Considérons maintenant la fonction
^ à a 00 or
I^lle est évidemment invariable, ainsi que 9, par toutes tes substitutions clc G. D'ailleurs chaque terme de 9 fournissant si.x termes par la différentiat i on, ff' en contiendra quatre-vingt-seize. Mais ces termes peuvent être groupe €s seize à seize en six systèmes, en réunissant ensemble ceux que les substitutions de H permutent entre eux. Et Ton vérifie immédiatement que ^^liacune des substitutions A, B, C, D, E, t dont G est dérivé remplace les 1 ^rmes de chaque système par ceux d'un même système. Ces systèmes sont ^Icnc les racines d'une équation X du sixième degré, dont les coefficients ^^C3nt invariables par les substitutions de G, et par suite rationnels.
L'équation X étant supposée résolue, le groupe de la proposée sera réel uit à celles de ses substitutions qui n'altèrent pas les systèmes, c'est-à-dire ^ celles de H: l'équation sera donc abélienne, et quatre racines carrées ï^chèveront sa résolution (407).
L'équation X appartient au type le plus général des équations du sixième
degré : car son ordre est au moins égal à — ' =1.2.3.4. 5. 6.
440. En général une équation de degré a^" dont le groupe est formé des
substitutions
jointes aux substitutions du groupe abélien, se résout par une équation du degré 2^'''~' — a"^* , et par 2/1 équations du second degré. Car soit /une fonction des racines, invariable par les substitutions (5) et variable par toute autre substitution. Son adjonction réduit le groupe de la proposée aux substitutions (5). On pourra donc achever la résolution au moyen de 2/1 équations du second degré. Mais le groupe de Téquation X dont dépend / est isomorphe sans mériédrie au groupe abélien, et par suite au groupe steinerien de degré 2^""* — 2""* qui est isomorphe à ce dernier. Il existe donc une certaine fonction des racines de l'équation X à laquelle les substitutions du groupe de X font prendre 2^""* — 2"^* valeurs algébriques distinctes, qu'elles permutent suivant le mode steinerien (68-73). L'équation Y d'où dépend celte fonction sera du degré 2^""' — 2""*, et équivalente à X.
§ V. — Droites situées sur les surfaces dv troisième degré.
441. Steiner a fait connaître {Journal de M, Borchardt^ t. LUI) les théorèmes suivants :
Toute siiiface du troisième degré contient vingt-sept droites;
Vune quelconque d'entre elles, a, en rencontre dix autres^ se coupant ellesmêmes deux à deux, et formant ainsi avec a cinq triangles. Le nombre total des triangles ainsi formés sur la surface par les vingt-sept droites est de qua-, rante-cinq;
Si deux triangles abc, a' b'c' nont aucun côté commun, on peut leur en associer un troisième a" b" c" tel, que les côtés correspondants de ces trois triangles se coupent^ et formentjrois nouveaux triangles aaa", bb'b", cc'c".
D'après cela, désignons par les lettres a, b, c, d, e,f, g, h, i, k, l^m , w, p, y, r, s, t, u, m\ n\p', q\ r\ s', t\ u' les vingt-sept droites : on formera sans peine le tableau suivant des quarante-cinq triangles, où la désignation des droites reste seule arbitraire :
abc, ade, afg, ahi, ahl, bmn, bpq, brs, biu, cm'n, cp'q', cr's',
ct'u', dmm', dpp\ drr', dtt', enn', eqq', ess', euu' , fmq' , fpn', fsV ,
fur', gnp', gqm', gru', gis', lims' , hrn' , hqV , liup' , inr', ism', itq\
ipu, kmu', ktn!, hqr' , ksp' , Int', lum', Irq', Ips'. *
318 Ln-HE TBOeifeME.
systèmes de pinces dii>tincls. Enfin la tlernière substitution permet de permuter ealre elles les deux racines restantes r et t. sans déplacer a, h, d, m. p.
