C. r.: A,( 4 K\ - A. A.;., C, n^ — • 2 Aa AJ - a
Les (juantités z^^ r,, Sa, r.3, z^, sont le^ racines d'une équation du cinquième degré
r*-h q, r'4- 7^ c 4 752^4- 74 - 4- 7^:- o. Soit 11 le discriminant de Téquation en x : on aura évidemment
ys =: — — . Pour calculer les aulres coeRicients on les exprimera en fonc-
tion àe Zq 2^, puis on y remplacera ces quantités par leurs valeurs en Ao.
A,, A2 : on obtient ainsi, en tenant compte des valeurs de A» B, C,
5B 5(qB'~AC)
512. Soil j'=: — le multiplicateur dans la transformation du cinquième ordre des fonctions elliptiques. On sait que les diverses quantités j", J\/f '
y ^^ y\\/î -*- \/sT ) » jI *~ v t) s^^^ données chacune en fonction de i
par des équations du sixième degré» dont les racines satisfont aux relatioris (3i) (Jacobi, Notices sur les Fondions elliptiques. Journal de Crelle, t. III).
La théorie des fonctions elliptiques donne chacune de ces équations : et en les comparant au type général (3a), on aura les valeurs correspondantes de A, B, C.
Ainsi, par exemple, Téquation qui détermine 7, dont les racines sont
données par la formulef . ^^"^"^ff?f!'^"'"^" ^V(Feiri^amento), est la sui- * \smcoam4iisincoam8i2/ ^ ^
vante :
et Ton aura
D'autre part oelle qui détermine /( \/r -^ l/jr ) = oc, ai dont les ra-
^;ti£»c c/^«# /cosam2i2 cosani4î2\' .1
cines sont I 7 - > .. ^ , est la suivante ;
\(osam4i2 cosain2i2/
£t l'on aura
Or il est aisé de déterminer la fonction v et le module k de telle sorte
378 LIVBE TR0I5IËME.
que Féquation (33) coïncide avec Téquation (32). Posons en eflel
rrit et /tij étant des constantes, et v^, V2 des fonctions cycliques quelconques. La condition A = o détermine — par une équation du second degré : la relation
Bi = ~'^ ¥V^ — •
dont le premier membre dépend seulement de — » donne k^t*, d'où Ton déduit ifc^ par une équation bicarrée : enfin la condition
achève de déterminer m, et m, par une équation du second degré.
Degrés supérieurs.
513. Tiii^ORt.ME. — La résolution des équations générales d'un degré supérieur au cinquième ne peut être ramenée à celle des équations desquelles dépend la division des fonctions circulaires ou elliptiques.
En effet, réquation générale du degré q^ après l'adjonction de la racine
carrée de son discriminant» est simple, et a pour ordre ''^' ' '^« Supposons
maintenant qu'après lui avoir adjoint les racines d'un certain nombre d'équations auxiliaires A, B,... insuffisantes pour la résoudre, on lui adjoigne en dernier lieu celles de l'équation D de laquelle dépend la division par un nombre premier/? d'une certaine fonction F circulaire ou elliptique. Cette nouvelle adjonction ne la résoudra pas davantage.
En effet, l'équation proposée étant simple, et n'étant pas résolue après l'adjonction des racines des équations A, B,..., son groupe ne sera pas abaissé par ces adjonctions. Supposons maintenant que la fonction F soit circulaire : la résolution de l'équation D revient à la résolution successive (le trois équations abéliennes (§1). La résolution de toute équation abéliennc dépendant elle-même de celle d'équations abéliennes de degré premier (iOS-iOT), l'équation proposée devrait être résoluble par Tadjonction
des racines d'une suite d*équaUons abéliennes de degré premier. Cela est absurde : car si la résolution d'une équation abélienne de degré premier n pouvait abaisser le groupe de la proposée, elle entraînerait sa résolution complète : et réciproquement la résolution de la proposée entraînerait celle de l'équation abélienne (celle-ci étant évidemment simple). Ces deux équations seraient donc équivalentes, et leurs groupes contiendraient le même nombre de substitutions (381); d'où
résultat absurde, n étant premier.
Si F est une fonction elliptique, l'équation D = o, de degré p^, dépend (§11) d'une suite d'équations simples, toutes abéliennes, sauf l'une d'ellesC,
dont le groupe a pour ordre ^ "^^P . La résolution des équations abé-
tiennes ne pouvant abaisser le groupe de la proposée, il faudra que celle de l'équation C le fasse. Donc cette équation sera équivalente à la proposée : donc les groupes de ces deux équations contiennent le mémo nombre de substitutions : d'où
résultat absurde si y > 5 : car " '^ étant divisible par /?, on aura ^<^, d'où p [p^ — i)< 1 . 2 . . . y.
514. On voit de même que Véquation générale du degré q ne peut être résolue à l'aide des équations qui donnent la division des fonctions hyperelUp^ tiques par un nombre impair. En effet Téquation E de la division par/i des fonctions hyperelliptiques à an périodes, ayant pour groupe le groupe abélien, dépend d'une suite d'équations simples, toutes abéliennes, sauf l'une
( pin I \ pan—» [ n» ï) D
d'elles, dont l'ordre est -^ ^-^ — ^^-^^^- ^ (224), Pour que celte équa-
tion procurât fa résolution de l'équation générale du degré 9, il faudrait qu'on eût
ip'"— 1)/>'"~*. . '(p^— ^)p 1 .2. . .7
résultat absurde; carsi i.2.\.q est divisible par/?^""*.../?, lesecond membre de cette relation surpassera toujours le premier.
380 LIVRE TROISIÈBIE.
Remarquons toutefois que cette démonstration pourrait être en défaut, s'il existait entre les modules de la fonction hyperelliptique considérée dos relations particulières abaissant le groupe de l'équation E.
