Désignons mainlenanl par

les racines de C respeetiveinent correspondanles à cessubslitiUions; diaprés ce que nous venons de voir, chaque substitution abélienne Iransformera ces racines entre elles de la même manière qu'elle transforme les décompositions correspondantes.

Ainsi, par exemple, la substitution

li = I Pif ?.» P^f q: Pt 4 7., y., P2, 7a |,

transformant A, B, C, D en A, AB, C, I), sera permutable aux deux groupes ( \, B), (C, D); donc elle laissera invariable la racine i qui leur correspond; de même pour les racines 2 et 3. De même elle transforme (AD, B), (CB, D) en fAD, AB), (CAB, D), groupes évidemment identiques aux suivants : ^ AD, BD^), ^CAB, D}; donc elle remplace la racine 4 par la racine 5; etc. Continuant ainsi, on peut écrire sans difficulté les déplacements opérés entre les racines i, 2,..., 4^ par la substitution |/;,, 7«,/>2» Ç2 fi* ^Çt^ P%f^Ç2 \ et par les autres substitutions L,, La» M|, Ma» N|,2 dont G est dérivé (219-220^, et vérifier que chacune de ces substitutions permute les unes dans les autres les vingt-sept expressions

(lo, 37, 7, 21, 32), iii, 37, 4, ^5, 3o), (i5," 34, 3, a4, 33), •

.19, 4>» «3, r>, 3ii, .17, 4i, «8, 28, 8;, fi5, 44» 6, 21, 27 ,

en désignant par (1 , 37, 34» 4* » 45) une fonction des racines de C invariable par les substitutions qui permutent exclusivement entre elles les cinq racines I, 37, 34f 4», 45, mais variable par toute autre substitution, et par («» /3, 7, â, ê) la fonction analogue formée avec les racines a, jS, y, c^, i. Les vingt-sept expressions ci-dessus, que nous désignerons, pour abiéper.

par /?, A, c% rf, c, /, g, h, i, A", l^ m, n, p, q, r, 5, /, w, m', «', //, 7', r\ s\ i\ u' (lépcndenl donc d'une équation X du vingt-septiemc degré. D'ailleurs, chacune des racines 1, 2,..., 45 entre dans trois de ces expressions : formons le produit de ces trois expressions, puis ajoutons ensemble les quarante-cinq produits relatifs aux racines 1, 2,..., /|5 : on voit sans peine que la fondinn ainsi formée,

ç» = abc -4- ade 4- . . . -f- Is'p^

sera identique à celle du n° 441.

504. Le groupe de l'équation X est formé des substitutions qui n'allèrent pas 9. En effet, soient S une substitution quelconque de G; a une quelconque des racines i, 2,..., 4^; /3 celle par laquelle S la remplace; il est clair que S remplacera celles des expressions a, 6,.... u' qui contiennent a par relies qui contiennent /3; elle transformera donc les uns dans les autres les divers termes de ç. Donc une fonction de a, 6,..., u' invariable par les substitutions qui n'altèrent pas cette fonction, ne sera altérée par aucune substitution de G, et par^^uite sera rationnelle.

Réciproquement, toute substitution qui n'altère pas 9 appartient au groupe de X. En effet, supposons l'équation X résolue. Le groupe G sera réduit à celles de ses substitutions qui ne déplacent pas a^ 6,..., //, et qui, par suite, laissent invariable chacun des termes abc^ adc,..., Isp. Ces substitutions laisseront invariables les racines i, 2,..., 4^ respectivement communes aux facteurs de ces divers termes : donc elles transformeront en ellemême chacune des décompositions de :f qui leur correspondent. On en déduit immédiatement que ces substitutions se réduisent a celles qui multiplient tous les indices par un même facteur constant =b 1. Donc l'ordre de E, qui était égal à 2Î22* se trouve réduit à -2 après la résolution de X. Donc le groupe de cette dernière équation avait pour ordre ih? ou 27 . 10.8.6.4» nombre total des substitutions qui laissent 9 invariable.

L'équation X a donc le même groupe que l'équation aux vingt-sept droites des surfaces du troisième ordre.

D'ailleurs, ses facteurs de composition sont 2 et -Ûs. Car l'équation E a

pour facteurs de composition 2, -Q,, 2; après la résolution de X elle n*& plus que 2 pour facteur de composition. Donc la résolution de X éqiiiVdQt à celle de deux équations simples, ayant pour ordres 2 et -ûa-

:i7(» LIVRE TROISIÈME.

§ IV. — Rksoliition des équations par lks transcendantes.

• Troisième degré.

2? x^ 4- px^ -k- qx -\- r— o

i*éq(ihlion générale du troisième degré. Posons

il viendra

laquelle se réduira à la forme

si Ton prend pour a une racine de Téquation du second degré

P'^ 'xp -\- 3q 3

Ur Téquation a'3 , à laquelle se trouve ramenée la proposée, peut se résoudre irigonomélriquement : car si l'on pose A = 7—» elle se con-

t'ondra avec Téqualion connue qui a pour racines eus ^^ eus --t--^