Donc G u^ contient pas moins de 37.10.8. 12. a substitutions; en outre, le groupe partiel H déiivé des seules substitutions A, B, C, D, E en contient au moins 37.10.8.1a. Nous allons prouver : 1" qu'il en contient précisément ce nombre; 2" {pj'il est permutable à toutes les substitutions de G.
443. Cbacune des substitutions de G, transformant les uns dans les autres les divers termes de f, équivaut à un certain déplacement opéré entre ces termes. Les divers déplacement» ainsi équivalents aux diverses substitutions de G forment un groupe G,, dont les substitutions correspondent une à une a celles de G. Celles des substitutions de G, qui résultent d'un nombre pair de transpositions entre les termes abc, ade,... forment un groupe partiel ^, permutable aux substitutions de G,. Les substitutions correspondantes du groujie G forment un groupe ^, permutable aux substitutions de G. En effet, soient S, S' deux substitutions de 5 ; S, , S', les substitutions correspondantes de ^i : S, S'i faisant partie de 5,, s» correspondante SS' fera partie de la suite ^, laquelle formera ainsi un groupe. D'auirt; part, soient T une substitution quelconque de G, T, sa correspondante : T,"'S,T, faisant partie de ^,, sa correspondante T' ST fera partie de ,',; donc T sera permutable à ^'j.
Or on vérifie sans dilTicuUé que ciiacune des substitutions A. B. C, D, E
équivaut a un nombre pair do transpositions entre les termes abc, ade
Donc H. qui en dérive, est contenu dans 5. Au contraire, la substitution F, équivalant à un nombre impair de transpositions, n'est pas contenue dans te groupe. Donc ,|j, dont l'ordre est un diviseur de celui de G, renferme au plus la moitié des substitutions de ce dernier groupe. Maïs il contient H, qui en renferme ta moitié : ces deux groupes sont donc identiques.
444. Les facteui's de composition de G sont évidcmaieiil a et les facteurs de composilioa de H. Mais ce dernier groupe est simple. Soit en elTet I un groupe contenu dans H et permutable à ses substitutions : on jirouvera par des considérations analogues à celles des n"' 268 et 283 que 1 contient : 1° une substitution qui ne déplace pas a; 2" une substitution qui ne déplace pas a, b; 3" une substitution qui ne déplace pas a, b, d\ 4° 1^^ substitution E; 5" les substitutions A. B, C, D, E, transformées des puissances de i'] par les substitutions de H.
Nous nous bornons à indiquer ce procédé direct de démonstration, la proposition à établir devant se retrouver plus loin (502).
445. L*équation aux vingt-sept droites a plusieurs réduites remarquablest signalées par divers géomètres.
i*' Prenons, par exemple, pour inconnue de la question le plan du triangle formé par trois droites qui se coupent : ces triangles étant au nombre de quarante-cinq, on aura une équation du quarante-cinquième degré, équivalente à la proposée.
a® On peut déterminer de -^-^ — manières différentes un système de deux
triangles qui n*aient aucune droite commune; a chaque semblable système correspond un triangle associé (441). Réciproquement, chaque système de trois triangles associés [trièdre de Steiner) correspond aux trois combinaisons deux à deux des triangles qui les forment. Le nombre total des trié-
dres sera donc ^ ' ^* On peut d'ailleurs les grouper par paires {doubles trié'
cires) en réunissant ensemble ceux qui contiennent les mêmes droites. Enfin les doubles trièdres peuvent être associés trois à trois, en réunissant ensemble ceux qui n'ont aucune droite commune. Prenant pour inconnue système de trois doubles trièdres, on aura une équation de degré
—-^ — 5 = 4o, et équivalente à la proposée.
3® On peut déterminer de ^^^ manières différentes une paire de droites
ui ne se coupent pas. On peut d'ailleurs grouper ces paires six à six [dou-
S'six de Schiâfli), de telle sorte que les droites d'une paire rencontrent
:^ hacune une droite de chaque autre paire du double-six. Les doubles-six
épendent donc d'une équation du degré ^' = 36, qui sera encore équi-
alente à la proposée.
