CHAPITRE PREMIER

CONDITIONS DE RÉSOLUBILITÉ.

517. Une équalion est dite résoluble par radicaux si l*on peut reudre ses racines ratiponelles par l'adjonclion des racines d'une suite d'équations binômes.

On peut supposer que les équations binômes auxiliaires sont toutes de degré premier; car la résolution d'une équation binôme de degré pq revient évidemment a la résolution successive de deux équations binômes» de degrés/? et q.

Nous appellerons groupes résolubles ceux qui caractérisent des équations résolubles par radicaux.

518. Théorème I. -^ Toute équation abélienne de degré premier p est résoluble par radicaux.

Soient en efTet X une semblable équation ;

ses racines; 6 une racine ^'^'"* de l'unité; r un entier quelconque : la fonction

est évidemment invariable par la substitution [x^x^,.. ^/,-<) dont les puissances forment le groupe de X. Elle s'exprime donc rationnellement en fonction de Q et des coefficients de X. On obtiendra aisément sa valeur en remplaçant Xi,..., Xp^t par leurs valeurs en fonction de Xq, ce qui la réduira à la forme ^{x^, 6). On aura donc l'égalité

[m LIVRE QUATRIÈME.

qui ne sera pas troublée si l'on exécute sur ses deux membres Tune des puissances de la substitution (a?^a?,... a^p.,) : on aura donc

tir étant une fonction symétrique de ar^,, a?,,..., a?^,. Cette fonction étant calculée, il viendra

Posons successivement r=i, 9.,..., /? — i : on aura p^i équations linéaires distinctes, qui, jointes à celle-ci :

(ou P est la fonction connue des coefficients de X qui représei^e la somme des racines)^ permettront de déterminer toutes les racines.

Pour avoir x^, on ajoutera ces équations, respectivement multipliées par 6""P,..., 9'"'*^,..., i ; divisant ensuite par/?, il viendra

P-4- 0~?^«, -4-. . .4- B-'^^y/Ur-^-. . .

Cette expression contient/? — i radicaux de degré/? : mais ces radicaux sont des fonctions rationnelles d'un seul d'entre eux, de telle sorte que la valeur de celui-ci étant prise arbitrairement, celle des autres est complètement déterminée. En effet, la fonction

!^7îr{y/u,Y'"'=(Xo -r 6' Xi H-. . ')(Xo 4- 0^, -h. . .y-",

n'étant pas altérée par la substitution (a?^,^?,... a?^,), est rationnelle, el se calcule comme tout à l'heure la fonction (p. Soit a^ sa valeur, on aura

519. Théorème II. — Pour quune équation soit résoluble par radicaua.^ il faut et il suffit que sa résolution se ramène à celle d'une suite d'équations ahéliennes de degré premier.

Cette condition est nécessaire. Car chacune des équations binômes dv degré premier qui concourent à la résolution de la proposée, peut se ré-

soudre à Taide de deux équations abéliennes successives (417) dont l'une est de degré premier. Quant à Tautre, sa résolution se ramène à celle d'une suite d'équations abéliennes de degré premier.

Cette condition est suffisante : car les équations abéliennes dont dépend la proposée étant résolubles par radicaux, la proposée le sera.

Voici deux autres énoncés du même théorème :

520. Théorème III. — Pour qu'une équation soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que ses facteurs de composition soient tous premiers.

Car soient X une équation résoluble par radicaux; G son groupe; N son ordre. Adjoignons-lui successivement les racines des équations abéliennes qui concourent à sa résolution : son groupe s'abaissera successivement jusqu'à ne plus contenir que la substitution i. Soient H, I,... les groupes réduits successifs; y» r"'*" '^urs ordres; Z l'équation abélienne de degré

premier/? telle, que l'adjonction de ses racines réduise le groupe de la proposée à H. Réciproquement l'adjonction des racines de X à Téquation Z réduira l'ordre du groupe de cette derniè/e, en la divisant par X (378). Mais cet ordre est égal a p (358); et, pour qu'il soit divisible par X, il faut qu'on ait X =/?. On voit de même que jtx,... sont des nombres premiers. D'ailleurs les substitutions de G sont permutables à H (376) ; celles de H le sont à I ; etc. Donc X, jtx,... sont les facteurs de composition de G. Réciproquement, si l'équation X a ses facteurs de composition X,]ul,... tous

N N premiers, soient G, H, I,... les groupes successifs d'ordres N, y» ^>"- et

tels, que cbacun d'eux soit contenu dans le précédent, et permutable k ses substitutions. Une fonction des racines de X, invariable par les substitutions de H, dépend d'une équation Z de degré X et d'ordre X (366 et 370). Mais par bypothèse, X est premier : le groupe de Z se réduira donc aux puissances d'une substitution circulaire d'ordre X. Cette équation sera donc abélienne et de degré premier. Enfin sa résolution réduira le groupe de la proposée à H.

