subslitulions

I x^ y ax 4- a, ay -f- a' |.

Soit K le groupe formé des six substitutions de I pour lesquelles 0e = o. Une fonction des racines de X, invariable par les substitutions de K, dépendra actuellement d'une équation Z du troisième degré. Celle-ci résolue, le groupe de X sera réduit au groupe le plus général parmi ceux qui sont contenus dans K et permutables aux substitutions de I; ce groupe est évidemment formé des substitutions

qui permutent exclusivement entre elles les trois racines correspondantes à une même valeur de x. L'équation X se décompose donc en trois facteurs rationnels du troisième degré. D'ailleurs elle est abélienne.

424. L*équation auxiliaire Y a une signification géométrique très-simple. Un coup d'œil jeté sur l'expression 9 suffit pour reconnaître que les douze droites peuvent être groupées d'une seule manière en quatre systèmes tels, que les trois droites de chaque système contiennent les neuf, points d'inflexion. Ces systèmes dépendront donc d'une équation du quatrième degré, laquelle n'est autre que Y : car celles des substitutions de G qui permutent exclusivement entre elles les trois droites (oo") (01) (02), (10) (11) (12), (20) (21) (22) du premier système sont précisément celles du groupe H.

425. Théorème. — Si une équation du neuvième degré ^t irréductible^ el telle^ que deux quelconques de ses racines^ a et 6, étant données^ on puisse en déduire une troisième c, liée à aetb par les relations suivantes :

{où ij; désigne une fonction rationnelle^ symétrique par rapport aux deux variables qu'elle contient)^ le groupe de cette équation sera contenu dans G.

Cherchons en effet le groupe des équations les plus générales jouissant de la propriété énoncée. Soit S une de ses substitutions. Elle remplace le système des trois racines a, b, c par un autre système de trois racines a\ h\ d liées entre elles par les mêmes relations (356).

Deux des systèmes de racines ainsi obtenus ne peuvent avoir deux racines communes sans être identiques : car si a', V se confondaient avec a» h

sans que d se confondit avec c, l'équation proposée aurait deux racines égales c= ij^fa, h) et c'== ^{a\ h') et ne serait pas irréductible.

Chaque racine a fait partie de quatre systèmes différents : car soit h une autre racine quelconque; on peut, par hypothèse, déterminer une troisième racine c, liée à ces deux-là par les relations (2) : soit d une quatrième racine; il en existe une cinquième, associée à a, d^ etc.

Chaque système contenant d'ailleurs trois racines, on aura en tout douze systèmes, évidemment analogues aux droites du n^ 420, et qui correspondront comme elles aux douze termes de la fonction ç .

426. Les équations du huitième degré dans lesquelles trois racines quelconques, a, 6, c étant données, on en déduit une quatrième d^ satisfaisant aux relations

où ^ désigne une fonction rationnelle et symétrique, ont été considérées par M. Mathieu : elles se traitent exactement par les mêmes principes. On voit en effet : 1® qu'en désignant leurs racines par le symbole {xyz)^ où a;, j, z varient de o à i(mod 2), leur groupe est contenu dans le groupe G de la fonction 9 formée par la somme des quatorze produits de quatre racines telles, que les sommes de leurs indices soient nulles; 2"^ que les substitutions de G sont de la forme

\ x,y^z ax -h by -h cz -^ a, a' X -¥- b' y -h c' z -f- a', a" x -¥ b" y -\- c" z -\- ol" \ ;

.V que les termes de 9 se groupent deux à deux en sept systèmes tels, que les deux termes de chacun d'eux contiennent les huit racines; 4^ que l'équation aux sept systèmes étant résolue, le groupe de la proposée se réduira aux substitutions

ce qui ramènera sa résolution à celle de trois équations du second degré.

§ II. — Équations de M. Clebsch.

427. Le problème de déterminer une courbe du troisième ordre dont les points d'intersection avec une courbe donnée G du quatrième ordre coïncident quatre à quatre conduit à une équation X du degré 4* [Clebsch, Uber

LIYIE TBOHfcME.

âtm^emJimg âtr AbeUdicn Puncdonen in der Géométrie {Journal de IH . do..

Lm racines de celte équation étant représentées par six indices, x^^..., JT^^ variables chacun de o à 3, on aura le théorème suivant (Mémoire cité, I VII:

ijes points de contact de C avec les courbes correspondantes aux quatre racines 'X|... x^jf (x\... x\)^ (^'i ••• ^i)t [x\... x\) sont situes sur une même courbe D du troisième ordre^ longue les six congruences contenues dans la formule suivante

( 3 . Xf -h j/p -h j:J -h x^^ o ( mod 4 )

sont simultanément satisfaites.

