V ordre de H' est donc égal à

/i — n-r-(/i— i)»ouà 2(/i— i)-i-r«-(/i— i)%

suivant que H' contiendra ou non la substitution X =:\ x\ y j, — a?' |. Mais cet ordre est égal à n^ — i, ce qui montre que la première hypothèse

est inadmissible, lorsque n > 1 1 : car n — i -f- r.- (/i — i)^ est plus grand

que /i' — I, si r= 3, et plus petit, si r< 3. La seconde hypothèse elle-même ne sera admissible que si r= a : auquel cas H' sera formé exclusivement des substitutions suivantes :

/ »»= I a:', 7 gPx\ g-Py I, AS^rz: I x, 7 gPy, — g-Px' |, (12.) |s-VS^ = \ x\ y aa^' -haR^j, «-'R-'cx' -h «-'rfj |,

( S«'W =z \x\ y oLax^aK'b'y, a'-R '-cV-h a'-rf'j |,

OÙ pt oLt ol\ R, R' sont des entiers variables d'une substitution du groupe à Tautre, ces deux derniers étant résidus quadratiques de n; et où a, 6, c, d, €2^, b\ d ^ d' sont des entiers donnés, satisfaisant aux relations

ad— bc^ a!d^ — Vc' ^ i ( mod. n ),

et tels, qu'on n'ait pas à la fois a^rf^o, ni 6^ce=o, nia'^rf'^o, ni ô'^c'^ o.Donc sur les quatre coefficients a\ 6, c, d un seul peut être con-

:m\ LIVRE TRCXSIÈME.

gru à zéro; si Tud d'eux est effectivement congru à zéro, on peut admettre que c'est d; car à cause de la symétrie qui existe entre a/ et j, on peut admettre que c'est c ou d. Mais si c^o, H' contient la substitution

A V --- I x\ r — bx'-h ajTf — dx' |,

où c*est le quatrième coefficient qui s'annule, substitution que Ton pourrait prendre à la place de Y dans tout le raisonnement, delà posé, la substitution

w - srysp\ =

x' (««• 'hx"h-'cb)x' -h{aKba-hor*db)x 1 r (aac-4-a-»R-'crf)x'4-{aR6c-+-a-»</' )r î'

sippartenant a H', doit être de l'une des quatre formes (laj. Si elle est de la première forme, on aura

(i.'i) «RftrtH- a-'rfé^aac-ha-'R-'crf^o.

Si rllr rsl de la seconde, on aura

Si idli} («Ht do la troisième, on aura, en remarquant que dans les substituliohN dr rutio formo le produit des coefficients extrêmes est égal à ad^

Si (die oHt de la quatrième forme, on aura de même

DoiK' la roii^rnonre

I \jLlihti « .M W//i||.,,»» » jt R «cft] [(art»-f-a-'R-'c6)(aR6c + a-'rf»)— «r/j ^ '^ ( X[(a«'-f-a-'R •c6)(aR6c-4-a-rf')--fl'rf'] = o

sera satisinito daiiH Ions les oas. et quels que soient a et R. Or supposons R donné : si d o, r(^(|ualion est du sixième degré en a; si d^o{mod! n). du douzième : doiio elle no peut avoir plus de six ou douze racines distinctes. Mais elle est satisfaite pour les n — i valeurs de a inférieures k n : donc /i — I ^ I a. d'oii /i ^ i '\\ l'hypothèse /i = i3 n'étant d'ailleurs admissible que si d^o (mod. /i).

Cette hypothèse doit être rejetée dans tous les cas. Car la congruence (17) ayant douze racines distinctes, le facteur aa^ -f- a~* R""*c6, égalé séparément à o (mod. /t), donnerait deux racines distinctes. Donc sur les douze valeurs de a, il en est deux pour lesquelles la substitution W se réduirait k la forme AS'', et qui, par suite, satisferaient aux. relations (i4)- Mî^is on déduit de ces relations, en éliminant a et R,

a^d'^b^c''^(ad —ly, d'où i — 2ad^o.

On aurait de même 1 — t^a'd'^o; d'où ad^a'd'. Mais alors la congruence (i7)f ayant deux facteurs égaux, n'aura pas douze racines distinctes, comme cela devrait être.

L'existence du groupe H' est donc impossible, si n > 1 1 .

484. Au contraire, si n = 5, 7 ou 1 1, le degré de l'équation modulaire pourra s'abaisser d'une unité. Ce résultat remarquable, découvert par Galois, a été retrouvé depuis par M. Hermite et par M. Betti. On peut le vérifier sans aucune difficulté, en montrant qu'il existe un groupe H contenant la n^^'"' partie des substitutions de G.

