RÉDUCTION DU PROBLÈME

§ 1. — Groupes décomposablks.

544. Soit n^lm : un groupe contenu dans le groupe linéaire de degré p"* sera dit décomposable^ si Ton peut déterminer X systèmes de m fonctions linéaires des indices» réelles et distinctes, et telles» que chaque substitution du groupe remplace les fonctions de chacun de ces systèmes par des fonctions linéaires de celles d'un même système.

545. Soit L un groupe résoluble» primaire et général de degré /i". Supposons-le décomposable : s'il existe plusieurs manières d'y déterminer des systèmes de fonctions jouissant de la propriété ci-dessus» nous choisirons, pour y appliquer nos raisonnements» une de celles où le nombre X des systèmes est minimum (en restant > i).

Soient â?^» /o»-*-;-*-* â:^» jr»****«**- les X/n fonctions considérées. Nous les prendrons pour indices indépendants» et» pour éviter toute confusion» nous appellerons l'indice r» qui varie de o à X — i» suivant le système auquel appartient la fonction considérée» V indicateur de ce système.

Chaque substitution du groupe L» telle que

est le produit de deux autres :

i> nr I . . . , Xrt y'tf • • • • • • > «^f». Xp* • • • |>

* ^^^ I • • • 9 Xrf y*rt • • • • • > ^rXf -k- Or^r ~^~ • • • > ^ ^ «^r "^ f^f. Jr ■+-•••»••• |y

dont la première remplace les indices de chaque système par les indices correspondants d'un autre système» et dont la seconde remplace les indices de chaque système par des fonctions linéaires de ces mêmes indices.

546. Soient NPi NT'»... les substitutions de L: les déplacements d'en-

àiemble opérés sur les systèmes par les substitutions N, N',... forment un groupe A, évidemment isomorphe à L, et» par suite, résoluble.

A sera transitif: car, s'il ne Tétait pas, on pourrait grouper les systèmes en classes, en réunissant ensemble ceux que les substitutions de A permutent entre eux : cela posé, il est clair que les substitutions de L remplaceraient les indices appartenant aux Systèmes d'une même classe par des fonctions linéaires de ces mêmes indices; donc L ne serait pas primaire (t 42).

A sera primitif : car, s'il ne l'était pas, on pourrait grouper les systèmes en systèmes plus généraux, ou hypersy sternes , tels, que chaque substitution de A \*^ remplaçât les indices de chaque hypersystème par les indices d'un mémlÈf. fcypersystème. Les substitutions P, P',..., de leur côté, remplacent les initires de chaque système par des fonctions linéaires d'indices appartenant à ce même système, et, a fortiori ^ au même hypersystème. Les substitutions NP, NT',... remplaceraient donc les indices de chaque hypersystème par des fonctions de ceux d'un même hypersystème. Le nombre des hypersystèmes étant inférieur à X, X ne serait plus le minimum supposé (545).

A étant primitif, le nombre X des systèmes sera une puissance exacte d'un nombre premier n (533). Soit, par exemple, X = 7r*. Si l'on remplace Tindicateur unique r par deux indicateurs Ç, vj variant chacun de o à tt — i, ^ résultera (533) de la combinaison :

1® D'un faisceau E dont les substitutions remplacent le système (Syj) par le système (| + ûc, i? + ^), a, |3 étant des entiers constants qui changent d'une substitution à l'autre, et prennent chacun toute la suite des valeurs ^D,...,jr — I (mod. ir);

2^ D*un groupe H dont les substitutions, permutables à E, remplacent «n général le système (|tq) par le système (aÇ -f- 6>3, a'Ç -h t'ij); a, b, a\ V «tant des entiers constants pour une même substitution.

Si l'on considère dans le groupe L les substitutions dans lesquelles les déplacements des systèmes sont représentés par une des substitutions de E, on voit qu'elles forment un faisceau C, auquel toutes les antres sont permutables. Car, soient M s=NP l'une d'elles, M| = N|P| une autre substitution de L : la substitution MT'^MMi opérera sur les systèmes le déplacement !Nr*NN|. Mais N fait partie du faisceau E, auquel Nf est permutable : donc Wf'NN, appartient à E, et M,"* MM, à C On pourra donc, en formant l'échelle génératrice du groupe L, faire passer les substitutions de C en -avant des autres (526).

Considérons plus spécialement encore les substitutions, s'il en existe,

ili . IJVRE QUATRIÈME.

qui ne déplacent pas les systèmes : elles forment un faisceau .f, contenu dans c, et évidemment permutable à ses substitutions. On pourra les faire passer en avant de toutes les autres.