Aucune réduite d'un degré inférieur au vingt-septième n'ayant été renontrée jusqu'ici, on était fondé à penser qu'il est impossible de ramener I ^i résolution de l'équation aux vingt-sept droites à celle d'une équation 'un degré inférieur. Nous allons en effet prouver cette proposition.
446. En effet, si un semblable abaissement de degré pouvait avoir lieu, 1. aurait lieu a fortiori après l'adjonction de la racine carrée qui réduit le
roupe de la proposée à H. Supposons donc cette adjonction opérée : soient
Ej7 Téqualion aux vingt-sept droites, E^ celle des éauations équivalentes dont le degré d est minimum^ cette dernière équation sera irréductible et primitive. En effet, ses racines sont des fonctions rationnelles de celles de E27 (380). Si donc E^ n*était pas irréductible, elle se décomposerait en facteurs irréductibles de degré inférieur à d; et la résolution d'un seul do ces facteurs, faisant connaître des fonctions des racines de Est qtii auparavant n'étaient pas rationnelles, abaisserait le groupe de cette équation. Mais ce groupe H est simple: donc l'équation E27 serait complètement résolue; donc d ne serait pas le minimum supposé. D'autre part, si E^ n'était pas primitive, ses racines se grouperaient en systèmes, dépendant d'une équation dont le degré divise d^ et la résolution de cette dernière équation, abaissant le groupe de E27. la résoudrait complètement; donc, ici encore, d ne serait pas minimum.
Cela posé, l'ordre du groupe G^ de E^ est égal à celui du groupe de E27, lequel est f2 = 27.10.8.6.2 (443); mais il est divisible par d, et divise i.2..,rf. Donc si rf< 27, il sera l'un des nombres 2/1, 20, 18, 16, i5, la» 10,9.
447. IL n'existe aucune réduite de degré 24, 1 8 ow 12. Car soit, pour fixer les idées, d=2^. Adjoignons à l'équation E24 une de ses racines, x : l'équation E2S qui détermine les vingt-trois racines restantes a son groupe G2S
formé des substitutions qui laissent x immobile, et son ordre est égal à -79
nombre divisible par les nombres premiers 2, 3, 4- Les équations irréductibles dont elle est le produit ont donc leur ordre divisible par ces trois nombres premiers, à l'exclusion de tous les autres (397). Donc chacune de ces équations est du degré 5 au moins; en outre, aucune d'elles n'a pour degré 7, 8 ou 9, car son ordre ne pourrait être divisible par 5 sans Tétre par 7 (398); enfin aucune d'elles n'a son degré divisible par un nombre premier autre que 2« 3, 5, car ce nombre premier diviserait son ordre. D'après cela, les seules hypothèses admissibles pour les degrés de ces facteurs irréductibles sont les suivantes : 18 et 5; 12, 6 et 5; 6, 6, 6 et 5.
Mais ces hypothèses elles-mêmes doivent être rejetées. Considérons, par exemple, la première (les mêmes raisonnements s'appliqueraient aux deux autres). Supposons que E23 soit le produit de deux facteurs E^» et E5 ayant respectivement pour racines j,,...,j, g et a:,,..., a^g. L'ordre du groupe partiel r^*^^ formé par celles des substitutions de G24 qui laissent immobiles jc
et x^ sera -7-^ et celui du groupe partiel A'"^ formé par celles de ces substitu-
3±I LIVRE TROISIÈMC.
tiou de K (à l'exception de TuDité) ne laisse les dix premières racines immobiles à la fois. Soient en particulier x, ifi>f, «;i.2an>3«... les substitutions de 2K : le groupe oc' formé par les substitutions partielles X|, .1.2»... opérées sur les dix premières racines sera évidemment contenu dans le groupe K' formé par les substitutions partielles A|, A2*..*» et contiendra un vingtième (lu nombre total de ses substitutions.