On en conclut» comme au n^ 421» que le groupe de X se réduit aux substitutions qui laissent invariable Texpression 9 formée par la somme des produits de quatre racines qui satisfont aux relations (3).

428. On voit ensuite, comme au n® 422, que le groupe G de la fonction f contient les substitutions de la forme

Réciproquement, les substitutions de la forme 2 sont les seules que contienne G : car soit S une substitution de G, laquelle remplace (0...0) par une autre racine (««...a^); on aura S = T2|, 2, étant la substitution

I ^1» • • • » X^ X\ -+- CL\y • • , X% -f- 0L% j ,

et T une nouvelle substitution de G, qui ne déplace pas la racine (0...0). Cette substitution T permutera évidemment les uns dans les autres ceux des termes de 9 où entre le facteur (0...0). Donc elle remplacera chaque racine par une autre racine, qui figure le même nombre de fois dans ces termes. Or celles des racines pour lesquelles x^,...^x^ sont tous pairs n'y figurent pas le même nombre de fois que les autres. En effet, il est clair que la racine {x^...x^) y figure autant de fois qu'il y a de manières de délorminer deux autres racines {x\ . . . x\), {x\ ...x\) satisfaiss^nt aux relations

( 4 ) Xf-hx'^-hx^^^o ( mod 4 ),

en exceptant les systèmes de solutions dans lesquels on aurait générale ment, .r^ = o, ou x\ = x^, ou x' = o, ou x] = x^, ou enfin cé^=x\.

Or s*il n'y avait à faire aucune exclusion* on pourrait choisir arbitrairement les indices x\ , et les relations (4) détermineraient les indices x\ . Le nombre des solutions serait donc toujours le même. Mais si les x^ ne sont pas tous pairs, on aura seulement quatre cas d'exclusion, car il est absurde de supposer que les relations (4) puissent être satisfaites en posant x^ = x\ . Si lesa-p sont tous pairs, sans être tous égaux à a, on aura cinq cas d*cxcln-

sion : à savoir, les quatre précédents, et celui où l'on a a?^ = iCp = - x^. Enfin si les x^ sont tous égaux à 2, et les x^ ou les x^ égaux à zéro, les x^ €)u lesa?'p seront égaux aux x^ : les cinq cas d'exclusion se réduisent donc il trois distincts.

La substitution T fait donc succéder la racine (io...o), dont les indices ne sont pas tous pairs, à une autre racine (ai a^... a^), dont les indices ne sont pas tous pairs. Mais il existe une substitution linéaire qui produit ce remplacement. Car il existe (121) une substitution linéaire

qui remplace X| par ai^c, -+-...-i-aea?,; et l'opération

^ — I X\f • • • , Xg di X\ -f" . • • "T" T\ X$f • • • I ùi^Xx "T" • • • ~T~ J% X^ |)

qui a le même déterminant, sera aussi une substitution, laquelle remplace (10... .0) par (aia2...a«).

Posons T = T'2' : T' sera une nouvelle substitution de G, laquelle laisse (00. ..o) et (10...0) immobiles. On voit maintenant comme tout à l'heure : i^'que T' fait succéder la racine (01... o) à une autre racine (a, a2...«e)' dans laquelle les indices a,,..., d^ ne seront pas tous pairs; 2^ que parmi les substitutions linéaires qui laissent (10...0) immobile, il en existe une, 2'\ qui produit ce remplacement. On posera T' = T'I" : et continuant ainsi, il viendra

U étant une substitution de G, qui laisse immobiles les sept racines (00... o), (10. ..o), (01. ..o),..., (00... 1).

Or considérons un terme quelconque de 9 : si U laisse invariables trois des facteurs qui forment ce terme, elle n'altère évidemment pas ce terme, et par suite, laisse invariable le quatrième facteur. Par l'application réitérée de ce principe, on reconnaît que U laisse immobiles les racines (33oooo), (3o3ooo), (o33ooo); puis (i i 1000); puis (200000) et (3ooooo).