I® Soit en effet n = 5 : on pourra prendre pour H le groupe dérivé des substitutions

a** Si /i = 7 ou II, on prendra pour H le groupe dérivé des tutions des formes suivantes

substi-

cr

az

où a, b sont des résidus quadratiques de n, variables d'une substitution a l'autre, et g une racine primitive de la congruence g'*"^ ^ i (mod. n), dont toutes les puissances impaires de degré inférieur à n — 2 vérifient la congruence

[ff'r'—ff(g:^-OrH-ï][g^r'— («"-+- Or-»-']=o (mod. «;.

On pourra donc poser, si /i = 7, g' = 3 ou 5 ; si n = 1 1 , ^ = 2 ou (i.

Il est bon de remarquer que le groupe H n'est pas priniitif; car si l'on répartit les racines en couples, en groupant ensemble celles dont l'indice a respectivement pour valeurs o et œ , i et ^, ^' et g^', . . . , les substitutions

de H jouiront seules, parmi celles deG> de la propriété de remplacer les lettres de chaque couple par celles d'un même couple. Si w = 5, posons

Si n = 7, posons ^=5, et

Si ^< = 1 1 , posons g = 2y ei

La fonction œ^ sera évidemment invariable par les substitutions de H : elle dépendra donc d*une équation de degré n, dont les coefficients sont des

fonctions rationnelles de u et de la quantité adjointe y (— ■) ' • Soit F(^, u) = o cette équation : ses autres racines a?,,..., Xn^i s'obtiendront en opérant successivement surâ?o les puissances i,..., /z — 1 de la substitution I z :; ■+- I |.

485. M. Hermite obtient comme il suit les coefficients de cette équation. Il remarque que si l'on change u en îu, s étant une racine huitième 4e Tunité, chacune des valeurs de v sera multipliée par g^"*"*, et chacune des va-

leurs de x par e ' . Donc l'équation en x ne change pas si l'on y remplace

à la fois u par êw, et x par s * x. Donc le premier membre de cette équation est composé de termes de cette forme

où ^v satisfait à la condition

(n — v) — h «v^o (mod. 8).

En second lieu, si l'on change u en -» ^, sera changé en — (Jacobi, Fa/irfa/we/i/a, n°31) :a:Jeseraen(— i) ^ ^^^ = f— i)""^"^ '^'-^»

Donc l'équation en a: ne change pas si l'on y remplace à la. fois u par -» et

or par (— i) ' * —-^^' Celte remarque montre qu'on aura

De plus, les polynômes a -h 6w* 4- . . . seront réciproques, si w = 5 ou 7 : si au contraire /i = 1 1 , ^ 1 ^ étant impair, les polynômes qui multiplient les puissances paires de x seront seuls réciproques, ceux qui multiplient les puissances impaires ayant au contraire leurs coefficients équidistants des extrêmes égaux et de signe contraire.

Il ne reste plus qu'à calculer av, a, 6, Or on a les coefficients de l'équation en X exprimés, d'une part en fonction de w, «v, «, i...» d'aulre part en fonction de a?©,..., ^«-m et, par suite, en fonction de ^., ^o»---» ^«-i- Égalons ces deux expressions, et remplaçons, d'une part Uy d'autre part^«, ^o»-«'f ^«-1 par leurs développements en série suivant les puissances de la quantité désignée par q dans les Fundamenta : égalant les coetricients des diverses puissances de q dans les deux membres, on aura une série de conditions qui déterminent les coefficients a^, a, 6, D'ailleurs pv ne pouvant être négatif, a^ est au plus égal à - (/7 + i)v. On peut simplifier te calcul en remarquant que la quantité i — u^ entre comme facteur dans le polynôme a -h 6w* -h... avec un exposant au moins égal à — w 4- (- 1 »

-j étant le reste de la division de 2 ' par n.

On trouve ainsi tes équations réduites suivantes : 1° Si /i = 5

les constantes oc, j3 étant des fonctions rationnelles de ^5;

^2** Si 71 = 7

a, ]S étant des constantes fonctions rationnelles de V— 7» ^t F2 une fonction du second degré en ii% dont les coefficients ne contiennent d'autre irrationnelle que y/— 7;

-4- w»( I — u* f F, :r' -H w'*(i — «• )* F, X* -h w* (i - «• )' F. x' -^u'{ï- //• j-^ Fs JT' -^ w« ( I — M' )• Fe a:» -h M'*( I — u* Y F.JC^ -f- n*{ I ~ /«" j»^ F, X -f- ^/'' ( I — /i» )* F,„ — o,

l>. K. ». . désignant des fonctions du degré [x en wS et dont les coefficienls, de même que les constantes a, |3, y, ne contiendront d'autre irrationnelle que y— I j .

§111. -.-- Fonctions HYPERELLiPTiQiJEs.

De la dwision en général.