Or on voit immédiatement que K', dérivé des substitutions
[bhk){cU), (dhk](eil). {gltk)[fU). {fhk){gil),
contient : i^ les substitutions qui résultent d'un nombre pair de transpositions entre les cinq systèmes binaires bc, de^/g, hi, kl: n*^ les substitutions qui ne déplacent pas les systèmes, mais permutent ensemble les deux ra* cines dans un nombre pair de systèmes. On reconnait en outre facilement que tout groupe tel que DC', contenu dans K' et contenant le tinglième de ses substitutions, contient le groupe L' formé par ces dernières substitutions. D'ailleurs V est permutable aux substitutions de K'; et réciproquement tout groupe contenu dans K' et permutable à ses substitutions est contenu dans L'.
Les substitutions de K et de K' se correspondent évidemment une. à une, de telle sorte qu*au produit de deux substitutions correspond le produit de leurs correspondantes. Le groupe 9C , formé des substitutions de K dont le premier facteur appartient à 9C\ contiendra le groupe L formé des substitutions de K dont le premier facteur appartient à L' : donc 5, qui contient oc, contiendra L. En outre, L sera permutable aux substitutions de K, et réciproquement tout groupe contenu dans K et permutable à ses substitutions sera contenu dans L.
Soient maintenant S une substitution quelconque de H; ai la racine par laquelle elle remplace a : elle transformera K, L en deux autres groupes K,, L|, qui jouent par rapport à la racine a, le même rôle que K, L par rapport à la racine a. Raisonnant comme précédemment, on voit que 5 contiendra les transformées des substitutions de L par une substitution quelconque de H; mais ce dernier groupe étant simple, ces transformées, combinées entre elles, le reproduisent tout entier. Donc 5, au lieu de contenir, comme il le faudrait, le vingtième des substitutions de H, se confondrait avec lui.
449. // n'existe aucune réduite du degré 16. SMI en existait une, Ë14, soient £,5 l'équation qui donne quinze de ses racines après l'adjonction de la seizième. G, 5 son groupe, O45 son ordre : on voit» comme au n^ 447, que
par T, ne déplaçant pas &9 appartiendraient à G9 : résultat absurde, car le groupe dérivé de ces deux substitutions, alterné par rapport ^ «i, /3|, 7,, e,, ayant son ordre divisible par 4. ne peut être contenu dans G,,, dont Tordre est 2.3*.
450. Supposons maintenant I*équation E|& irréductible et primitive. Adjoignons-lui une de ses racines, x; Téquation Ei, qui donne les racines restantes aurait pour ordre O^ = -g — ^ = 4-27, et se décomposerait en facteurs irréductibles dont Tordre divise ce nombre, et admet les diviseurs premiers 2 et 3. On aurait donc deux facteurs du quatrième degré avec im du sixième, ou avec deux du troisième.
I** Ces deux hypothèses doivent être rejetées. En effet, cousidérons cTabord la première. Soient E^, E4,E« les trois facteurs de E,4. L'ordre de E« étant premier à 5, Téquation E5 qui s'en déduit par Tadjonctîon d'une de ses racines sera décomposable en plusieurs facteurs irréductibles, et de quelque manière qu'on imagine que cette décomposition ait lieu, on arrivera à cette conclusion que Eo n'est pas primitive (395). Les racines se grouperont donc deux à deux en trois systèmes, ou trois à trois en deux systèmes.
Le premier cas est inadmissible : car O,^ serait divisible par 8 ou ne le
serait pas par 27, et, par suite, ne saurait se confondre avec -g — ^- En effet, Ot4 est égal au produit de Oo, ordre de E,, par P, ordre du groupe F formé par celles des substitutions de Gm qui ne déplacent pas les racines de E«. Chaque substitution de ce dernier groupe est le produit de deux substitutions partielles opérées respectivement sur les racines de E\ et de E*^ : et son ordre est évidemment divisible par Tordre P' du groupe T' formé par les premières substitutions partielles. Mais F est contenu dans le groupe G\ de Téquation F^ et évidemment permutable à ses substitutions. D'ailleurs G^ ayant son ordre divisible par 4 ^t par 3, et non par 8, est alterné; et Ton voit immédiatement qu'il y a en tout trois groupes contenus dans G\ et permutables à ses substitutions, lesquels ont respectivement pour ordre 12, 4 ^t i. Donc P' = i2, 4 ou i. Mais 0« étant divisible par G» 0,4= OeP sera divisible par 8 si P'> i. On doit donc admettre que F se réduit à la seule substitution i. On voit de même que le groupe V formé par les secondes substitutions partielles se réduit à la seule substitution 1. Mais alors on aura 0,4 = 0o, et ce nombre divisant \\2.'5.{\.2y ne sera pas divisible par 27.