Donc U laisse immobile la facÎDe (jSiOoooo), quel que soit ^,; et par une raison de symétrie évidente» elle laissera immobiles les racines (ojSsOooo);..., (ooooo/3e), quels que soient /32,..M|3f Appliquant de nouveau le principe ci-dessus, on voit que U laisse immobiles

(4 — jî,, 4 — jî„ 4 — pj, o, o, o), (a, o, o, 4 — (34, 4 - Pm 4 — ?c)

et enfin (/3| ^2 j^s ^* j^s j^e)- Donc U, laissant immobile une racine quelconque, se réduit à Tunité, et S sera de la forme 2.

i29. Les problèmes de contacts traités par M. Clebsch dans le Mémoire cité Tont conduit à un grand nombre d'équations analogues à la précédente, parmi lesquelles nous Indiquerons les suivantes :

i"^ L'équation du degré 3^^ qui détermine les courbes du cinquième ordre dont les points d'intersection avec une courbe donnée du sixième ordre coïncident trois à trois (§ VII du Mémoire);

2*^ Celle du degré 4' dont dépendent les plans qui coupent une courbe gauche du quatrième ordre en quatre points consécutifs;

3^ Celle du degré 3' qui détermine les courbes gauches du quatrième ordre qui coupent une courbe gauche du sixième ordre en douze points coïncidant trois à trois (§ XVII et XVIII du Mémoire).

Les raisonnements qui précèdent s'appliquent sans difficulté à ces dî<vei'ses équations, et montrent que leur groupe G a ses substitutions de la forme

I J^i, Xif ... (il X\ -f- OiX-i -+-... -f- 0C|) fif] Xi -+- btX i -f- . , . -f- OLif ... |.

430. Les facteurs de composition de G sont évidemment ceux du groupe linéaire

\xxjXî,.. a, jc, -f- 6, ^, -h. . ., rtajc, -f- 6jjr, H-. . . , . . . |

déterminés plus haut (127-140), joints à ceux du groupe partiel

I X\y JTj, ... X\ -\- OCxj Xj -|- flCj, . . . |,

lesquels sont évidemment égaux aux facteurs premiers de m", n étant I nombre des indices a:,, ^Tj,..., et w le nombre de valeurs de chacun d'eu:

les racines de Téquation aux seize droites seront contenues dans la formule

û[>.„).„).3,).o ±\9lX), ±v?(>7), ±^9Ô7h ±v^T>7)],

où n et 9 sont des fonctions rationnelles. »

432. Le groupe de l'équation X aux seize droites se réduit aux substitutions qui n'altèrent pas l'expression

9zz:2.6-i-3.7-+-4-8^-5«9-^-'~^5''6-i-6.i3-+-7.ii-+-8.io.

En effet, soient ab l'un des termes de cette expression; S une substitution du groupe cherché; a\ b' les racines qu'elle fait succéder à a, b. Les deux droites a, b étant dans un même plan, tangent à un cône singulier, on voit comme au n^ 421 que les droites a\ b' jouiront de la même propriété : donc a'b' est un terme de 9.

433. Le groupe G de la fonction 9 contient au plus 16. 1 . 2. 3. 4- 5 substitutions. Car son ordre est égal au produit du nombre de positions distinctes que ses substitutions permettent de donner k la racine 2, lequel est au plus égal à 16, par l'ordre du groupe partiel H formé par celles de ses substitutions qui ne déplacent pas cette racine (44). Les substitutions de H permutent exclusivement entre elles les cinq racines 6, 16, 10, 11, 12 qui se trouvent associées a 2 dans les termes de 9. L'ordre de H est donc au plus égal à 1 . 2.3. 4- ^ 0, 0 étant l'ordre du groupe partiel I formé par celles de ses substitutions qui laissent immobiles les racines 2, 6, 16, 10, 11, 12. Mais la racine i, étant la seule qui soit associée à la fois k 6 et à 16 dans les termes de 9, ne sera pas altérée par les substitutions de I; de même pour chacune des autres racines. Donc I se réduit à la seule substitution f .

