Posons
x^-\- ax^-\ . . . -f-/=(^ -- nu)(x — /w,). . .{x — nu)=^ A'(j7),
Faisons varier x et j d'une manière quelconque, de telle sorte qu'à la fin de l'opération x, j, à{x), A( j) reprennent leurs valeurs initiales. On sail (|ue les valeurs finales de w, r seront respectivement égales à
ti 4 $, y\ -^ c. P 4- d, P, -h e, P,. t/ -4 d. Q, H- e, 0: -H 0= 0:« -^ Ê»Qr,
<?,, £,, o\, ca étant des entiers dépendant delà loi de variation de a? et de^, et que Ton peut rendre quelconques. Quant aux périodes P,, Pj, P.,, P^, Qi. Qa. Qs» Qw t'iles sont respectivement égales à Aq — A,, A, — Ao,
Bj désignant les valeurs des intégrales
prises le long des contours élémentaires C^ Cj relatifs aux points critiques w^,,..., TWj, avec une même valeur initiale du radical A(j;).
Enfin ces mêmes intégrales prises le long d'un contour enveloppant tous les points critiques sont nulles; d'où les relations
19) Ao A. t A V. t A. As - Bo B, B, - B, • B. B : o.
Quant aux fonctions inverses
elles satisfont à une équation du second degré dont les coefficients sont monodromesen w, w', et reprennent les mêmes valeurs, ainsi que à{oc) et A(j), lorsqu'on y remplace u, v par u -f- c?, P, 4-... -h «qP*» ^-^ ^\Q,\ h-...~^- £204* Enfin, les fonctions
>.o(a, 4- Ml -I- . . . , i', 4- t'i -h . . . )» X, ( M, -f- ^2 -i- . • . , Vy-\- V',-\-. . .)
sont les racines d'une équation du second degré dont les coefficients sont rationnels en Xo(w,,(^,), ^[\{u,,v,)],\,{u^, ^0, A^X, (m,, (^<)J, Xo(w2, v^)^.,,. D'ailleurs les deux symboles Xo, X, figureront symétriquement dans ces coefficients. (Jacobi, Journal de Crelle, t. IX et XIII.)
487. Il résulte des propriétés fondamentales que nous venons de rappeler que Xo(w, v), X,(a, \^) sont les deux racines d'une équation X du second de|^é, dont les coefficients sont rationnels par rapport à Xo(-5 -
^n(^ Ti)\ ^^(^' 11)' "^[^'l^' ^)]' ^^ symétriques par rapport aux symboles Xo et X,. Réciproquement, substituons dans l'équation X la valeur de Xo(m, v), et celle de X, (m, v), supposées connues. Nous obtiendrons deux
équations algébriques Xq, X,, qui serviront a déterminer X^f-î-J»
Soit «o, «1 un système de solutions de ces deux équations : a,, «o en sera évidemment un autre, par suite de la symétrie des équations par rapport aux deux inconnues. On obtiendra donc la même équation finale E, quelle que soit celle des deux inconnues qu'on élimine entre les deux équations ci-dessus; et les racines de cette équation peuvent se grouper en couples, en réunissant ensemble les deux qui vérifient simultanément les équations Xq, X,.
Toute substitution du groupe de l'équation E remplacera les deux racines d'un même couple par deux autres racines, liées entre elles par les mêmes relations (356), et qui, par suite, appartiendront elles-mêmes à un même couple. Donc l'équation n'est pas primitive, et se décomposera en équations du second degré par la résolution de l'équation N, dont dépend une fone^ tion symétrique arl^itrairement choisie des deux racines d'un même couple.
Cette équation auxiliaire, après Tadjonction des radicaux ^[}.q{u,vj]^ A[X|(i/, ç')], sera du degré n*. Car soit/ X^f-i -j» X, (-» -j j une de ses
racines : les systèmes de valeurs de u, v pour lesquels \{u, v), X|(£i, v), et les A correspondants reprennent la même valeur sont donnés par les formules m -4- />, P, -f-y, Ps -h/^iPs -f-^aPi. ^-H/>iQi -+-yiQ2H-/>2Q3 -^qitQk^
où /7f , 9,, />2« ^2 sont des entiers quelconques; substituant ces valeurs dans la fonction f, on obtiendra autant d'expressions distinctes que la variation des entiers />f, q^, p^, q^ fournit de systèmes de restes différents par rapport à n. On aura donc en tout n^ racines, qu'on pourra désigner par le symbole général (/>, q^p^ q^)-
i88. Si n est un entier composé, tel que rs^ la résolution de Téquation N, de degré n\ revient à celle de deux équations successives de degrés r* et 5\
En effet, la fonction/ X^^f-, -)' X, (-» -) dépend d'une équation S de degré s\ dont les coefficients sont des fonctions rationnelles deXj>(-» -U i, (-J - jî A Xgf -' -j » A X, (-» - j 1 symétriques par rapport a X^et à À,. Mais A Xjj( -> -J et A X, (-» -) s'expriment rationnellement en Xo(u, i^).