Cela fait, une fonction des racines de la proposée invariable par les Substitutions de I dépendra d'une équation abélienne de degré jx, dont la résolution réduira le groupe de la proposée à I ; etc.

521 . Corollaire I. — Tout groupe T contenu dans un groupe résoluble G est lui-même résoluble. Car ses facteurs de composition, divisant ceux de G (392) qui sont premiers, seront eux-mêmes premiers.

522. Corollaire II. — Véquation générale du degré n n'esi pas résolubie par radicaux si n > 4- Car ses facteurs de composition, 2 et ' '" » ne sont pas tous premiers.

523. Corollaire III. — L'équation générale du troisième degré est résoluble par radicaux. Car ses facteurs de composition, 2 et 3, sont premiers.

Lagrange la résout comme il suit. Soient

x^-^ px^-^ qx-^ r=:o

l'équation proposée; a?^, x^^x^ ses racines; 0 une racine cubique de l'unité. Les deux fonctions (a?o -i-^^i -^^^^2)% [x^-^- ô^x^ -^-Qx^Y^ invariables parla substitution circulaire [xQX^X2)f sont les racines d'une équation du second degré

[r — (^* 4- 0 JT, -4- B^x^Y)] [y — [x. 4- 0'x, -t- Bx^Y] = o,

dont les coefficients, symétriques en x^f a?i, 4^3, sont des fonctions rationnelles des coefficients de la proposée. Tout calcul fait, il vient

Cette équation étant résolue, soient i^i, a, ses racines : il viendra

Xo-^ 6X1 -^ O^Xi = ^Ut ,

X9-\-6^Xx 4- 6 Xi =^Uj^

Xo -+■ ^1 "f~ Xi m: "^ Pf m

d'où

On a d'ailleurs

^Ui^ûl=i(xo-h Oxt -¥-Q^X2){xo -4- O^x, -f- Ojr,) = ;>2— 3^,

relation qui détermine le second radical en fonction du premier. Substituant cette valeur dans les formules (i), on voit que x^^ Xt, x^ seront données par la formule

DE LA RÉSOLimON PAR RADICAUX. 389

en assignant successivement au radieal cubique les trois valeurs dont il est susceptible.

524. TnéoRiME IV. — Pour qu'une équation soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que son groupe puisse être considéré comme déris^ant d*une échelle de substitutions \, a, b^,..,f gj telles : i® que chacune d'elles soit permutable au groupe déris^é des précédentes; 2® que la première de ses puissances successives qui sont contenues dans ledit groupe soit de degré premier.

Soit en efTet X une équation résoluble par radicaux. Soient N, y > p? • • •

les ordres respectifs de son groupe G et des groupes H, I,... auxquels il se réduit par l'adjonction successive des racines des équations abéliennes auxiliaires qui servent à résoudre la proposée. Soient Af,..., Ap,... les substitutions de H; g" une substitution de G qui ne fasse pas partie de H; ^^ la première de ses puissances qui soit contenue dans H. Le groupe G,, dérivé

N de la combinaison de g avec H, a évidemment q y substitutions distinctes,

N de la forme ^h^% où a peut varier de o a y — i , et p de i à y • Mais G, est

contenu dans G» dont Tordre est N; donc 9 y divise N; donc, X étant premier» on aura 9 = X et G| = G. Donc G résulte de la combinaison de H avec g, qui lui est permutable, et dont la puissance X, de degré premier, est la première qui fasse partie de H.

On voit de même que H résulte de la combinaison de I avec une substi^ tution /permutable à I, et telle, que la première de ses puissances qui fasse partie de I. ait pour degré le nombre premier jx; etc.

Réciproquement, si G résulte de la combinaison des substitutions i, a, &»...,/, g satisfaisant aux conditions énoncées au théorème, on aura une suite de groupes

N N d'ordres N, y> t-»'" (X, |x,... étant premiers) et tels, que chacun d'eux

soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions : X, jm,... seront donc les facteurs de composition de G; et Téquation correspondante sera résoluble par radicaux. (Théorème III.)

C'est sous cette dernière forme que Galois a signalé la condition nécessaire et suffisante pour la résolubilité par radicaux.