Mais Ë, 5 a pour ordre 0,5= -g = 2*.3*.5 = mpqr. D'ailleurs m divise i.a.3;
donc un des nombres p, q^ r, et un seul, est divisible par 5. Supposons
que 9, par exemple, soit divisible par 5 : Ij» contenant K2» aura a forUori son ordre divisible par 5. D'ailleurs G,» contient'une substitution S qui rero* place les racines du second système par celles du premier : cette substitu* tion transforme I2 en Ii; donc p, ordre de I,, est divisible par 5. De même pour l'ordre de I3.
Le nombre p étant divisible par 5, comme on vient de le voir, y et r ne le seront pas. Ils se réduiront donc à l'unité ; car si 9, par exemple, était >> i , les racines du second système pourraient être p.artagées en classes, en réunissant ensemble celles que les substitutions de K2 permutent entre elles : cela posé, les substitutions de I2, étant permutables à Ka, permuteraient exclusivement entre elles les racines appartenant aux classes les moins nombreuses; donc I2 ne serait pas transitif, et son* ordre ne pourrait être divisible par 5.
Soit donc 9 = /* = I : 0,5, se réduisant à /Ty;, divisera 1.2.3.1.3. 3. 4*5 et
ne pourra être égal à -^t» comme cela devrait être.
452. 2'* Si les racines de E,5 formaient cinq systèmes, -^ =0|j serait
encore égal à /tiP, m étant le nombre de positions différentes que les substitutions de Gis donnent aux systèmes, et P l'ordre du groupe I.
Supposons d'abord que m soit divisible par 3 : les déplacements des systèmes formeront un groupe de degré 5, transitif et dont l'ordre est divisible par 3 : ce groupe sera donc trois fois transitif : et son ordre n'étant pas divinble par 8, il sera alterné. On aura donc m = 5.4.3, d'où P = 27. Ce résultat est impossible. En effet chaque substitution de I devrait être de la forme A*'A2'A^A4*A*ft'; A,,...,A5 désignant des substitutions circulaires effectuées respectivement entre les racines du premier,..., du cinquième système, et «1,..., as des entiers nuls ou positifs; et l'on aurait P =: /iQ, n étant le nombre de systèmes de valeurs non congrues suivant le module 3 que prennent, dans les substitutions de I, les entiers ai, «2, lequel divise 9, et Q le nombre des substitutions de I qui se réduisent à la forme A^ A^AV» Donc Q > I, et 1 contient une substitution S de cette dernière forme, autre que l'unité. Supposons, pour plus de généralité, que dans S les valeurs de or,, a4 différent de o(mod. 3). Transformons cette substitution par celles de G^» qui laissent immobiles les troisième et quatrième systèmes, en remplaçant
Le groupe G, 5 ne peut contenir aucune autre substitution d*ordre 3. Car cette substitution, ne déplaçant pas les systèmes, par hypothèse, serait de la Forme A*'... A^', a, -h... -h «5 étant ^o(mod. 3); et en la combinant aux précédentes, on aurait un groupe d'ordre 3* contenu dans Gu, ce qui est impossible.
