TRÉORi=:ME. — La résolution de Véquation générale
X == j:^ -h ax^-^ -h . . . = o
se ramène^ après l'adjonction d'irrationnelles numériques qui ne dépendent que de q, à celle de l'équation E qui donne la bissection des périodes des/onc- (ions hyperelliptiques formées açec la racine carrée de X.
En effet, les racines de E, étant des fonctions monodromes de celles de X, ne pourront contenir dans leur expression que des irrationnelles numériques. Adjoignons-nous ces irrationnelles : les racines de E deviendront des fonctions rationnelles de celles de X. Adjoignons-les à Téquation X : le groupe de cette dernière équation sera réduit à celles de ses substitutions qui laissent invariables toutes les racines de E, c'est-à-dire à la seule substitution I.
516. Nous terminerons en signalant une réduite de Téquation générale du huitième degré» qui parait devoir jouer dans Tétude de cette équation le même rôle que la réduite du n^ 509 pour Téquation du cinquième degré.
Soit X l'équation proposée du huitième degré; adjoignons-lui la racine carrée de son discriminant : son groupe se réduira au groupe alterné, con-
tenant ' = £1 substitutions. Cela posé, représentons les racines de X
par le symbole xyzy où a?, y, z sont variables de o à i ; et considérons le groupe G formé par les substitutions
qui sont en nombre w = 2'('ji'— 0(2'"- 2) (a' — !ï^), et contenues dans le groupe alterné. Une fonction ç des racines, invariable par les substitutions
de G, dépendra d'une équation Y, de degré — = i5, dont les coefficienls
s'exprimeront rationnellement en fonction de ceux de X et de la racine carrée de son discriminant.
Désignons, pour abréger, par a, 6, c, rf, e,/, g, h celles des racines de X qui étaient d'abord désignées par iio, 00 f, ou, m, 010, 100, 000 : et représentons par le symbole X/xv^tt ce que devient la fonction 9 lorsqu'on v
remplace a, 6, c, rf, e par X, jtx, v, p, t. sans changer les autres racines/, g^ h. Il est aise de voir que les quinze racines de l'équation Y seront
Iabcde, abdec, abecd, baced, badce, baedc, cbaed, cbdae, cbeda, dbcea^ dbace, dbeac, ebcad, ebdcn, ebadt\
et de se rendre compte de la manière dont ces racines sont permutées entre elles par les diverses substitutions du. groupe de X. En effet, considérons, par exemple, la substitution [bcd). Elle transforme abcde en acdbe; mais cette dernière expression ne diff*ere pas de abced\x^v la fonction abcde = rf étant invariable par la substitution
\ x,y, z x-f-z, y\ z \=:{bd){ec),
on aura abcde = adebc, identité qui ne sera pas troublée lorsqu'on y opérera l'une des substitutions du groupe de X, telle que {bcd); donc acdbe = abecd. On verra de même que [bcd) transforme abecd en abdec, etc. Désignons maintenant les quinze quantités (35) par les symboles suivants :
!IOOO, OIOO, I lOO, OOIO, OOOI, OOII, lOIO, IIQI, OlII, IIIO, OIOI, lOlTy OIIO, lOOl, Mil,
et considérons la somme ^ des trente-cinq produits ternaires, tels que
xyzH . jCx y*! Z\ U\ * •2^2^*1 ^2 fti ,
que Ton peut former avec ces quantités, en observant les conditions suivantes :
-f- j:, -h ^j^j -+->•, -h ^-,^3 -f- -2i -f- Zi^n -\- w, 4- U2=^o (mod. 2).
On vérifiera sans aucune peine que l'expression ^ ne sera altérée par aucune des substitutions du groupe de X. (II suffira de faire cette vérifica- • tion pour les substitutions {abc), (bcd), [cde], [cdefg) dont les autres sont dérivées.) Donc le groupe de Y sera exclusivement formé de substitutions qui n'altèrent pas ^,
Cela posé, Téquation Y étant équivalente à X, a dans son groupe le même