390 LI\'BE QUATRIËÏIE.

525. Théorème V. — Tout groupe A, isomorphe à un groupa résoluble L, est lui-même résoluble.

Car soit i, a, b, c,... l'échelle de substitutions dont L est dérivé : chacune d'elles étant permutable au groupe dérivé des précédeotes, on aura une suite de relations telles que

tr-'ab^cf, c-^ac ^=b'af, c-'bc^b^a'

Les substitutions i, a,p, 7,..., respectivement correspondantes à 1, a, 6, c,... dans le groupe A, satisferont aux relations analogues

|3-'a3 = «", y—ay = p'a.', y-py = |3»a' ,

et, far suite, formeront l'échelle d'un groupe résoluble.

Réciproquement, si le groupe A est résoluble, et isomoiphe à un autre groupe L ; si en outre le groupe F formé par celles des substitutions de L gui correspondent dans A à la substitution i est résoluble, L sera résoluble.

Soient en effet i, a, ^,y,... l'échelle de substitutions dont A est dérivé; i,/,... celles dont F est dérivé; a, b, c,... des substitutions de L, arbitrairement choisies parmi celles qui correspondent respectivement à a, ^, 7,.... Le groupe L sera dérivé des substitutions i, /,.... a, 6, c,. .. et sera résoluble.

En effet, soient s une substitution quelconque de L, a celle qui lui correspond, s' la substitution dérivée de a, b, c,... de la même manière que ff l'est

de OL, ^, 7 On aura s = s'<p, tp étant une substitution de L, qui ait pour

correspondante l'unité, et qui, par suite, est dérivée de i, /,.... Donc s esL dérivée de \, /,..., a, b, c J^

Il reste à prouver que cette échelle caractérise un groupe résoluble. Prdp- 7 vons par exemple que b est permutable au groupe dérivé de 1, /,..., a. 1^ groupe A étant résoluble, on a une relation telle que J5"'a,3 = a". On en déduit b'^ab = a^, f ayant pour correspondante l'unité, el par suite étani dérivée de i, /,.... De même, b~*/b ayant pour correspondante l'unité, est dérivée de i, /,.... Donc i est permutable au groupe (1./,..., a).

526. Théorème VI. — Si J est un/aisceau de substitutions contenu dans le groupe résoluble L. et permutable à toutes ses substitutions, on pourra touj'ourj choisir l'échelle des substitutions t , a, b, c,,.. dont l'adjonction successive re- produit le groupe L, de telle sorte que les substitutions de ,f soienl les premières introduites.

Adjoignons maintenant au groupe partiel {i, c^m, a,b) une nouvelle substitution d. Supposons, pour fixer les idées, que celte adjonction introduise de nouvelles substitutions de la forme ^. Soit d^n Tune (Telles» n étant une substitution dérivée de c^/n, a, b.

On démontrera exactement comme tout à l'heure :

i" Qu'aucune des substitutions introduites avec d, à l'exception de celles qui dérivent de la combinaison de c^m et de d^n^ ne fera partie du faisceau #;

2^ Que toutes les substitutions (i, c^m^ a^ b, c) sont permutables au faisceau dérivé de c^m eid^n;

3^ Que les substitutions i, c^m, d^n, a, b forment l'échelle d'un groupe résoluble identique au groupe {i,a, b,c,d).

Continuant ainsi, on voit qu'on pourra modifier l'échelle génératrice du groupe L de manière à faire passer en avant toutes les substitutions de ^ à mesure qu'elles seront introduites. Le théorème est donc démontré.

527. Théorème VII. — Soient L, L,,... des groupes résolubles f et tels ^ que les substitutions de chacun d'eux soient permutables aux groupes suivants : le groupe (L, L <,...), dérivé de leur combinaison^ sera résoluble.

Il suffit évidemment d'établir le théorème pour le cas de deux groupes, L, L|. Soient i, tz, .6,... et i, a^ &i,,.. les échelles de substitutions génératrices des deux groupes L, L^. Les substitutions de L étant évidemment permutables au groupe L, et l'étant au groupe L,, par hypothèse, seront permutables au faisceau ^ formé par les substitutions communes k ces deux groupes. On pourra donc supposer l'échelle t, a, &,... construite de telle sorte que les substitutions de ^ soient les premières introduites. Supposons, pour fixer les idées, que ef soit dérivé des substitutions i, a. Les substitutions I, fl,, t,,..., 6,... forment une échelle dont (L, L,) est dérivé, et qui satisfait évidemment aux conditions du Théorème IV.

528. Théorème VIII. — Soient L un groupe résoluble; S^un groupe contenu dans L et permutable à toutes ses substitutions [ce peut être L lui-même); ^ un faisceau contenu dans le groupe 4^ et ne renfermant qu une partie de ses substitutions j et qui, de plus, soit permutable à toutes les substitutions de L : on pourra déterminer un faisceau Ç jouissant des propriétés suivantes : i® il contient toutes les substitutions de ^, jointes à d'autres substitutions; 3® il est contenu dans i^; 3° il est permutable à toutes les substitutions cfe L; 4" deux quelconques de ses substitutions g et g' satisfont à une relation de la forme g g' — g'gf f désignant une substitution du faisceau ^.

