L'équation en y étant ainsi ramenée à la forme
comparons-la à l'équation
réduite de l'équation modulaire pour la transformation du cinquième ordre (485). On aura y = pz, en posant
Mi LIVRE TROISIÈ&il!:.
(Voii Ton déduit, en posant ^ = w,
ai
I 4- //• 0 :r /H 9 /Il
On peut ehoisir arbitrainuncnl le signe du second membre de eelte di*rnière é<|ua(ion, qui sera du quatrième degré en w* = A\
Cela posé, x est une fonetion rationnelle de /, /,, /^, /j et de/, qui luimême s*exprime rationnellement en fonetion de p et de z : enfin z est une
fonction rationnelle des racines de l'équation modulaire en i> et de ^5.
509. Méthode de M. Kronecker. — M. Kronecker et après lui M. Brioschî ont indiqué pour résoudre Téquation générale du cinquième degré par \vs fonctions elliptiques une nouvelle méthode que nous allons exposer.
Soit F(ç)= o Téquation générale du cinquième degré; et désignons ses racines par Sv, l'indice v variant de o à 4 (niod. 5j. Nous avons vu (H 6) que toute substitution entre ces racines peut être mise sous Tune des deux formes analytiques suivantes :
Si Ton adjoint à Téquation proposée la racine carrée de son discriminant, son groupe se réduira au groupe alterné G, formé des substitutions
lesquelles dérivent évidemment des trois suivantes :
Soient r une fonction quelconque des racines, laquelle soit cyclique^ c'està-dire invariable par les substitutions | v v -4- /> |; i'' sa transformée par la substitution | v ^v I : la fonction v — v\ que nous désignerons par i/^, sera évidemment invariable par les substitutions | v v -h A |, et changera de signe par la substitution | v 4v |. Désignons en général par £/„ la transformée de u^ par | v 3v^-+-/i { : on voit aisément que la substitution I V V -f- 1 !, opérée dans //„, la transforme en £/„^., ; que | v /|v i la transforme en — u^n\ enfin que | v 3v' ! transforme //,, i/„, i/,, i/.^, //,,, m» en
Wq. «X* ~ ^1' "a* "a* — '^•
On en conclul que les six quantités
jr^~{n,\5-\- Uo-^ fil -\- lii -\- Hi -\- //J*, ^» - (//. •+- //# v^ — Wi -*~ ''-• -+- «3 - Wi)',
