Soit ^ le groupe formé des substitutions

A*B?OD* = I p,, Çt, p^y qi Pi -+- a, ^, -f- (î, p^-^y, ç» H- 3 |,

et supposons que les substitutions A, B, C, D aient leurs exposants d'échange mutuels congrus à zéro, sauf les suivants: (AB)^— (BA), (CD)^— (DC), qui seront congrus à i. A chaque racine de l'équation C correspondra une dé-. composition du groupe .f en deux groupes partiels d'ordre 3', tels, que leur combinaison reproduise ^, et que les substitutions de l'un d'entre eux aient leurs exposants d'échange avec les substitutions de l'autre tous congrus ii zéro. En effet, on obtient immédiatement une première décomposition, eh' prenant pour groupes partiels P| = (A, B) et F, =(C, D); et il est clair que le groupe H, est formé par l'ensemble des substitutions abéliennes qui sont permutables à ces deux groupes, ou qui les transforment Tun dans l'autre. Soit maintenant 5 une substitution abélienne quelconque : elle transformera, par définition. A, B, C ,D en substitutions A,,B„ C„ D^ ayant entré elles les mêmes exposants d'échange, à un facteur constant près; elle transforniera donc P, P' en deux nouveaux groupes partiels P,=(A„ B,), F, =(C,, D,), qui jouiront encore delà propriété que chaque substitution de l'un de ces groupes a ses exposants d'échange avec les substitutions de l'autre congrus à zéro. D*autre part, la substitution s, opérée dans la fonction 9,, la transforme en une autre fonction (p^, qui satisfait également à l'équation C. On a donc obtenu une décomposition de S en deux groupes partiels P„ F, , correspondante à la racine f^.

501. Il faut maintenant, prouver qu'à chaque racine correspond une seule décomposition, et réciproquement. Soient s et / deux substitutions abéliennes telles que l'on ait 9j=9r * on en déduit 9^,-1 = 9, (356). Donc isr* = h, est une substitution de H,. Mais A, est permutable aux groupes P|, P', , ou les transforme l'un dans l'autre; s les transforme en P„ F,; donc / = A,5 les transformera en P„ F, ou en F, , P,; donc en transformant P,, F, par s ou par ^ on obtient la même décomposition. Réciproquement, si ces deux transformations donnaient la même décomposition, tsr* redonnerait

3G^i . LIVRE TROISIÈME.