APPLICATIONS A LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES

§ I. — Fonctions circulaires.

462. Soit n un entier quelconque; on sait que cos — est lié à coso? par une équation Z du degré /i, dont les racines, rôs — » cos *>•••»

cos ^ — ^ — tjTT g^jj^ généralement inégales. Cherchons le groupe de mo-

nodromie de cette équation par rapport à coso?.

Posons pour abréger cosa? =y et cos - — ^^ = (/>) ; et faisons varier y .

suivant une loi arbitraire, de manière \ ce qu'il reprenne finalement sa valeur initiale. La valeur initiale de arccosj étant x^ sa valeur finale sera, comme on sait, égale à j? + nmn ou à — a? + imn^ m étant un entier; d'ailleurs, en choisissant convenablement la loi de variation de 7, on pourra obtenir une quelconque de ces valeurs finales. La racine (/)) se trouvera par là transformée en {p -h m) ou en {—p — m). Le groupe de monodromie de l'équation Z sera donc formé des substitutions

et son ordre sera égal à 2/1, m étant susceptible des n valeurs o, i,..., n — I (mod. n).

463. On obtiendra le groupe de monodromîe de la même équation par rapport à coso? et sino; en supposant que la loi de variation de cosor 8oit telle, que sinoc reprenne à la fin de l'opération sa valeur initiale. Sous cette restriction, la valeur finale de l'arc ne pourra être que de la forme x+ làmn : par suite, le groupe cherché ne contiendra plus que les substitutions

{^) * \ p p -hm |.

substitution du groupe de Téquatiou proposée : on aura

i?[p-^^V = '\'H9[p])]^ d'où 9[p] = p-+-'»«. 467. Considérons maintenant Tirrationnelle numérique cos — • Soit

F'ii) = o Téquation de degré /i — i qui a pour racines cos — >•••>

cos — ^ — ^^^ — ^- Si n est impair, son premier membre est un carré parfait;

car à chaque racine cos— correspond une autre racine égale cos —•

Si n est pair, Téquation a la racine costt = ~ i, et après la suppression du facteur u-+- 1, son premier membre sera un carré parfait. Soit U le polynôme obtenu en extrayant la racine carrée de F{u) (après la suppression du facteur u-hif s\ n est pair). L'équation U = o est intimement liée à Téquation X = o, déduite de l'équation à?"-- 1 = 0 par la suppression de

ses racines réelles. Soient en effet x = cos -^ -h 1 sin -^ l'une des racines

de X, x"* sa conjuguée : on aura -{x -h a?"*) = cos -^ •

Décomposons maintenant X en facteurs irréductibles. Soient F l'un de ces facteurs; 2/xson degré; Xq, x^^... ses racines, qui pourront se grouper par couples de racines conjuguées, et réciproques l'une de l'autre :

- {xq 4- a?7'), - (a?, -h ^r)>--- seront les racines d'une équation de degré jx, 2 2

dont le premier membre sera évidemment un facteur de U. Ce facteur sera

irréductible : car s'il était divisible par un polynôme ^[u) de degré iif<Ciii^

l'équation (j^(j?-i-a?~*) = o, de degré 2|ul', aurait pour racines une partie

de celles de F, qui ne serait pas irréductible.

Il sera aisé, en partant de là, de déterminer le groupe de l'équation U = o. Nous nous bornerons au cas où n est premier. Soient Mot-*-» Up =z Xp -i- x'^\... les racines de U.

Pour qu'une fonction des quantités u soit rationnelle, il faut et il suffit qu'elle soit invariable par les substitutions

I Xp Xp^m I

du groupe X, lesquelles reviennent aux substitutions

effectuées sur les u. Donc le groupe de U est formé par ces dernières sublitutions.

que, mais de telle sorte que cette fonction ainsi que sa dérivée reprennent finalement leurs valeurs initiales : la valeur initiale de x étant x^ sa valeur finale sera, comme on sait, égale à a: -4- /ww -h /w'o)', m et w! étant des entiers, qui dépendent de la loi de variation de X(a?), et peuvent être supposés quelconques. Substituant cette valeur dans l'expression de la racine {pq)^ on la changera en {p -^ m, q -^ m'). Le groupe clierché sera donc formé des substitutions

470. Supposons maintenant qu'on adjoigne à Téquation Tune de ses racines, telle que x( — ) î les racines restantes dépendront d'une équation de

degré n^ — \ . Cherchons son groupe *de monodromie relatif à k.