En effet, différentions les équations (i8) successivement par rapport aux variables indépendantes i/, v\ il vient
a 4- vx dx a -h V )* dy a -h v' x dx u' -h y'x dy
\\x) du A(r) du A(j;j du \[y') du
u-^vxdx a -H y r dy a' -h v'x dx u! -h v'j; dy
~~ AiJ:) rfi' A(r) dv^ ~~ A(xj ^/v A(^r) dv
relations qui déterminent les dérivées partielles de a; et j en fonction rationnelle de x,y, A(a?), A(v), et d'où l'on déduit réciproquement
A(j;) = (fx 4- vx) ^ -4- ( a' + v'x) £, A( r) = (a 4- vj) ^ -f- (u'-hv'r) '^ •
Donc A Xo (^> -j L et A X, ("» -j s'expriment rationnellement en fonction de Xo(-» -)> X, (^^ -J et de leurs dérivées partielles.
Mais X^f-» -j» X,(-j -j sont liées à Xo(a, v), X|(w, i^) par deux équations algébriques dont la différentiation (après avoir chassé les radicaux), donnera les dérivées partielles de Xo(->-)îX, (-»-] ex4)rimées en fonction
de Xo(-» -)» X| ( ~> -)j Xft(w, i^), X, (a, v) et des dérivées partielles de ces
deux dernières fonctions, lesquelles s'expriment à leur tour en fonction rationnelle de Xo(i£, v), X« (i/, v), et des A correspondants. Les coefficients de S sont donc rationnels en Xo(m, v), X|(m, v), A [Xo(i/, i^)],
A[X,(w, v)], X^f-» -j? X|("î -V, il est en outre évident qu'ils sont symétriques en Xo etXi; ils s'expriment donc rationnellement en fonction des coefScients de Téquation qui a pour racines X^, ( "? -U et X, (-? - J lesquels s'expriment rationnellement en fonction des racines de l'équation de degré r* dont dépend la fonction/ X^f"» - j» X, ["^ -j (362).
On peut donc supposer n premier, sans nuire à la généralité de la question.
489. Cela posé, cherchons le groupe de monodromie de Téquation N par rapport à Xo(w, t'), X, (w, ç'), A[Xo(w, (^)], A[X|(i/, i')]. Faisons varier ces quantités arbitrairement : lorsqu'elles reprendront leurs valeurs initiales, u^ V seront changés en
1/ H- d, P, 4- e, P2 4- d, P3 -f e, P4, v -H ô, Q, -h e, Q, h- Ôj O3 -H £: 0«.
La racine (/>« giP^^i) ^ura été changée dans la racine
(px -f- ô,, qx -4- €,, p^ 4- dj, q^ -h 6,) ;
le groupe cherché sera donc formé des substitutions
/>!, ?i, p^y qi pi-^àiy 7,-1-e,, p2-hd,, ^jH-fii |.
490. Supposons maintenant qu'on ait adjoint à Téquation une de ses racines, telle que (0000). Les racines restantes dépendent d'une équation Z de degré /i* — i, dont le groupe de monodromie r par rapport aux modules /Wq...., m^ s'obtiendra aisément comme au n® 471. Supposons en effet que /w,,..., m^ restant invariables, /n© varie suivant une loi quelconque : lorsque m^ reviendra à sa valeur initiale, les racines (/?, qtPa q^) au-
:V^iH LIVRE TROISIÈME.
ront élé permutées entre elles par une certaine substitution; et si l'on modifie de toutes les manières possibles la loi de variation de m^, Tensemble des substitutions obtenues sera le groupe de monodromie de l'équation relativement à /Wo.
On obtiendra de même le groupe de monodromie de l'équation relativement à chacun des autres modules /tz,,..., /n- : et l'on aura évidemment le groupe de monodromie relatif à m^,..., tti, en combinant entre elles les substitutions de tous ces groupes partiels.
