Soit maintenant

H = I .r, y, V ax -[- by -h 3, a'x -+- h'y h- ô', ^[x, y, v) |

Tune quelconque des substitutions du groupe L; elle doit être permutable à E. On aura donc, entre autres relations, la suivante :

H-'XH:=r une subslilution de E, telle que /•^•'\ll>^

40r» LIVRE QUATRIÈME.

considérés isolément, en feront partie (Proposition 1) : or ce système de déplacements est précisément G.

On démontrera de même que la substitution H' est le produit de deux autres, dont Tune, G', fait partie de F, tandis que Tautre, H'"^, est égale à

la (onction ^'' satisfaisant a la condition

Y(0L, o, o, v)=^^''{i, 0,0, v)=ii\t''{o,o, o, i');

et, continuant ainsi, on arrivera enfin à décomposer H en une série de substitutions G, G',...,H|, faisant toutes partie de F, à l'exception de la dernière,

Ui = \ X, jr, V ax -h bjr -h S, .a'x -h 6'j -+- i\ 4'«(j'*» ^) I»

OÙ la fonction ^1 reste la même pour toutes les valeurs de x.

On décomposera de même H, en substitutions G|, G'^,...,!!,» faisant toutes partie de F, excepté la dernière, qui sera de la forme

H, = I X, Xf V ax -i- bjr-i-S^ a'x -h by -h i\ ^7 (v) |.

Cette dernière substitution se décompose elle-même en deux autres, échangeables entre elles

J z= \ X, jr* ^ ax -h bjr -^ S, dx -h Vy -f- 3, v |.

Nous obtenons donc le résultat suivant :

Proposition III. — Les substitutions du groufye L s'obtiennent toutes par la combinaison des substitutions de F as^ec des substitutions telles que IJ, TJ',... : J, J', . . . étant des substitutions qui permutent les systèmes entre eux^ en remplaçant les unes par les autres les racines affectées du même indice f ; I, F,*.. étant au contraire des substitutions qui laissent les systèmes immobiles^ en permutant entre elles y simultanément et de la même manière, les racines correspondantes de chacun d'eux.

539. i'' Soient U et Vï deux substitutions de la forme ci-dessus contenues dans le groupe L, IJ.r J' leur produit. Les déplacements d'ensemble que cette dernière substitution fait subir aux systèmes seront évidemment représentés par JJ', et les déplacements des racines dans l'intérieur des systèmes le seront par IT; d'aîHeurs le groupe dérivé de 1], 17',... étant <;ontenu dansL.

racines correspondantes; elles forment entre ces systèmes, considérés chacun comme un tout d'une seule pièce, un groupe résoluble et primilif f534).

Le groupe F est dérivé de substitutions qui ne déplacent chacune que les racines d'un seul système. Soient respectivement Te, Fi,... les groupes formés en réunissant celles de ces substitutions qui déplacent les racines du premier système, du second, etc.; F résultera de la combinaison de ces groupes partiels, qui seront tous résolubles (521).

Les groupes Fo, F^,... sont les transformés d'un seul d'entre eux, tel que Fo, par les substitutions ^xJ^^siy^. En effet, ces substitutions peranutent transitivement les systèmes. Soit S celle de ces substitutions qui fait sucv céder le premier système au second, par exemple. Il est clair que la trans^ formée par S d'une substitution quelconque de F^ appartiendra àF|, et que, réciproquement, toute substitution dont la transformée appartient à T^ appartient elle-même à F^ : donc S transforme F^ en F,. Le groupe L est donc dérivé des seules substitutions A et F^.

541 . Soient réciproquement A et Fo deux groupes résolubles quelconques formés comme çi-dessus : le groupe résultant de leur combinaison sera résoluble.

En effet, les premières substitutions de A, telles que x^ia>^ transformeront respectivement Fo en une suite de groupes analogues, Fo, F|,... déplaçant respectivement les racines de chacun des systèmes. Ces groupes déplaçant des lettres différentes, leurs substitutions seront mutuellement échangeables : ils formeront donc, par leur réunion, un group3 résoluble, F, auquel les substitutions AfyS^^ seront évidemment permutables. Les autres substitutions de A le seront également (539). Le groupe L, dérivé de F et de A, ou, ce qui revient au même, de Fo et de A, sera donc résoluble.

Pour que L soit aussi général que possible, il faudra évidemment que les deux groupes A et Fo aient été, chacun de son côté, choisis aussi généraux que possible. Enfin, le groupe F^ doit être transitif. Car si ses substitutions ne permettaient de faire succéder à une racine donnée qu'une partie des racines du pyemier système, ces substitutions combinées à celles de A ne permettraient de lui faire succéder que ces mêmes racines et les racines correspondantes des autres systèmes. Le groupe L ne serait donc pas transitif.

Remarque. — Si A et F© contiennent respectivement 12 et .0 substitutions, F en contiendra évidemment 0^, et L en contiendra ÛO^, toutes de la forme ^yo 7i . • • » où c?, 7o, 7i » . . . , sont respectivement des substitutions arbitrairement choisies dans les groupes A, Fq, F,,....

542. En récapitulant ce qui précède, on obtient le théorënie suivant :

Tméorèmk 1. — Soient L un groupe résoluble transitif et général, mais non primitif , de degré M; q le nombre des systèmes {dans celle des répartitions, s* il en existe plusieurs, pour laquelle ce nombre est minimum); r le nombre des racines de chaque système. Le groupe L résultera de la combinaison de deux groupes partiels :

i^ Un groupe A dont les substitutions déplacent les systèmes d'unynouvcment d'ensemble, sans altérer V ordre des racines dans chacun d'eux; les déplacements des q systèmes formant un groupe résoluble^ primitif et général;

•i** Un groupe To laissant toutes les racines immobiles^ sauf celles d'un seul système^ le premier par exemple, qu'il permute entre elles, et à V égard desquelles il est résoluble, transitif et général.

L'ordre de L sera 120^; Ql etO étant les ordres de A et de To-

le nombre des racines de chacun d'eux, le groupe Vq peut à son tour se décomposer en deux autres Ao et Too. dont le premier permutera les q^ systèmes entre eux d'une manière primitive; l'autre permutera entre elles les r^ racines d^un même système : si ce dernier n'est pas primitif, on pourra poursuivre la réduction, etc.

On obtient ainsi le théorème suivant :

TiiÉOBEME M. — La détermination des groupes résolubles, généraux et transitifs, mais non primitifs, de degré M, relatifs à une décomposition quelconque du nombre M en facteurs successifs q, qof qoo*'*-f ^^ ramène à celle des groupes primitifs A, A^, Aoo»..- de degrés q^ q^, ^oo»*»*-

Remarque L — Pour que cette détermination soit possible, il faut que chacun des facteurs 9, ^o*-- soit une puissance dénombre premier (533).

Remarque IL — Soient respectivement ii, Ûq, floo»-«- les ordres dcîs groupes A, Aq, Aqo»..; celui du groupe non primitif formé au moyen de ceux-là sera évidemment ûiî^QJ,''"...,

no LIVRE QUATRIÈME.