D'autre part, on vérifie sans peine que G contient les substitutions

A=:(2,i)fio, 7)(ii,8)(i2, 9), A.==:(6,7)(i4, i2)(i3, ii)(3,a), A. = (7,8)(io,ii)( 4,3)(i4, i5), A3 = (8,9)(ii,ia)(i3,i4)(5,4),

. B =( 9, i6)(4, io)(2, i3)(3, ii)(5, 0(6, i2)( 7, i4)( 8, i5). B..= (i2, i6)(4, 7)(i,i3)(3, 8)(5,2)(6, 9) (10, i4)(ii, i5), B, = (i4, i6)(4, 6)(i,ii)(2, 8)(5,3)(7, 9)(io, i2)(i3, i5), B.:=(i5, i6)(3, 6)(i,io)(2, 7)(5,4)(8, 9)(ii, i2)(i3, i4),

et leurs dérivées. Ces dérivées sont au nombre de 16. 2. 3.4- 5. En effi

ft'^^onction f est la somme de dix fonctioDS partielles a,, 6|;...; a^, 65, respectivement formées par les quatre termes de f qui correspondent à un même faisceau de coniques : et Ton voit que les substitutions A, A,, A,, A,, B, S,, Bs, B3 permutent les unes dans les autres ces dix fonctions partielles, et leur font éprouver les déplacements suivants :

a, = (a, ûa) (6, &,J, ^A., = (a, Oi) {bt &,), a., — (a, a,) (A, 64), a., = (n^ a,){b^ b^) iH> = («. b^){a, &s), ift», = («, 6,) (ûr» b,), ift,, = (/ï, &,) {a, A»), ift,, = (a* 64) (ût* As).

Cela posé, les substitutions Xj x^ x^* M* combinées entre elles, permettent de permuter d*une manière quelconque les cinq couples de fonctions . a,, 6,;...; a^, b^\ et les seize substitutions de la forme «ui^^ Di»^/ iib^^* ^s p6>*muteront entre elles les deux fonctions de chaque couple, sans déplacer ces couples. Donc Tordre du groupe ç dérivé de x, .t»i,..., uî,,, et a fortiori Tordre du groupe dérivé de leurs correspondantes A, A,,..., B, est au'moins égal à I. 2. 3. 4-5. 16.

434. Le groupe ^ de Téquation Y du dixième degré qui a pour racines

a^, 6|;...; a^^ h^ ajant le même ordre que G, Téquation Y est équivalente à

Téquation aux seize droites. Donc les racines i, 2,..., 16 sont des fonctions

rationnelles de a,, b^\.,.\ a^, b^. Pour avoir la forme de ces fonctions, on

remarquera que la racine 16 reste invariable par les substitutions A, A|,

Atf A,, respectivement correspondantes à x, x^, <A»2, Ji>,. Donc cette racine

est une fonction symétrique par rapport aux cinq couples a,, 6|;...; a,, 6^,

et pourra s'exprimer en fonction rationnelle de la fonction

ai — bi -{- a2 — 6| -h ... -h a» — 65,

invariable par les mêmes substitutions.

Soit donc

16 = 4* (a, — 6, -h ... -I- «î — Aj).

On ne troublera pas cette égalité en opérant à la fois sur son premier tinembre les substitutions dérivées de B, B,, B^* B3 et sur son second membre les substitutions correspondantes dérivées de ijl>, ia>4, i)l>2, iil>3; ce qui détertliinera les diverses racines 1, 2,..., 16 en fonction des différences a, — 6,,...,

^^5 — assoient maintenant X| une fonction symétrique de a,, 6,; X3,..., X^ les

Tonctions analogues de a,, 6,;...; a», 65. Toute fonction symétrique des cinq

«quantités X est invariable par les substitutions de ç, et, par suite, ration-

nclle. Donc À,,..., X5 sont les racines d'une équation du cinquième degré à coefficients rationnels. Adjoignons ces cinq quantités à l'équation donnée du dixième degré. Celte équation sera décomposée en cinq facteurs quadratiques : car les coefficients de Téquation quadratique qui détermine ai, 6,» étant symétriques en ai, b^^ s'expriment rationnellement en X,. Soient 5(X,), ô,().4) ces coefficients : les deux expressions nulles

seront invariables par toutes les substitutions de G. Mais ces substitutions permettent de remplacer a,, 6,, X, par as, 63, X2;...; 0$, 65, X^. Donc, quel que soit l'indice r, a^et b^ seront données par Téquation quadratique

Résolvant cette équation, il vient

ar— b, = \/9(Xr), 9 étant une fonction rationnelle. Donc la racine 16 sera égale à

Les autres racines s'obtiennent en opérant sur cette expression les substitutions dérivées de iP*>, 1^)4, ifl)2, ifl),, lesquelles reviennent h exécuter sur les radicaux des changements de signe en nombre /?air.

