationnelles de ces deux-là.

417. La résolution de V équation proposée F(a?) = o se ramène à la résolution successive de deux équations abéliennes^ de degrés p — i et p. Car soit 9, une fonction des racines invariable par les seules substitutions \ z z-h a \. Adjoignons (f^ à l'équation proposée : son groupe se réduira aux substitutions ci-dessus : elle devient donc abélienne.

D'ailleurs (p^ dépend d'une équation abélienne de degré/? — 1 . Car soit Çp ce que devient (pi par la substitution \ z |9jz | : 9,,. . ., 9^, dépendent d'une équation de degré p—i.En outre, pour qu'une fonction de ces quantités soit rationnelle, il faut et il suffit qu'elle soit invariable par chaque substitution de la forme \ z az + ûr |, laquelle équivaut au changement de (pp en (p^p. Le groupe de l'équation en f « est donc formé des substitutions de la forme \ p ap \, lesquelles sont évidemment échangeables entre elles.

418. Comme exemple du type d'équations que nous venons de discuter, on peut citer la suivante :

lorsque la racine /i'^"'* de A est irrationnelle.

tiendra toute la suite des termes i, j, •..,y"*. Donc le nombre des facteurs 9(ir), (pi(ir),... ne peut dépasser a.

Or la résolution de Y entraînant par hypothèse celle de Téquation .r'' — A = o, chacune des racines 0:0,0:,,... sera une fonction rationnelle de 7.. Soit, par exemple, Xa=^{y). Le degré de Téquation irréductible (p[x) = o à laquelle x^ satisfait est égal au nombre des valeurs distinctes que prend la fonction ^{y) lorsqu'on y effectue les substitutions du groupe G

de l'équation /{y) = o. Ce nombre v est égal à ^-^^ ^ étant Tordre du

groupe partiel formé par celles des substitutions de G qui n'altèrent pas

+ {y)- Soient donc v, v, les degrés respectifs des facteurs (p{oo)el (fii^c): tous

deux divisent /7 — i: et leur somme est p : résultat absurde, à moins qu'on

n'ait V = /> — I , V, = I . Mais alors la proposée aurait une racine rationnelle,

ce qui n'est pas.

Donc r ordre du groupe de l'équation ocf — k^=^ o est égal à p[p — i) : €$

cette équation est irréductible.

30i LIVRE TROISIÈME.

donnent naissance eussent parfois une forme plus particulière eneore que celle que nous allons trouver, en nous appuyant sur les résultats obtenus par nos prédécesseurs.

§ I". — Equation de M. Hesse.

420. On sait que les neuf points d'inflexion des courbes du troisième degré sont situés trois à trois sur douze droites, qui s'y coupent quatre à quatre. Désignons ces points, ou les racines de Téquation X dont ils dépendent» par le symbole [x y), chacun des indices a?, y étant variable de o à 2 (mod 3) : et représentons par [xy) [ocf y') [x" y") la droite qui passe parles trois points [xy), [x' y'), [x" y")\ il est aisé de voir que les douze droites correspondent aux douze termes de l'expression

9 — (00) (01) (02) -h(io)(ii)(i^) -f- (ao)(2r)(22) -+- (00) ( 10) (20) -h (o I ) ( 1 1 ) (2 1 ) -h (02) ( 1 2) (22) -+- (00) ( 1 1 ) (22) 4- (o I ) (20) (12)4- (02) ( I o) (2 1 ) -+- (00) ( 1 2) (2 1 ) 4- (o I ) ( I o) (22) 4- (02) (20) (il)

formée par les produits tels que [xy) [x' y') [x** y'') qui satisfont aux relations

(i) X -{- X -{' x" ^y-^y' -^y" ^o (mod 3).

421. Le groupe de Téquation X se réduit aux substitutions qui n'altèrent pas Texpression <p. Car soit abc l'un des termes de 9 : la condition géoaiétrique que les trois points a, b^ c soient en ligne droite s'exprime analytiquement par une équation de condition entre les coordonnées de ces points. Mais ces coordonnées s'expriment rationnellement en fonction des racines comspondantes a, 6, c de l'équation X. Substituant ces valeurs des coordonnées dans l'équation de condition, on aura une relation de la forme

Soient maintenant S une substitution quelconque du groupe cherche a\ h\ c' les racines par lesquelles elle remplace a, b,c : on aura (356)

Donc les points a\b\c' seront en ligne droite; et a' b' & sera l'un lormes de 9.