547. Une substitution quelconque/, prise dans le faisceau ^, est évidemment le produit de substitutions partielles />, /,,..., n'altérant respectivement que les indices du premier système, ceux du second, etc.

Proposition I. — - Soient /^ ft .... /^ /[ ... les diverses substitutions de^\ ^ contiendra chacune des substitutions partielles f^^ */o f-'t/t^/l >'•"

Les groupes {/of fo ^*'*)f (/i» /i »• ••)»••» évidemment isomorphes au faisceau ^, sont résolubles (525). De plus, leurs substitutions, altérant des indices différents, sont échangeables. Le groupe ^' dérivé de leur combinaison est donc résoluble. Il est d'ailleurs permutable à toutes les substitutions de L. Soient en effet / une de ces substitutions; /=/^/|... une substitution quelconque de ^. La transformée

.appartenant à ^, les substitutions partielles correspondantes appartiendront h i' . Mais ces substitutions partielles seront respectivement l'^f^l^ l~^f\ A---* I^Q effet, la substitution /q, par exemple, laissant tous les indices inaltérés, sauf ceux du premier système, /"*/«/ laissera tous les indices inaltérés, sauf ceux du système auquel /fait succéder le premier. De même pour les autres substitutions /"*/,/,.... Donc la transformée par / d'une substitution quelconque de ^', telle que/^, appartient à i\ ce qu'il fallait démontrer.

Le groupe dérivé de la combinaison de i' avec les substitutions de L sera résoluble, d'après ce qui précède. Il serait d'ailleurs, contre Thypothëse, plus général que L, si toutes les substitutions de i' n'étaient pas contenues dans L, et par suite dans i.

548. Adjoignons successivement au faisceau ê les autres substitutions du groupe, en commençant par celles de C. La première, À, remplacera les indices du système (Çvj) par des fonctions des indices du système (Ç-4- !♦>;). 11 existe d'ailleurs dans le choix des indices un certain arbitraire dont on peut profiter pour simplifier l'expression de cette substitution; car il est clair qu'on peut prendre pour indices indépendants, à la place des indices de chaque système, des fonctions linéaires quelconques de ces indices, sans

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. il 3

altérer la propriété fondamentale du groupe L, qui consiste en ce que ses substitutions font succéder aux indices de chaque système des fonctions des indices d'un même système.

Laissons le choix des indices arbitraire dans les systèmes (oiq), dont le premier indicateur est zéro. A remplace les indices a?0Tj, Joti»--- du système (o>3) par des fonctions des indices du système (ivj). Prenons ces fonctions pour indices indépendants, et désignons-les par a^iv,, y^'t^K^ • • • A remplacera de même ces derniers indices par des fonctions des indices, du système (2iq), fonctions qu'on peut supposer être respectivement les in- . dîcesiCar,» j2Yi»---« On continuera ainsi jusqu'au système (71 — 1,19), dont A remplacera les indices par des fonctions linéaires X^, Y^,... des indices du s^ystème {oYi).

Cela posé, A sera le produit des deux substitutions

A| :^= j Xot,» X^^i* ' ' *' '^'ifi* .VçT.j • - • A,j, Mut» . ., «^Çii» y\n* ' • • I» *^ — — I • • • » ^;tjf yifi* 9 -^;+i,ij> ^'4-4-1, n» • • • J»

dont la première fait partie de ^. En effet, la substitution A^» laissant les systèmes immobiles, fait partie de ^. Les altérations qu'elle fait subir aux î ndices des systèmes (oyj), considérées isolément, font partie de ^ (Proposition I). Mais on voit immédiatement que A| est formé par l'ensemble de c^es altérations : donc A, fait partie de ^.

Le groupe dérivé de cf et de A peut donc être également considéré comme clérivé de ^ et de ,1..