Cette expression des racines, plus symétrique que celle de M. Clebscb, contient une irrationnelle de trop; car aj, 65, et, par suite, leur différence

VffXs), s'expriment rationnellement en fonction de ai, 6|;...; a^.é^, qui s'expriment eux-mêmes en fonction de X,,..., X4, V?(^i )»•••» V?(^4)-

435. Soient en général G un groupe de substitutions échangeables entre elles opérées sur p lettres x,y,...; A, B, C... ses substitutions; A,,Bm C,....;...; A^, B^, C^,... des substitutions analogues respectivement opérées sur q systèmes analogues de p lettres, a?,, y,,...;....; Xg^ j^,.... Soient en outre A, B,... des substitutions en nombre q, choisies arbitrairement dans le groupe G, de telle sorte pourtant que leur produit donne l'unité : et formons la substitution A1B2.... Les diverses substitutions ainsi construites forment un groupe H; car, soient A, B2... et A', B^... deux de ces substitutions : leur produit fait subir aux lettres des divers systèmes les déplacements représentés par A, A'^, BsB',*.».» qui, effectués successivement sur

31 i UVRE TROISIÈME.

restants e^f^ A, c, U q^ formeront Tune des seize combinaisons de six plans concourants.

Ces résultats admis, ajoutons ensemble les seize produits, tels que efhclq^ respectivement correspondants aux seize combinaisons de plans : nous obtiendrons une fonction du sixième degré :

cp == bcdein -\- cdafkp -h dabglq -f- abchmr -f- fghina -+- ghekpb -f- heflqc -f- efgmrd -f- klmnae ■+- Imipbf -\- mikqcg-h iklrdh -h pqrftei ■+- qrnbfk ■+■ rnpcgl •+■ npqdhm.

Considérons maintenant l'équation du seizième degré dont dépendent les plans singuliers; et soient a, b, c,... ses racines. Le groupe G de l'équation ne contiendra d'autres substitutions que celles qui laissent invariable l'expression 9 (421 ).

437. Ce groupe ne peut contenir plus de i6. i5.8.6 substitutions. En effett le nombre des^systèmes de places différents où ses substitutions permettent d'amener a et 6 ne dépasse pas [6. i5. D'autre part, celles de ses substitutions qui laissent a et 6 immobiles laissent évidemment invariable la fonction partielle ab[chmr-\-dglq) formée par ceux des termes de <f qui contiennent ab en facteur. Elles ne permettent donc de transporter c qu'à l'une des huit places actuellement occupées par c, A, m, r, d, g, li q. Celles des substitutions de G qui laissent a, 6, c immobiles laissent invariable le terme abchmr; elles permutent donc entre elles les trois racines A/7tr, ce (|ui ne peut se faire que de six manières. Enlin, on vérifie immédiatement que toute substitution de G qui laisse a, 6, c, A, m, r immobiles se réduit à Punité.

Mais G contient précisément i6. 1 5. 8. 6 substitutions. Car on peut vérifier qu'il contient les suivantes :

X=(ei){fk){gl)(hm), h = {ch}(dg){kn)(ip), C ^{bc){fg)(kl)(pq), ]}^{in){kp){lq){mr), E^{cd){gh){lm){qrl ¥ = {ab){ef){ik){np),

qui permettent d'amener a à une place quelconque, puis 6 à l'une quelconque des quinze places restantes, puis c à l'une quelconque des huit places.précédemment occupées par c, h, m, r, d, g^ /, 7, et enfin de permuter entre elles d'une manière quelconque les trois racines A, m, r.

438. Supposons que les seize racines actuellement désignées para»^, ^ c,... soient représentées à l'avenir par une même lettre, affectée de quatre

indices ^, v, z, u, variables chacun de o à i. On peut donner à la racine a les indices o, o, o, o, puis choisir les indices correspondants aux autres racines de telle sorte que les substitutions A, B, C, D, E, F prennent les formes suivantes:

C -: I X,}\ Z, tl jr, X, Z,U |, D = I XyXy Z, U X,Xf 2-^u,u I ,

E = I ^'Xf Zf " ^ -^r»r> ^» " I» F -. I x,Xy z.u X -^y -+-1,7, s, w I .

• Ces substitutions sont évidemment contenues dans le groupe F dérivé de la combinaison du groupe abélien avec le groupe H formé des substitutions

D*ailleurs Tordre de F est égal à 1 6 ( 2* — i ) 2' ( 2^ — i ) 2 ; il est donc égal à l'ordre de G; donc ces deux groupes sont identiques.