Or tout déplacement du point Wo suivant une courbe fermée résulte évidemment de la combinaison de cinq déplacements particuliers suivant des courbes fermées Do,, D02» Do.,, Don D05 enveloppant respectivement chacun des cinq points /ti,,..., /715, sans couper les contours élémentaires relatifs aux autres points, avec un déplacement suivant une courbe fermée n'enveloppant aucun de ces points. Ce dernier déplacement n'altère évidemment pas les périodes : donc toutes les substitutions du groupe de monodromie relatif à m^ résultent de la combinaison des cinq substitutions partielles opérées par les déplacements Doi,..., D05.
Cela posé, la figure .ci-jointe montre que le déplacement Dp, pouvant se
Qw,
faire sans déformer les contours élémentaires Co, C3, {\, C5, n'altère pas les intégrales A o, A,, A», Aj-, quant aux contours élémentaires Co, C,, ils sont transformés en de nouveaux contours tels que Ho, H,, qui se réduisent respectivement aux deux suites de contours élémentaires {\^ C, C^ C, C„ et C„ i], i\ . Par suite, A„, A, sont transformées en
A, - - A» "h Ao — A, -T- Ao —- 3 A, - - •?. A,, A^ — A, -f A» = 2 A» — A,.
F.es périodes P, = An — A, et P.^ == A, - A2 seront donc transformées en
3A. 2A, (;iAo - A,;^:: P,, 2A„ A, -A,- 2P. -h P:.
et les autres périodes resteront inaltérées.
DES IRRATIONNELLES. ^m
On voit de la même manière que le déplacement Do^i transforme
A« en 3Ao — 4 A. H- 4-^^ — . . . -f(— i):*-'2 A.^,
A.^ on — 2A^ + 4^:^.-. — 4A^-î -^ •• •-^- (— 0^"'A„ .
et laisse les autres intégrales invariables. Substituant les valeurs finales des intégrales dans les expressions des périodes, et tenant compte de l'équation (19), on obtiendra les valeurs finales P*, , Po» P^ P'^ de ces périodes, exprimées linéairement en fonction de leurs valeurs initiales P,, Pj, P,, Pj.
On obtiendra de la même manière Taltération produite dans les périodes, en supposant que les points /Wo,..., /^ip-n 'Wp+n--- restant immobiles, h^ point mp décrive un contour fermé Dp^^ autour du point m^^.
Quant aux valeurs finales Q', , Q'.^, Q'3, Q^ des quatre autres périodes Q,, Qj» Qst Q4 après cbacun des déplacements ci-dessus, elles s'exprimeront évidemment en fonction de Q,, . . . , Q* de la même manière que P'j , . . . , P'^ en fonction de P,,..., P».
491. Après cbacun des déplacements considérés, on aura l'identité facile à vérifier
Supposons maintenant qu'on imprime à m^ un déplacement représente par une combinaison quelconque des cinq déplacements simples Doi,.** Dos'» puis à /n, un déplacement représenté par une combinaison quelconque des déplacements élémentaires D|o, D, 2,..., D,..; etc. Ce système d'opérations transformera
(a,, /5\,... étant des entiers constants), et Q,,..., Q4 en fonctions analogues de Q,,. •» Q*- D'ailleurs la fonction P|Q2 — Q1P2 ^ PsQ^ -Q:.l\' n'étant altérée par aucune des opérations partielles dont se compose celli' que Ton considère, restera identique à elle-même : d'où les conditions
Substituons maintenant, dans l'expression des racines f/?i <7i/>2<72)« î» '^^
place dePi,..., P4, Q,,.-, Q* les valeurs de leurs transformées : cette opération reviendra évidemment à opérer sur les indices de ces racines la substitution
' I pi, q. «", ;?. -^c\q^-^ (i\p^ H- c*; ^„ h\ p, -H rf", ^. -+- b\p^ -h rf' Ça
les coefticicnts a, , . . . , rf 2 étant respectivement congrus à a ,,..., (^^ ( mod . /i ) , et satisfaisant par suite aux relations
' d, c\ — c\ d^ H- «2 ('\ — c\ n^ == 6', d", — ^', é'î -»-• 6', rf" — d\b\^= o,
qui montrent que la substitution S est abélienne.