549. Introduisons une nouvelle substitution B, qui remplace les indices x^, Jçyi»-«« du système (?y?) par des fonctions de ceux du système (Ç, >î -h i). Les coefficients de ces fonctions peuvent dépendre de S, vj; re- |)résentons-les donc généralement par

Le choix des indices est encore arbitraire dans tous ceux des svstèmes ^ont le premier indicateur est nul. Laissons subsister cette indétermination <]ans le système où les deux indicateurs sont nuls. B remplace les indices t\e ce système par des fonctions des indices du système (01); on peut admettre que ces fonctions aient été prises pour indices indépendants et désignées paro^oM yon-'" B remplacera de même ces derniers indices par des fonctions des indices du système (02), fonctions qu'on peut supposer être

414 UVR£ QUATRIÈME.

respectivement â?o a» yo2f«* On continuera ainsi jusqu'au système (o, n — i). dont les indices seront remplacés par les fonctions Xo,n.,(â?oQ, j^o^,...)«

Cela posé» B sera le produit des deux substitutions :

^H» X**9 • • • A»,e— I ( Xt9f Xo9t • • • )» * ».«— I ( X—t y**f . . . }j . . .

^Vii y\h* ' ' • ^5»i> Xlr,t • • •

^•t,» ^«Ht • • • ^•,»,'4-l> ^•,ij+l»

^k^* )^»*" ^;i l-^S-ij+o J^.T,+i» • • • )» * ;ij (•*';.<:+«> J^5.m-«» •••)>•• • ■

dont la première» qui n'altère que les indices du système (oo)» tait partie de ^. En effet» la substitution B% laissant les systèmes immobiles» fait partie de ^. La substitution partielle B|» formée par les altérations que B^ fait subir aux indicesdu système (oo)» en fera également partie (Proposition I).

Le groupe dérivé de S, ^\,, B peut donc également être considéré comme dérivé de ^, x^ B\

Cela posé» la substitution B'~^V'*B'«K. remplace évidemment les indices du système (§iq) par des fonctions de ces mêmes indices : elle appartient donc au faisceau ^. Désignons-la par/: on aura

égalité qui permet de déterminer les fonctions X» Y,.... Soit en effet

j ^^\ • • • » ^k^9 y'i'^t f 95'i\ •^sv Xir,* • • • )» Yîit "^s»!» y^^* • • • )» • • • !•

Égalant les expressions que BM. et «^.iPo'/font succéder à j?çr.f ^tr,»-"f et écrivant, pour abréger» x, j,... à la place de J7?+i,r.-i.i. 7ç+j,r.+M.«.t il viendra

Y5+,.,^a:, J,. . .) = +5r.[Xr,(a:, /, . . . ), Yir,{x, y, ...)," • • •]»

D'ailleurs Xoy,(x,j,...), Y^,^,(a7, v,. ..),... se réduisent à a?,j»..., d'après ce qui précède. On aura donc

^iT, — 9<"'.» * "; — T*^.» * • •

Cela posé, on aura évidemment B'==B''ff|, B'' étant une substitution identique à W, sauf le remplacement des fonctions Xt^{x^^^+^, yt^y^^t,...),

Y,^(a?,,^,, J'i.Yi-i-i»-. .)•••• P^** ^«.Ti+o ri,^-i-i--t ®t B', désignant la substitution qui remplace oTiy,, 7,^,. .. par X,t,(a?,^,ji^,...)fY|„(a7,„,j',ï,,...)f-. sans altérer les autres indices. Or B'^ fait partie de ^; car ce faisceau, contenant/, contiendra (Proposition I) les substitutions partielles/o9,...,/9y,,... qui altèrent respectivement les indices des systèmes (oy?) de la même manière que/, sans altérer les autres indices. Il contiendra donc la substitution

• • • , ^tiit ^«tj» > 9*^\^®i' x*^* • • • /> T*^\ ^•^» y^^ •••)>••/

. . . , JTi^, ^'m» , ^iijf ^iT,» • • •

f ^luf Xl^* • •

produit de ces substitutions partielles. H contiendra enfin sa transformée par Ar\ laquelle est identique à B\, en vertu des relations (i).

On peut décomposer de même B'' en un produit de deux substitutions, dont Tune, B% appartiendra à ^, l'autre, B*", élant^identique à B'', sauf le

changement de X2^(a7j,^i, ja.r.^-if...)» Y2r,(a?a.^+o ^u.ti+o---)»-- ^^ ^a.ri+M Xa.vhHi»-*-* Poursuivant ainsi, on arrivera enfin à décomposer B en un produit * de substitutions dont la dernière sera

les autres faisant toutes partie de F. Le groupe £, dérivé de ^, x, B, pourra donc être également considéré comme dériva de ^, »i>, ift> : d'où la proposition suivante :

Propositioic II. — Le faisceau C résulte de la combinaison du faisceau $ avec les substitutions

Ay'^'^^J =1 .'. . , tçt,, y\y^, , Xl^,y^^^t ^Vi-«,t.-<-?, . • • |.