Si l'on fait varier k, w et o)' varieront avet lui, et pourront ne pas reprendre leurs valeurs initiales eii même temps que lui. Mais w et w' sont un système de périodes élémentaires, c'est-à-dire telles, que toute période nouvelle de X(a?) est de la forme au) -h a'a)', a et a' étant entiers. Cette propriété subsistera évidemment pendant que k varie. Donc û et îî', valeurs finales de 0.) et Cl)', seront un système de périodes élémentaires de la fonction X(a:) : on aura donc

12 = aw -h fl'w', Q' — bùi-h b'b)\ avec ab' — ba'^i,

cette dernière condition étant nécessaire pour que c», co' soient des fonctions linéaires k coefficients entiers de O, û'.

Remplaçant co et co' par Q et Q' dans Texpression {pq)f on la change en [ap -H bq, a'p -h b'q). Le groupe cherché a donc toutes ses substitutions de

la forme

avec la condition a6'— ha' =^ i, laquelle peut être remplacée par la suivante a</'— ba'=^\ (mod. n), en remarquant que l'on peut, sans altérer en rien la substitution, accroître ou diminuer a, h, a\ h' de multiples arbitraires de n,

471. Réciproquement, si n est impair, toute substitution de cette forme fera partie du groupe cherché. Pour le démontrer, nous emploierons une méthode élégante, due à M. E. Mathieu.

Représentons, suivant l'usage reçu, une quantité imaginaire a -h /3i par

un point ayant pour abscisse a, et pour ordonnée |3. Soient G, C| des contours élémentaires passant par l'origine des coordonnées, et enveloppant

respectivement les Atw\ points critiques ' et r; C, C, les deujt contours élémentaires symétriques de ces deux-là par rapport à l'origine, et enveloppant les deux points — i et — , ; A, A^ — A, — A< les valeurs de l'intégrale (3) prise le long de ces contours, jen supposant que le radical soit égal à I pour M = o. On sait : i® que l'on n'altère pas la valeur de ces intégrales en déformant les contours C, C,, C, C, , pourvu qu'on ne leur fasse traverser aucun point critique; 2*^ que les périodes w, w' sont respectivement égales à a A et à A| — A.

472. Supposons maintenant qu'on fasse variera suivant une loi quelconque.. Les intégrales A, A( varieront d'une manière continue, pourvu qu'on ait le soin de déformer progressivement les contours élémentaires, lorsque cela sera nécessaire, de telle sorte qu'ils ne soient jamais traversés par les points critiques.

Supposons d'abord que l'on fasse varier k de telle sorte que le point t

décrive dans le sens direct un contour fermé enveloppant les points i et — I {/ig. i). Lorsque k aura repris sa valeur initiale, le contour C n'aura

Fig. I.

pas varié, et, par suite, l'intégrale A reprendra sa valeur initiale. Au contraire, le contour G,, se déformant progressivement, se sera changé en un contour tel que K (pointillé sur la figure). Or le contour K peut évidemment se ramener par une déformation convenable à la somme des cinq contours G, C G|, G', G; mais l'intégrale suivant G est A; celle suivant G' est également A, le radical ayant au commencement de ce second contour la

3^i0 UVRE TROISIÈME.

valeur — i; l'intégrale suivant Ci est A|, etc. Donc Tintégrale suivant K sera /|A-+-A|.

Les intégrales A, A, étant ainsi changées en A, 4A + A,, co, (*>' le seront en w, (à'-i- 2(ô; et la substitution correspondante du groupe cherché sera

(7) \ Pf g p-^^^f 9 l

473. Faisons maintenant varier k de telle sorte que le point t décrive,

toujours dans le sens direct > un contour fermé entourant seulement le point I. Les deux contours C, €« auront été changés progressivement en H,

H. (yîs^.^).

Fig. 2.