Soit, comme au n''219, H le groupe formé par les substitutions qui satisfont aux relations ci-dessus : le groupe cherché F est contenu dans H; mais réciproquement, il contiendra toutes les substitutions de H, si n est impair. En effet, il contient les suivantes :
S, ~ I //., qxy p,y qi px -i- iqx, qx, pi, qt |,
Sî - I />,, qx, piy qi Px, qx — a/^, Pu ?j U
§3= ! Pu qi. Pi* qi pi, qif p^-^^qi, qi |«
S,— I pxf qxy pi, qi pxf qxy p^, q^ — ^Pi K
Sj— I /?,. q y /;„ q. px -+- ^^i — ï;?:, ?i, ^j, 27, — np^ -h q^ j,
respectivement correspondantes aux déplacements Doi, D,2. Du, D45, D,,. Mais toutes les substitutions de H sont dérivées de celles-là. En effet, soient V une substitution de H, a',/?, -h c, y, 4- à^Pi H- c^q., la fonction qu'elle fait succéder à />,. On voit aisément, comme au n^ 221, qu'il existe une substitution U, dérivée de S,, . . . , S5, qui remplace également/i, par cette fonction; et Ton aura V = UV,, V, étant une nouvelle substitution de H, qui laisse /7| invariable. Les coefficients deV, satisfaisant aux relations (ai), elle remplacera y, par une fonction de la forme |3,/i| -h y» -h P2P2 ■+- ^a^a- Mais il existe évidemment une substitution U,, dérivée -de S,,..., S,, qui opère ce même remplacement : et Ton aura V, = U| V^, Va étant une nouvelle substitution de H, qui laisse />«, Çt invariables, et qui, par suite, se réduira à la forme
p.» qxf />2. q^ ptf qif x^p^-hy^q,, pa/?2-+-3,^, |,
avec la condition ol^^^ — 132 72^ '• Cela posé, il existe une substitution Uj» dérivée de S3, S,, qui remplace /^a par «2/^2 -^ 72^2 • et Ton aura V2= U2V3' V3 étant une nouvelle substitution de H, qui laisse /?,, q^, p,^ invariables, et qui, par suite, en vertu des relations (21), se réduira à une puissance deS*. Donc V = UU, U2 V3 est dérivée de S|, So, Sj, S4, S5, ce qu'il fallait démontrer.
Soit au contraire n = 2. Les substitutions S(, S.j, S3, S4, 85 se réduisent à l'unité; et l'on voit immédiatement qu'il en est de même des substitutions correspondantes à chacun des autres déplacements élémentaires des points m,,..., /Wj. Le groupe de monodromie ne contiendra donc que la substitution I ; et les racines de l'équation seront toutes des fonctions monodromes de mo,..., /Wj.
492. Cherchons maintenant le groupe de monodromie F, de Z relativement aux coefiicients a,..., / du polynôme L^{x). Pour cela, supposons que ces cocflicients, après avoir varié d'une manière quelconque, reprennent leurs valeurs initiales. Les modules /Wo,..., m^ reprendront, à l'ordre près, leurs valeurs initiales, mais pourront avoir été permutés entre eux. Le groupe Ff contiendra donc, outre les substitutions de F, celles qu'on obtient en faisant varier les modules /no,..., 7725 de manière à les permuter entre eux de toutes les façons possibles.
Or supposons qu'on fasse varier deux modules consécutifs, /Wp, m^^, de telle sorte que le point m^ vienne à la place qu'occupait /Wp^.,, et réciproquement; combinons en outre ce mouvement de telle sorte que le point m^^ passe entre l'origine des coordonnées et le point /Wp. Les contours élémen-
taires Cp+i, Cp seront évidemment transformés en Cp et en un nouveau contour H, réductible à la somme des trois contours Cp, Cp^,, Cp. Donc Ap^.,, Ap seront transformées en Ap, aAp — Ap+,, les autres intégrales restant invariables. On en conclut aisément la valeur finale des périodes, et la substitution correspondante entre les racines [p\(]\P2^2)* cl l'on voit immédiatement que celte substitution appartient au groupe H.
Cela posé, il est clair que toute substitution opérée sur les modules peut
s'obtenir en connbinant des transpositions telles que (m^m^i). Donc tout mouvement des points-modules qui les ramené, à Tordre près, à leurs places initiales résulte de la combinaison des .mouvements ci-dé^sus avec ceux étudiés plus haut (490). La substitution opérée sur les racines par chacun de CCS mouvements composants appartenant à H, il en est de même de la substitution opérée par le mouvement résultant. Donc les substitutions de F, appartiennent au groupe H.
D'ailleurs, si n est impair, r se confond avec H; donc T,, qui contient F, se confondra lui-même avec H.
