COS

Quatrième degré, 506. Soit

•?4 ) ^-x:* -*- 4 bx'^ -»- 6r.r' -h 4 dx - ^ -n u

Téquation générale du quatrième degré. Posons avec M. Hermile

(•>5) r> flT-hl/iT ^46;T,-+- vrtJ-4-46.r 6c)T, -T «x -r 4fcr' ^6rr-^4i/ T„

X, T„, T|, Ta étant des coefficients indéterminés : v sera la racine d*iine

DES IRRATIONNELLES. Tt\

notivelle éiquation du quatrième degré

( 26 ) \r* 4- 4 B >-^ -h 6(: r' -h 4 hr h- E r= o,

que Ton peut calculer ainsi qu'il suit.

Klcvons Téqualion (25)-successivement aux puissances 1, 3, !i, /|, et réduisons au moyen de Téqualion (ri/)) les puissances de a: supérieures à la troisième : on obtiendra quatre équations dont les trois premières déterminent a-, x^, 07* en fonction ralionneHe deVf /'• v' et deT, T©, T,, T-j : ces valeurs substituées dans la quatrième équation donneront Téquation clierrhée.

On peut se proposer de déterminer les coerficients T, Tq, Tm Tj de telle sorte que Ton ait

(^^7) \E-4BD-h3C«~o.

Effectuant le calcul, on trouvera que le premier membre de cette équation est le produit des deux facteurs suivants, du second degré en T,,, T|, T.^ '

\f ^ A;j .^ J. ^/i3 2^ jA ; T. T. - t; ),

1/4- A;j - ^.\^ v/îrz:^yj,yT/f,- Tî),

en posant, pour abréger,

f= ail -i 4cT; -f- f^T] h- 4^/T. T, 4- 2cT,T. -^ 4 h\. T„ l =z ae — f\b(i n 3 c'S J : - acf: -4- ^ fcc^ — ad^— eb* — r\

On pourra donc satisfaite d*une infinité de manières à Téqualion ('^7)* sans introduire d'autre irrationnalité que deux radicaux carrés successifs.

Cette condition étant supposée satisfaite, posons y =: — . dans l'équation {26) : il viendra

en posant B'-AC= S, A^D - iABC -^ 2B' =:= T.

Or celte dernière équation se ramène à l'équation modulaire que donne la tliéorie des fonctions elliptiques pour la transforniation du troisième ordre, laquelle est, comme on sait, la suivante (Jacodi, Fundamenla Noi^a).

oii la constante u désigne la racine quatrième du module :

i'' -4- ? m' i^ — 2 iw — /** — o.

En eflet, dans cette dernière équation» la fonction analogue à

AE-4BD-h30

est nulle : si donc on pose v^ = w a*, d'où oj = i» +- - m', il viendra

et l'équation aura pour racines celles de l'équation 29, multipliées par uno même constante p, si çj et u satisfont aux conditions

d'où

P~ -y » 2hVS . - =- I.

Cette dernière équation est du second degré par rapport au module A = m*. On obtient donc comme résultat de cette analyse le (liéorème suivant :

Théorème. — Pour résoudre Véquation générale du quatrième degrés il suffira de lui adjoindre les racines : i^ de quatre équations successives du second degré ; ti® de l'équation modulaire pour les transformations du troisième ardre d" une fonction elliptique ayant pour module la racine de la dernière des quatre équations auxiliaires ci-dessus.

Cinquième degré.