Méthode de M. Hermite. — Passons à l'équation

.1^ +- Ajc^-f- Bx^-hC^'4- !)j:-h E— o.

Posons

On verra comme au numéro précédent que x s'exprime rationnellement en fonction de/, et Ton formera l'équation du cinquième degré dont j^ est racine : le/w'*'"'*' coefficient de celte équation sera évi<lemment une fonction

entière» homogène et de degré m — i, par rapport aux indéterminées, /,

Proposons^nous de faire évanouir le second, le troisième et le quatrième terme de la transformée. M. Jerrard a démontré qu*il suffira pour cela de résoudre des équations du second degré, et une du troisième. En effet, égalons le second terme à zéro : on aura une équation linéaire qui déterminera-l'une des quantités /, /,, /2, /a, /«/ en fonction des quatre autres. Substituant la valeur trouvée dans le troisième terme, il devient une fonction entière et homogène du second degré par rapport aux quatre indéterminées restantes /, /,, /a, /,. D*après un théorème bien connu» on pourra lui donner la forme suivante

Of Gif 02f 0.1 étant des fonctions linéaires des indéterminées. Il s'annulera si I*on pose

Ces relations déterminent deux des quantités /, /,, ti, /s ^^ fonction linéaire des deux dernières et des radicaux du second degré \/— » \/— •

Substituons ces valeurs, ainsi que celle de /«, dans le quatrième terme; il prendra la forme d'une fonction homogène du troisième degré relativement aux deux indéterminées restantes; et si on l'égale à zéro, on obtiendra le rapport de ces deux indéterminées exprimé par une équation du troisième degré.