Mais H se réduit à la somme des trois contours G,, G, G|, et H| k la somme desv contours G,, G, G,, G, G, : A, A, seront donc changées en a A, — A et 3A,— 2A; et par suite w, w' le seront en w -+- 4^', w', ce qui équivaut à la substitution

(8) \Pf g p> ^p-^q l

474. Gela posé, si n est impair» les substitutions (7) et (8), élevées k des puissances convenables» reproduiront les substitutions

desquelles dérivent toutes les substitutions linéaires de déterminant i (121 et 137).

Au contraire, si n est égal à 2, les substitutions ci-dessus se réduisent à Tunité. Il est clair d'ailleurs que l'on peut obtenir un déplacement quelconque (suivant un contour fermé) des points t et — t en combinant des

léplacements suivant les deux sortes de contours étudiés ci-dessus avec les déplacements suivant d'autres contours n'enveloppant aucun des deux

DES IRRATIONNELLES. 3 il

points + I et — I, lesquels déplacements n'altéreront pas les périodes. Donc dans ce cas particulier les racines de l'équation sont des fonctions monodromes de k.

475. Cherchons maintei^ant le groupe algébrique de l'équation, les quantités *, X(a?), y![x) étant supposées connues. Le groupe cherché étant permutable au groupe de monodromie relatif à \[x) et X'(a7), ses substitutions seront (119) de la forme

\ p, q ap -h bq -h m, a'p -h Wq 4- m' |.

Mais si l'on adjoint à l'équation les constantes X [ -] i X (^ | » ce groupe se réduira aux substitutions (5). En effet, on connaît la formule fondamentale

Différentions-la par rapport à z, et remplaçons X''(z) par sa valeur en fonction deX(jz), déduite de l'équation (4)- On aura la valeur de X'(2 + /j exprimée rationnellement en X(2), X'(z), X(/), X'(/) et k.

Posons maintenant z= — — ^ — ^ï (= — ^ dans la formule (o).

Elle donnera la valeur de la racine {p-i- a^ q-h b) en fonction rationnelle de

{P9)f^[— ^ )» de leurs dérivées, et de ^.Mais la dérivée de (pq) s'exprime

rationnellement (468) en fonction de {pq) et des quantités X{x -hpca + q^^')^ ^{x-hprj} -*- ^w'), respectivement égales à X(a?), V{x). D'autre part, d'après

ce qui précède, X (^^ ^'^ \ et sa dérivée s'expriment rationnellement eu fonction de Xf- )? X'f- )» X(— h X'( — )» *. En outre, X'(-j s'exprime rationnellement en fonction deX ( - )> A: et des constantes rationnellesX(o) = o,

X'(a)) = i (468). Demême, X'f — j s'exprime rationnellement en X( — j et^*.

Substituant ces valeurs dans l'expression de (jf + a, 9 + 6) il vient une relation de la forme

(p-h«, ?-f-ft)=+[(M), x(^), i(^^y x(x), x'(^), frj,

(|; étant une fonction rationnelle, dont les coefficients sont indépendants i\e pei de q.

Mi LIVRE TROISIÈME.

(luit a celles de ses substitutions qui he déplacent pas les syslënies» lesquelles se réduisent évidemment à celles qui multiplient tous les indices par un même facteur constant : ces substitutions, en nombre /i — i, sont les puissances d'une seule d*entre elles, qui multiplie les indices par une raciue primitive a de la congruence a^"*^i (mod. n) L'équation sera donc abélienne; il est clair enfin que son premier membre se décompose en /iH-i facteurs rationnels ayant chacun pour racines les n — i racines d*un même système.

Quant à l'équation auxiliaire de degré n + i> l'ordre de son groupe sera

— ""/ 7 ^ ? d'ailleurs elle sera simple si /i>3. En effet, de quelque

manière qu'on ramène la résolution d'une équation donnée à celle d*une suite d'équations simples, ses facteurs de composition resteront les mêmes, à l'ordre près. Or, pour résoudre l'équation proposée, on pourra résoudre d'abord l'équation auxiliaire dont dépend une fonction des racines invariable par toute substitution de déterminant i, ce qui réduira le groupe de la proposée aux substitutions de déterminant i . Mais ce groupe a pour facteurs de composition ""/ T^ et 2. Donc la résolution de la proposée dépendra actuellement de deux équations simples, dont l'une aura pour

ordre "~'^v^ T^ * Donc dans l'autre mode de résolution que nous avons

adopté, doit se présenter une équation simple dont le groupe soit du même ordre.