Soient maintenant a,, A,, r,,..., a^, A5, c^ les racines de E,»; x la dernière racine de Eio. Le groupe G46 de Eio» étant deux fois transitif, contient une substitution S qui remplace a^ et b^ parir et a, : et la transformée de A| A^ = (a|fe|C|) [a^c^b^) par S sera de la forme J = [xa^y) {zuv),y^ s, 1/, V étant les racines que S fait succéder a c,, a^, c,, b^-
Supposons d'abord que j soit une des racines 6|, C|, par exemple, 6|. Les substitutions A^.-.Ag' d'ordre 3 contenues dans I et qui laissent or, a,, 6, immobiles forment un groupe évidemment permutable à T, ou, ce qui revient au même, à la substitution partielle [zuv). Il faut pour cela que [zuv] soit une puissance de l'une des substitutions Aj».., A5, de A2 par exemple. Cela posé, la substitution A| A^, multipliée par T ou par P, donnera une substitution U qui laisse immobiles toutes les racines autres que a,, 6|,
Supposons, au contraire, que/ soit une autre racine, telle que a,; les substitutions A^A^'Ag' contenues dans I forment un groupe permutable à [zuv)^ [zuv) sera une puissance de l'une des substitutions A,, A4, A^, ou permutera entre elles trois des racines b^, C|, 62» ^2* Mais dans ce dernier cas, le produit de S par AiA^ ou par son carré donne une substitution d'ordre 7, ce qui est inadmissible, 0, n'étant pas divisible par 7. Admettons donc que [zuv) soit une puissance de A3 : S, combinée avec Aj A', donne une substitution U qui laisse immobiles toutes les racines, sauf ai , a,, 6,* ^s» ^•
Donc G,o contiendra dans tous les cas une substitution U qui déplace cinq racines au plus. Soit x' une des racines que U laisse immobiles : G,e contient une substitution V qui remplace x' par x; V~*UV = W ne déplace encore que cinq racines, et laissant x immobile, appartient à Gi,. -* ^b Mais toute substitution qui déplace les systèmes déplace au moins deux -^>^ ^ d'entre eux, soit six racines : donc W appartient à I et remplace les lettres ^^s de chaque système les unes par les autres. Mais si W déplace les trois lettres d'un même système, le premier, par exemple, son carré sera une puissance de A|, qui ne peut être contenue dans 1, ainsi qu'on Ta déjà vu. Si, au contraire, W laisse dans chaque système une racine au moins immobile, ^ on pourra supposer
W=r(ûj6,), =(fï, 6,)(a,6,j ou =(a, 6,)(a,c,).
Dans les trois cas, celte substitution, jointe à celles de la forme A**...A5% que contient I» et à ses transformées par celles-ci, permettra de permuter ensemble d'une manière quelconque les trois racines ai, 6|, C(, puis, en laissant celles-là immobiles, de permuter ensemble a,, b^^ c,, puis de permuter entre elles a,, 6,, ^,. Donc P serait égal à (r.t2.3)'P,, et divisible par 8, ce qui est inadmissible. ..
453. Supposons que Ton s'adjoigne une des racines de Téquation aux vingt-sept droites, telle que a. II restera une équation de degré 26, dont le groupe est dérivé des substitutions B, C, D, E, F. Ce groupe n'étant pas transitif, Téquation se décompose en deux facteurs rationnels, du seizième et du dixième degré. On voit sans peine que ces équations partielles ont les mêmes groupes que les équations X et Y du § III.
§ VI. — Problèmes de contacts.
454. D'après les recherches déjà citées de M. Clebsch (427), la détermi-
nation des courbes de l'ordre n — 3 qui touchent en -^ points une
courbe donnée C d'ordre n dépend d'une équation de degré 2^^* — 2'*"*,
en posant pour abréger ^^~'^v^ — V. ^ p^ Les racines de cette équation
étant représentées par le symbole [oc^y^..,Xpyp)^ où a?,, j,,..., a?^, y^ sont des indices variables chacun de o à i, et satisfaisant à la condition
Xxy-y-^-, . .-^^ XpXp^i (mod. 2),
on aura le théorème suivant (Mémoire cité, § YIII) :
Soit [i un entier quelconque tel^ que /x soit entier : les points de con-
tact de.C avec les [i courbes correspondantes aux [i racines {x\ j'^ . . . ar^ j^ ) , . . . ,
{^f^yf^**'^^p^y^p^) seront sur une même courbe du degré > lorsque les 2p
congruences contenues dans les formules suivantes :
(6) ar'^-4....-|.;r(i^)=^'^^...4-j(si) = o (mod. 2)
sont satisfaites à la fois.
