X-i -.-. [ //, 4- tt^ -- //, -f 11,^5 — Mj -♦ Ui

.r^ -^W. -h Mu -I- «, - Mî -4- Ui\5 - M4)'»

.r« li^- Uo H- //, -t- 112 — «1 4- W4 v/5 i',

sont transformées les unes dans les autres par chacune des substitutions I V V -f- I |, I V 4v* |f I V 3v' I dont G est dérivé. Donc Téquation du sixième degré qui a ces quantités pour racines a ses coefficients invariables par toutes les substitutions de G : ces coefiicients s*expriment donc rationnellement en fonction de la racine carrée du discriminant de F (S). La résolution de cette équation, faisant connaître des fonctions des racines de F(Ç) = o, qui primitivement n'étaient pas rationnelles, abaisse le groupe de cette dernière; mais elle est simple : donc elle sera complètement résolue.

510. La réduite du sixième degré à laquelle on vient de parvenir présente entre ses racines des relations remarquables : posons en effet

A. v5 — //. y5 H- 1/, +- w, 4- Wa -h Mi -+- m,,

- A, V'S^: «, -f-p*M, -f-p^/lj -h P'Mj -h pNi^

- A.yO— M, 4- pw, 4-p»|/, ~|- p5M3|-p*f/4,

p étant une racine cinquième de l'unité satisfaisant à la condition

on déduit immédiatement des relations (3o) celles-ci

s/x^ = A. V'S, s'x. = A, 4- A, -h A„ v-^, .- ■ A. 4- p A, f p» A„ ^jc, = A. 4- p'A, 4- pWi, ^'Xi = Aa 4- p'A, 4- p*A„ V r, — A. 4- p* A, 4- p A„

:m LIVRE TROISIÈME.

el en éliininant Ao» Af , Aj, on aura les trois relations

( vAr. -h ^ .r, -4- v'^2 -h V .Tj -h v'':c, ~--: \5 x^ V-^o -t- f vAr, 4- p v^ -h p< v^.r3 -f- p- v^ = o.

Le premier membre de Téqualion qui donne x^, Xo,... est égal à

(x — arac)(^ — '^o) Remplaçant a?o, ^x» ••• par l^urs valeurs ("^n An, A,,

Ao, el posant

B := 8A: a, A: - 2 A J A; A; -f- AJ AJ - Ao ( A| 4- A,*),

(:-^3ooa;a;a5-i6oa;a?A5-+-2oaja;a;4-6aja^

-4a.(32a;~2oa;a. A,-+- 5AîAj)(Aî-+- Aî)-h a;'-h a;», •

on aura pour cette équation

(32) (jr-A)^(jr~5A)4-ioB(x- Ai-(:(;i'- A ,. -+- 5( B^- AC; = o.

511. Cette équation se ramène elle-même à une équation du cinquième degré ne contenant que les puissances impaires de Tincoimue. Posons en effet

Zs. "::— — ,,— I ( X ^ — X^) ^ JTv-Hi — J^v-i ) ( X^^t .2^v— a ' J >

et remplaçons o?^, o^o»-- parleurs valeurs en A^. A,, A2, il viendra en général

en posant, pour abréger, »