39i LH^RE QUATRIÈME.

r,..., r^^-*^ contient toutes les substitutions ^, jointes a d'autres substitutions : cela est évident, puisqu'il contient toutes les substitutions de F.

a** Il est contenu dans le groupe 4^, car les substitutions T sont comprises dans ce groupe, et leurs transformées T', F',... par les substitutions e, ^^,..., permutables à 4^ , y seront également comprises,

3° Il est permutable aux substitutions de I. En effet T est permutable aux substitutions de H; F, transformé de T par e, le sera à celles du groupe transformé de H par e : mais ce groupe transformé est identique au groupe H : donc F et de même F',... seront permutables aux substitutions de H. D'ailleurs e transforme T en T\ V en T",.,., Le faisceau T, est donc permutable à toutes les substitutions de I.

4^ Enfin les substitutions de Ti sont échangeables entre elles, aux ^prës.

En effet, soient, eu premier lieu, deux substitutions 7', J', appartenant îi un même faisceau partiel, F par exemple. Posons

9 étant une substitution inconnue a déterminer : cette équation, transformée par e*^*, donnera

Les deux substitutions e*""t*y'e^"*, e^^^â^e^"* font partie du faisceau P : elles sont donc échangeables entre elles, aux ^ près; e*''^(pe^^* fera\lonc partie du faisceau ^. Sa transformée <p par ^•~^, qui est permutable à ^, fera également partie de ce faisceau.

Soient maintenant deux substitutions 7, 7' appartenant à des faisceaux partiels différents T et F. La substitution 7' faisant partie du groupe H sera permutable au faisceau F. On a donc

d^ étant une substitution de F. On en déduit

y'dy " ' = yy'y' = ( y"» )-• / y-' .

Or la substitution 7"' fait partie du groupe H, dont les substitutions sont permutables au faisceau F'. La transformée de 7' par y"*, 7'(^y~^ fera doncpartie de ce faisceau, et, comme 7' en fait partie de son côté, c^y""* en fera partie également. D'ailleurs c? et 7 font partie du faisceau F. La substitution (^y"• sera donc commune aux deux faisceaux F et F'.

Supposons en effet que L soit résoluble. Posons, dans le théorème précédent, ^= L, et prenons pour le faisceau S \sk substitution unique i. Nous en conclurons Texistence d'un faisceau plus général F, également permutable aux substitutions de L, et dont les substitutions sont échangeables entre elles* Prenons ensuite ^ = F, nous conclurons de même Texistence d'un faisceau plus général G, contenu dans L et permutable à ses substitutions, et dont les substitutions soient échangeables entre elles, aux F près; etc.

Réciproquement, supposons que le groupe L remplisse les conditions indiquées au théorème. Soient a une substitution d'ordre premier, choisie arbitrairement dans F; b une substitution de F, autre que les puissances de a, et telle, que la première de ses puissances qui se réduise a une puissance de a soit de degré premier; c une substitution de F, non contenue dans le groupe (a, 6), et telle, que la première de ses puissances qui fasse partie de ce groupe soit de degré premier, etc. Soient de même a^ une substitution de G, non contenue dans F, et telle, que la première de ses puissances qui fasse partie de ce groupe soit de degré premier; etc. Il est clair que l'échelle des substitutions i, a, 6, c,..., a^... satisfait aux conditions du Théorème IV. Donc L, qui en dérive, est résoluble.

532. Supposons que nous ayons formé, pour un degré donné, le tableau de tous les groupes résolubles et transitifs les plus généraux. Chacun d'eux caractérisera un type distinct d'équations irréductibles résolubles par radicaux. Les groupes résolubles et transitifs, non* généraux, caractériseront des types d'équations plus spéciaux, et contenus dans les précédents comme cas particuliers. Soient en effet L un groupe résoluble, transitif et général; A un groupe résoluble et transitif contenu dans L. Si une équaiion a pour groupe A, toute fonction de ses racines invariable par les substitutions de A, et a fortiori toute fonction invariable par les substitutions de L, sera exprimable rationnellement. L'équation proposée satisfera donc à toutes les conditions qui caractérisent les équations dont le groupe est L. Pour que son groupe se réduise à A, elle devra satisfaire en outre à d'autres conditions accessoires, étrangères à la question de résolubilité par radicaux.

En cherchant à déterminer les divers types généraux d'équations solubles par radicaux, nous sommes dohc conduits au problème suivant :

Problème A. — Construire explicitement pour chaque degré donné les di^ vers groupes résolubles ^ transitifs et généraux.