RÉDUCTION DU PROBLÈME A
§ I. — Groupes primitifs.
533. Soit L un groupe résoluble et primitif. Nous avons vu qu'on peut y déterminer un faisceau F formé de substitutions échangeables entre elles, et permutable aux substitutions de L (531). Si cette détermination peut se faire de plusieurs manières, nous choisirons une de celles pour lesquelles Tordre de F est minimum.
F contient des substitutions d'ordre premier (30). Soient A Tune d'elles; p son ordre; A, B,... ses transformées par les substitutions de L. Le ji^roupe (A, B,...), contenu dans F, a ses substitutions échangeables entre elles; il est évidemment permutable aux substitutions de L. Il se confond donc avec F; sans quoi l'ordre de F ne serait pas le minimum supposé.
L étant primitif, F sera transitif (53). En outre, ses substitutions sont toutes d'ordre /? (la substitution i exceptée). Car soit A'^B^,... l'une d'elles :
on aura
L'ordre de F est donc une puissance de/?, telle que/?" (40).
Enfin chacune de ses substitutions, l'unité exceptée, déplace toutes les racines : car si Tune d'elles, S, laisse immobile la racine a, soient b une autre racine quelconque, T une substitution de F qui remplace a par b; la substitution T'"*ST= S laissera b immobile. Donc S, laissant immobile une quelconque des racines, se réduit à l'unité.
Le degré de l'équation sera/?". Car F, étant transitif, contiendra au moins une substitution qui permette de remplacer une racine a par une autre racine quelconque, b : mais il n'en contient qu'une; car s'il en contenait deux T et U, il contiendrait TU~', qui laisse a immobile, sans se réduire a l'unité, ce qui n'est pas possible. Le nombre des racines est donc précisément égal au nombre/?" des substitutions de F.
Cela posé, les substitutions de F pourront (407-408) se mettre sous la
et par suite les substitutions de L sous la forme
(roii l'on voit qu'en réunissant ensemble toutes les racines pour lesquelles l'indice a, est le même, on aurait, contrairement a notre supposition, une répartition en systèmes dont le nombre serait inférieur à q.
a° Le groupe A étant primitif, il résulte du § 1 : i** que q est une puissance ;>" d'un nombre premier />; 2° qu'on peut remplacer l'indice unique u par n indices a?, j,..., variant cbacun de o à /> — 1 , et choisis de telle sorte que les substitutions de A soient toutes de la forme linéaire
\ X, y\. . . a^ -f- 6/ H- ...-+■ a, a'x -4- 6'/ -h . . . -+- p, . . . | ; en outre, ce groupe A contiendra toutes les substitutions du faisceau
Supposons, pour fixer les idées, que n se réduise à 2. Les substitutions de L prendront la forme
\x, Xs ^ ax-\-bx-\-ex, a'x-h b'y 4- p, 9(^, /, t') |, . .<4\ S
3® Considérons en particulier parmi ces substitutions celles de là forme
\ Xf Xf V ^-4-a, 7-+-(3, 9(x, j, v) |.
Elles forment évidemment un groupe E auquel toutes les autres sont permutables. On pourra donc les faire passer en avant lorsque l'on construira l'échelle génératrice de L (526).
4^ Considérons plus spécialement encore les substitutions, s'il en existe, qui ne déplacent pas les systèmes : elles sont de la forme
et sont comprises parmi les E. Elles forment évidemment un groupe F auquel toutes les autres sont permutables. On pourra doue les faire passer en avant de toutes les autres.
535. Proposition I. — S'il existe des substitutions Y qui ne déplacent pas les systèmes^ soit f Vune d' elles ^ qui s obtienne en exécutant simultanément certains déplacements /q, /i i • • • dans r intérieur des divers systèmes S©, S| , . . .
lears de ^ à Texception de p -- if auquel cas elle sera égale à une fonclion de jet ç, telle que ^{y^ v).
Cela posé, A est le produit de d^eux autres substitutions
dont la première A, fait partie du groupe F. En effel,
A''= \ X, X, V X, jr, ^]f(x, (/) I
fait partie de F : les déplacements qu'elle fait subir aux racines des systèmes dont le premier indice œ est/i— i, considérées isolément, feront partie de F (Proposition I); or A, représente précisément l'ensemble de ces déplacements.
Les* subslitutiojis du groupe à cette période de l'opération s'obtiendront donc en combinant F avec x.
