Introduisons la substitution suivante
B=\ X, X, V T, j-hi, (jp,(.r, j, V) \.
Nous avons laissé arbitraire la valeur h assigner à l'indice (^ pour chacune des racines des systèmes pour lesquels le premier indice œ est nul : laissons encore ce choix arbitraire dans le système pour lequel x = o^y = o; mais donnons à chaque racine du système caractérisé par les indices 0,1, le même indice (^ qu'à celle du système o, o, à laquelle B la fait succéder : donnons de même à chaque racine du système caractérisé par les indices o, a, le même indice (^ qu'à celle du système o, i, à laquelle B la fait succéder, etc. La fonction Çi(jf, j, ç) se trouvera réduite à {^ lorsque x = 0 pour toutes les valeurs de/, excepté pour y =^ — i, auquel cas elle se réduira à une fonction de i^y telle que ^t {{^).
Cela posé, B sera le produit : i'' d'une substitution B| qui laisse toutes les racines immobiles, à l'exception de celles (o, p — if ^), dont les deux premiers indices sont o et /> ~-i, qu'elle remplacera respectivement par (o, p " i, vp, [^])\ 2" d'une substitution
la fonction <f\ se réduisant à (^ pour o: = o, quels que soient >^ et \>.
On voit aisément que B| n'est autre chose que l'ensemble des déplacements que la substitution W, qui fait partie du groupe F, fait éprouver aux
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la fonction 9' se réduisant à ç pour a: = oela?=/> — i, quels que soient j',
Cela posé, la substitution B\ fait partie du groupe F. En effet, a> étant permutable à F, la transformée
de/"* par A, fera elle-mén>e partie du groupe F. Les déplacements qu'elle fait subir aux racines des systèmes dont le premier indice esl/i — i, considérées isolément, font partie de F (Proposition 1). Mais l'ensemble de ces déplacements est précisément B'^ .
On obtiendra donc le même résultat en adjoignant au groupe (F, a) la substitution B', ou la substitution simplifiée B''.
On voit exactement de même que Ton peut poser B"= B^B^, B" étant une substitution de la forme
dans laquelle la fonction 9*^ se réduit à i^ toutes les fois que a? = o ou = /> — i ou =/> — 2; et B^i étant une substitution de F.
On obtiendra encore le même résultat en adjoignant au groupe (F, x) la substitution B'' ou la substitution simplifiée B"*.
En poursuivant ainsi, on arrivera à une dernière substitution iib, où la fonction 9 se réduit à (> pour toutes les valeurs de x. Le groupe dérivé de la combinaison de F, x^ Db sera encore le même que celui dérivé de la combinaison de F, A», B.
Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant :
Proposition II. ~ Les substitutions de E résultent delà combinaison de F a\'ec les substitutions de la forme
A»*\Ji)^= \ X, y, V a; -h a, /-+- (3, v j.