Dans le cas particulier où /i = 3 nous avons vu (420-425) que la proposée se résout par des équations auxiliaires du troisième et du quatrième degré.

Équations modulaires.

478. Jacobi a montré {Fundamenta, § XXI) que les racines de l'équation modulaire pour les transformations d'un degré impair n sont données par la formule générale

i; = a" [sincoam 4ûsincoam8û. . . sincoamaf/i — i)i2],

u ei {^ étant respectivement les racines quatrièmes du module initial et du module transformé, et Cl l'une des valeurs comprises dans la formulé

poi-h^qc^ ,^ et fêtant des entiers congrus à o, i,..., n — i (mod. n), mais qui ne soient pas à la fois congrus à zéro.

de nw, nw') en aw H- a'w', |3w + ^'tù\ E^j^— sera changé en

Si donc on pose oc^c, ajS^rf, o/^ac', jS'^a' (mod. n), (z) sera changé

en (^î^ — 2,j. On a d'ailleurs évidemment cd'— c'd^ia^'— a'^f et il est

clair qu'en donnant successivement à a, J3, a'> P' tous les systèmes de valeurs dont le déterminant est congru à i , on obtiendra pour c, df d^ d' tous les systèmes de valeurs dont le déterminant est congru à r. Le groupe de monodromie cherché est donc formé des substitutions

cz 4-rf

^ c'z-hd'

j avec la condition crf'— c'rf^i (mod. n).

480. Le groupe algébrique de l'équation aura la même forme, en supprimant la condition crf' — c'rf==i. Car soit F une fonction de ses racines, invariable par toute substitution linéaire fractionnaire : elle peut être mise

sous la forme d'une fonction rationnelle de w, sinam- =X(-) etX(~J-

Car prenons Tun quelconque des facteurs qui entrent dans l'expression des

racines de l'équation modulaire, par exemple sin coam 4^^" / — —' H est

égal à

cosam

A am r ^ ^ — i — - A * A* ( r ^ — )

Or X r

\r^ — 2jfw^\ ^^ gg^ dérivée s'expriment rationnellement en Xf-j et

XM — )• Donc F est une fonction rationnelle de w, X(- j? ^'("~)* D'ailleurs

F reste invariable si l'on change w, w' en aco 4- a'ci)', èw ■+• è'w', ce changement équivalant à une substitution linéaire fractionnaire effectuée entre les racines (2),.... Donc u étant supposé connu, F sera une fonction des racines

de l'équation qui donne X( -j» invariable par les substitutions du groupe

de cette équation : donc F est exprimable rationnellement.

Le produit des différences des racines de l'équation modulaire sera expri-

mable rationnellemeDt après Tadjonction du radical carré y {—i) n (Her- MITE9 Mémoire sur les équations modulaires). Cette adjonction abaissera de moitié l'ordre du groupe de Téquation, et le réduira à celles de ses substitutions qui n'altèrent pas le produit ci-dessus. Ce sont celles pour lesquelles le déterminant c</'— c'6? est congru à un résidu quadratique (ou> ce qui revient au même, k l'unité : car on peut, sans altérer une substitution linéaire fractionnaire > multiplier tous ses coefficients par un facteur constant quelconque» dont le carré multipliera le déterminant). Le groupe de l'équation sera donc réduit à son groupe de monodromie, lequel est simple, si /i > 3 : car il est évidemment identique au groupe de l'équation auxiliaire de degré /i + i rencontrée plus haut dans le problème de la division des périodes.

481. Il est intéressant d'examiner s'il n'est pas possible de trouver une équation équivalente à Téquation modulaire proposée, et d'un degré moindre.