493. Supposons maintenant n = 2.l\ est évident que F, est isomorphe au groupe I d'ordre fi = 1.2.3.4.5.6, formé par toutes les substitutions
possibles entre les modules; et son ordre sera -r> 0 étant l'ordre du groupe
partiel L formé par celles des substitutions de I qui ont pour correspondante l'unité dans le groupe F, : en outre, L est permutable aux substitutions de I (67). Mais les seuls groupes contenus dans 1 et permutables à ses substitutions sont ce groupe lui-même, le groupe alterné d'ordre — » et celui
qui est formé de la seule substitution i (81). Donc l'ordre de F, est égal à I, a 2, ou à fi. Mais on voit immédiatement la fausseté des deux premières hypothèses. Donc F, a pour ordre fi> et sera isomorphe sans mériédrie à I. On peut remarquer qu'ici encore, F, se confond avec H : car il est contenu dans ce dernier groupe; en outre, les ordres respectifs de ces deux groupes, Ù et (2*— i)2'(2*— 1)2, sont égaux. Mais cette coïncidence fortuite n'aurait plus lieu pour les fonctions hyperelliptiques à plus de quatre périodes.
494. Passons à la recherche du groupe algébrique de l'équation N, eu supposant connus les modules et les quantités Xo(w, ç'), X,(m, ^'), AjXofw, v)]^ A[X,(w, r)J. Ce groupe contient (390) lé groupe de monodromie du n" 489, et ses substitutions lui sont permutables. Donc elles résultent (119) de la combinaison de ce groupe avec des substitutions linéaires. Si l'on adjoint à l'équation la racine (0000), son groupe se réduit au groupe partiel G formé par ces dernières substitutions. D'ailleurs les substitutions de G sont permutables à celles du groupe de monodromie F, = H (391 ). On en déduit qu'elles sont abéliennes.
En effet, soient T une quelconque des substitutions de G;
3(»i LIVRE TROISIKME.
lilés précédentes, les expressions X;-[— S — M> A X^( -^» ^j où Ton posera
successivement r=o ou i , p = o, i , a, 3. Après cette adjonction, le groupe contient le groupe de monodromie du n^ 489; mais il ne contient aucune autre substitution.
En effet, toute fonction y des racines de N peut se mettre sous la forme
<j^ Xo(-i -j» ).i(-ï -) » ^ étant une fonction rationnelle et symétrique,
dont les coefTicients s'expriment rationnellement en fonction des quantités adjointes (486 et 488). Désignons par ^ô.e.s.e, ce que devient cette fonction en y changeant u, v en
M-h3,P, -f- e.P, -hijPj-f-eaP,, v -hd.Q, -4- «,Qj -4- ô^Q, -h e^Q,.
Faisons le même changement dans Tégalité ^ = ({; : il viendra, en supposant que la fonction y soit invariable par ce changement, ç =î ^8,6.8,e,î d'où
f f vl -h. . . 4- v|;« . * , -H. . . 9 = + == +*.*»«.«. = •••= n>'^ *
expression qui est une fonction symétrique des racines de l'équation de degré n^ à laquelle satisfait la fonction tj;, et qui, par suite, est rationnelle. L'équation est donc abélienne, et se résout à l'aide de quatre équations abéliennes de degré n.
496. Supposons enfin i£ = ç;=:o. L'équation proposée aura l'une de ses racines égale a l'expression rationnelle /(o, o). Supprimant cette racine, il restera une équation du degré /i* — i ayant Y pour groupe de monodromie par rapport aux modules, et F, pour groupe de monodromie par rapport à a,...,/ (490-492). Quant à son groupe algébrique, on voit comme au II"" 494, que ses substitutions sont linéaires : elles sont en outre permutables à F,= H : donc elles sont abéliennes (494).
497. Tous les raisonnements faits dans ce paragraphe pour les fonctions hyperelliptiques à quatre périodes s'appliquent sans difficulté aux équations a a^ périodes. Remarquons toutefois que dans le cas où n= 2, le groupe F, ne contiendra plus en général qu'une partie des substitutions de II, ce qui infirme la démonstration du n^ 494.
498. On peut déduire de ce qui précède une conséquence remarquable, exprimée par le théorème suivant :
THflORàME. — Un groupe quelconque de degré q est isomorphe sans mérié-
on obtiendra un nouveau groupe H,, d'ordre îà«. Une fonction (p^ des racines de E, invariable par les subslilutions de H|, dépendra d'une équation C
de degré — ' = 45 (366). Le groupe de celte équation se déternninera facilement ainsi qu'il suit.