Soit 9,1 la fonction formée par tous les systèmes de fx racines dont les in-
330 LIVRE TROISIÈBIE.
dices satisfont aux relations (6). On voit comme au n^421 que les substitutions du groupe de Téquation appartiennent toutes au groupe de la fonc* tion (p^.
Si n est pair, on ne pourra assigner h jx que des valeurs paires» et les substitutions du groupe cherché, laissant invariables les fonctions ^4, 9»,..., appartiendront au groupe G (319-335).
Si n est impair, on pourra assigner à ju. une valeur entière quelconque, et le groupe cherché sera contenu dans le groupe G, (336-346).
455. Posons n = 4 ' on aura l'équation aux vingt-huit doubles tangentes des courbes du quatrième ordre. Si Kon adjoint à Téquation une de ses racines, telle que ( r loooo), les autres racines seront déterminées par une équation du vingt-septième degré, dont le groupe H est formé par celles des substitutions de G qui ne déplacent pas (i loooo). Ces substitutions laissent évidemment invariable la fonction partielle (p\ formée par ceux des termes de 94 qui contiennent (iioooo) en facteur. Supprimant ce facteur commun» que les substitutions cherchées laissent invariable, on aura une nouvelle fonction ^, que ces substitutions laissent également invariable, et qui sera formée de la somme des produits de trois racines (*t:,j, 0:27,0:,^,),
{oc!\y\ ^'^y^^'z^z)^ (^"i7"i^'2/2^373)» do"t '^s indices satisfont aux relations
Cela posé, il est aisé de voir que la fonction ^ contient quarante-cinq termes, et ne diffère que par la notation de la fonction 9 du n*^ 441. Donc le groupe de Téquation aux vingt-sept doubles tangentes est contenu dans celui de Téquation aux vingt-sept droites des surfaces du troisième ordre. D'ailleurs les ordres de ces groupes, étant égaux respectivement à
^ (^^3 — 0 2*. 1.2. 3. 4. 5 (327) et à 27.10.8.6.4, sont égaux entre eux :
donc ces groupes sont identiques. Ainsi se retrouve entre le problème des vingt-sept droites et celui des doubles tangentes, le lien remarquable signalé par M. Geiser [Mathematische Annalen, t. I^);
456. La résolution de Téquation aux doubles tangentes ne peut être ramenée à celle d'équations de degrés inférieurs. En effet, si l'on pouvait la résoudre à l'aide d'équations d'un degré inférieur à 27, il en serait de même a fortiori après l'adjonction d'une racine, ce qui n'a pas lieu (446-452).
D*autre part, s'il existait une réduite de degré ^27, adjoignons-nous une de ses racines : Téquation restante £29 se décomposerait en équations irréductibles dont les ordres diviseraient 0 = 28. 10. 8. 6. 4f et contiendraient les facteurs premiers 7, 5, 3, 2 (397). Ces équations seraient donc chacune du degré 7 au moins; d'ailleurs aucune d'elles ne peut être d'un degré supé^ rieur à 8 et inférieur à i4; car son ordre, étant divisible par 9 (398), ne diviserait pas 0. Mais ces conditions sont évidemment incompatibles.
457. Les résultats généraux du n^454 se modifient lorsque la courbe C a des points doubles. Le cas où C a ^^^"" points doubles, dont x de re-
broussement, a été traité par M. Clebsch {Uber diejenigen Curven, etc.. Journal de M. Borckardt, t. LXIV). Il montre (§ XVI du Mémoire cité), que les courbes cherchées du degré n — 3 dépendent d'une équation X de degré 2*", en posant m = ^^"~ ^ h- i — x, et peuvent être représentées par
le symbole {xyzu...) où les indices ^, y, z, w,..., en nombre /w 4- i, et variables de o à I, satisfont à la relation
(7) jy-f- z -h a-f-. . .^o (mod.2].