En premier lieu, le groupe G de l'équation modulaire (après l'adjonction

de y (— 1) * /ly a pour ordre y nombre divisible par n. Il doit en

être de même du groupe de l'équation équivalente cherchée : donc son degré ne peut être moindre que n.

Cela posé, pour qu'il existe une équation de degré n, équivalente à la proposée» il faut et il suffit qu'on puisse déterminer un groupe H contenu dans G, et qui renferme précisément la n'^'"' partie des substitutions de G. Or, considérons le groupe G' formé des substitutions linéaires

I Xj y cx-^dj\ c'x-^d'y |, où cd' — c'd^i (mod. n).

Ses substitutions correspondent à celles de G

! cz -i- d

vz -4- d'

j oii cd' — cd^i (mod. /i),

de telle sorte que le produit de deux d'entre elles correspond au produit de leurs correspondantes. Si donc le groupe H existe» les substitutions de G' qui correspondent aux siennes formeront un groupe H' contenant la n'^"*^ partie des substitutions de G', soit n^ — i substitutions. Il aura donc son ordre premier à /t» et, par suite, il ne contiendra aucune substitution d'ordre n.

Soient So*.*» Sj^,... ses substitutions; T une substitution quelconque d'ordre n contenue dans G', celle-ci par exemple

I X, y x-hy, X |.

Les n{n' — i) substitutions de la forme VS^ seront toutes distinctes et reproduiront toutes celles de G' : car si Ton avait TPSjt = T'S^ sans avoir p = c, d'où |x= V, on en déduirait Tp-^ = SvS;:*; donc T?"^ appartiendrait à H'; résultat impossible, cette substitution étant d'ordre n.

Soit maintenant g une racine primitive de la congruence g"'* ^ i (mod . n): la substitution

U= I X, 7 gx, g-'x I

étant contenue dans G', sera de la forme T^Sj^ : et la substitution T~pU = S^ fera partie de H'. Mais posons a? — (p -4- g'^)y^iv' : on voit sans peine que T~PU remplace x' par gx' eiy par g^^y. Prenons donc pour indices indépendants, au lieu de x et y, oo' et y, ce qui n'altère pas la forme du groupe G'; T~PU prendra la forme

482. Cela posé, le nombre des substitutions de VU qui n appartiennent à aucune des deux formes

(II) I x\ y ax\ dy |, | .r', y by, ex \

est un multiple rfc - (n — i)*.

Car soit

V =r I ^', j ax' -f- hy^ ex -4- dy \

une de ces substitutions : H' contient les substitutions de la forme

S^VS/'r^: I Xy y gP^ax' -h gP-'^by, g-(p-'^)cx' -\- g-^P-^^^dy |,

qui sont en nombre -{n — i)^; car, en faisant varier m et/?, on pourra donner à g^''"^" (mod. n) une quelconque a des /i — i valeurs i,.., n — i, et à gP-^ une quelconque des - (n — i) valeurs |3 ^ aR, dont le rapport R à la précédente est un résidu quadratique de n. Il est clair d'ailteurs qu'aucune de ces -(n — i)^ substitutions ne se réduit aux formes (i i).

Si H' contieDt une substitution Y' autre que les précédentes et qui n'appartienne pas à ces formes, il contiendra -(/i — i)* substitutions S"*' V'S'''

évidemment distinctes des précédentes : car si S'^'V'S'^ était égal à S'^VS'', on en déduirait, contre Thypothèse, V'= S"'~"*'VS^-'^. Donc H' contiendra

au moins 2-^(/t — i)^ substitutions qui ne Soient pas des formes (ii). S'il en contient davantage, il en contiendra au moins 3 -(/i — i)*, etc.; il en

contiendra donc en général r'-{n — i)*.

Le groupe H' contient en outre celle des substitutions de G' qui sont de la forme | a/, y ax\ dy |, lesquelles, ayant pour déterminant i, se réduisent aux n — I puissances de S : enfin, s'il contient une substitution A de la forme | x\ y hy^ caf |, il contiendra celles des substitutions de G' qui sont de cette forme, lesquelles se réduisent aux suivante^ AS"", en nombre n — i .