En outre, les points de contact de quatre de ces courbes {x^ytZt u,... ),..., (^.a:^yj^z^u^...) seront sur une courbe de degré ^(n — 3), si l'on a
C 8) ar, -hXj-f-^s-HjTi^/, -h j,-+- j3-+-j^4^-2,-+-z, -i-23 + -34^.. .^o (mod.2).
ou
ar,j,--4- jTîja-f- x^Xi -h^éXé^o (mod. 2).
Nous représentons, pour abréger, para?, y, z, £^, . . . les quantités désignées
l'endroit cité par/? -h i, y h- i. A, h- - — ""'^ > Aj,... •
Les substitutions du groupe de l'équation qui donne les courbes cher- :^hées laisseront invariable la fonction f, formée de la somme des produits 6 quatre racines dont les indices satisfont aux relations (8). Or le groupe G ^e cette fonction contient les substitutions de la forme
x^ jr ax -\- bx -h a, dx 4- h* y -+- a'
z z-+-^7*-Htt-f-...— {ax 4- fcj -t- a) {dx 4- b'y -\- a')
-^(cxy-hdx-h ey-i-fu-h'.»-^ (3) a,... cxy-h dx -h ey-^-fu 4-. . .-4- (3,. . .
^omme il est aisé de le vérifier, en remarquant que x^^x, y^^y (mod. fi).
458. Réciproquement» nous allons prouver que G est exclusivement formé ries substitutions S.
Soient [xty^Zt Uf..,), (^ay2 22<^2--0 àeixx racines quelconques. Le nom*. bre des termes de cp divisibles par leur produit est égal à la moitié du nombre total des solutions des congruences
j j^i-hx^^x.-hXi,^ J^j-i-j4=7'i-+- Ji, Zi-h Zt^z^-^- Zw" (mod. a), \ Xijr^ -h Zi-h Us-h. . ,^^0, j:* J4 4- -84 -f- e/i Hr. . .^o (mod. 2),
car chaque système de solutions donne les deux autres facteurs de Tun des termes cherchés; et chaque terme correspond aux deux systèmes de solutions qui se déduisent Tun de l'autre en permutant 00^, y^,... avec a?^,
Cela posé, si Ton a
Xt^Xu /, ^jj, d'où z, -h a, -+-. . . ^z, 4- M»4-. . .,
la dernière des relations (9) sera une conséquence des autres, qui détermineront jZ|, oo^^y^^ Z4, U4,... en fonction de a?,, j,, u,,... qui restent arbitraires : on aura donc 2"* systèmes de solutions. Si au contraire x^^ y^ ne se confondent pas avec ^2,^2» 1^ dernière des relations (9) ne résulte pas des précédentes, et le nombre des solutions est inférieur à a"".
Partageons les racines en quatre systèmes, en groupant ensemble celles pour lesquelles les deux premiers indices ont la même valeur. D'après ce qui précède, pour que deux racines se trouvent associées dans a"*"' termes de (p, il sera nécessaire et suflisant qu'elles appartiennent au même système. Cela posé, soit T une substitution quelconque de G; n'altérant pas 7, elle remplacera les racines d'un même système, qui, prises deux à deux, se trouvent associées dans a"*"* termes de ç>, par d'autres racines qui jouissent de la même propriété, et qui par suite appartiendront à un même système.
Or les substitutions de la forme S permettent, en y faisant varier les coefiicients a, b, a, a', b\ u\ de permuter les systèmes entre eux d'une manière quelconque : on aura doncT = T, S,, S| étant de la forme S, et T| une nouvelle substitution de G, qui ne déplace pas les systèmes.
459. Désignons par 9^ la fonction partielle formée par ceux des termes de ff exclusivement formés de racines du système o, o. Il est clair que T, laissera 9^ invariable.
Des considérations analogues à celles du n^ 428 montrent que pour laisser
33 i UVRE TROISIÈME.
