Soit maintenant
une quelconque des substitutions de L. Elle doit être permutable à c. On
aura donc en particulier une relation de la forme
/étant une substitution de ^; et en remarquant que .v, \fti, H sont permutables à ^, il viendra
J =1 . . . , Xlj^, y\y^y , (]fly\Xlr^y y\i^y ' ' ')i V;t,( «Ï";?,» J'qt,» ...),.•• |
étant encore une substitution de S.
Égalant les fonctions que H^^et A^ui^H/' font succéder à x^r,^ jç^,»----. il viendra
/(? + ,,/,)=/($, rî)+«, /'(H4 i,y;) = /'($,y;)-f-p,
puis, en écrivant, pour abréger, a;, y,... à la place de ^/((-Hi.r.)./'(l-»-i,r.,»---
Il résulte de ces relations que H est le produit de deux substitutions : Tune, IMf altérant tous les indices de la même manière que H, sauf ceux jt,,., j,^,... dont le premier indicateur est égal à i, qu'elle remplacera respectivement par
l'autre, H,, laissant tous les indices invariables, sauf ces mêmes indices x^^,^ y,^,,..., qu'elle remplace par 9on(^«r.. rin»..). ^or^^ir,. Jirj»..-.
Cette dernière substitution est contenue dans ef. Car jce faisceau, contenant /', contiendra les substitutions partielles /^q,..., /o,-- formées par les allérations que/' fait subir aux systèmes (oo),..., (oyj),^. (Proposition I). La substitution H,, transformée du produit de ces substitutions partielles par la substitution ^v-^*, permutable à J*, appartiendra également à ce faisceau.
On trouvera de même H'= H" H', ; H" ne différant de H' que par le changement de X2y.,Y2r.f. enXor.» Yor,..«-. et H', étant une substitution de J. Continuant ainsi, on arrivera a décomposer H en un produit de substitutions appartenant toutes à ^, sauf la première H^'^"*^ qui ne différera de H que par le changement de X^^,, Y^r.»..- en Xor,. Yor,»----
D'ailleurs, H^^-*^ faisant partie du groupe L, sera permutable à c et a .?.
DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX- il"
On aura donc une relation de la forme
/" étant une substitution de ^, Parlant de cette relation, et opérant comme précédemment, on décomposera H^^-'> en un produit de substitutions appartenant toutes à J, sauf la première, 5» qui différera de H^^~*^ par le chan- (irement de Xori, Yori,... eq X^,^,, Y^o... » et qui, par suile, sera égale au produit des deux substitutions
j =r I . . ., xir,f ^n^ > ^f{U),fa,r,)9 //($,i)./'(U)> • • • I-
Nous obtenons donc le résultat suivant :
Proposition III. — Les substitutions du groupe L s'obtiennent toutes par la combinaison des substitutions de § avec des substitutions telles que IJ, F J', . . . ; J , J', . . . étant des substitutions qui remplacent les indices de chaque système par les indices correspondants d'un même système; et I, T,... des substitutions qui remplacent les indices de chaque système par des fonctions linéaires de ces mêmes indices^ fonctions dont les coefficients sont les mêmes pour tous les systèmes.
551. Le groupe (IJ, TJ',...) étant contenu dans L, sera résoluble (521). Les groupes dérivés respectivement des substitutions partielles I, F,..., et J, J',...» étant évidemment isomorphes à celui-là, seront résolubles. D'ailleurs leurs substitutions sont échangeables. Donc le groupe A résultant de leur combinaison est résoluble (527). Enfin ses substitutions sont permutables à ^. En effet, IJ, FJ',..., appartenant à L, sont permutables à éF; pour prouver que I, r,.,., J, J',... le sont, il suffira donc de prouver que J, J',..., ou, ce qui revient au même, J~*, J'"*,... le sont.
Or chaque substitution de ^ résulte de la combinaison de substitutions partielles /,of ...» y^v»«- •» altérant respectivement les indices des systèmes (oo),..., (/xv ),..., et qui, considérées isolément « font partie de rf (Proposition I). Si la transformée de chacune d'elles par J"* en fait également partie, J"* sera permutable à ce groupe. Mais la transformée dey^v» par exemple, par J~* laisse tous les indices invariables, sauf ceux du système (/[fx, vj,/'[|x, v]), qu'elle altère de la même manière que/p,v altérait les indices du système (/xv). Elle est donc identique à la transformée de/^^v par Ao^-f^^*-*^ i)i>^-/'(i*'^), laquelle appartient à g.
Les substitutions du groupe résoluble A étant permutables k ^, le groupe
iiO UYRE QUATRIÈME.
Il reste à construire les groupes résolubles, primaires et indécomposables, tels que T. Cette question fera l'objet de la section suivante.
§ II. •— Groupes indécomposables.
Construction du premier faisceau .
^\^'': 555. Soient r l'un des groupes cherchés, de degré p"^: F son premier tbisceau, choisi aussi général que possible. Le groupe F étant primaire, F ne contiendra que des substitutions d'ordre premier à p(188). Prenons pouf indices indépendants ceux qui ramènent toutes ses substitutions à la forftiè canonique (176); puis groupons dans une même série ceux des nouveaux indices qui sont multipliés par un même facteur dans chacune des substitutions de F, et dans un même système les diverses séries conjuguées. Les indices ne formeront qu'un seul système : car, s'il en était autrement, on pourrait remplacer dans chaque système les indices imaginaires par des indices réels (178); et les substitutions de F remplaçant les indices de chaque système par des fonctions linéaires des indices d'un même système (193), ce groupe serait non primaire, si ses substitutions ne permutaient pas transitivement les systèmes; primaire, mais décomposable, si elles les permutaient transitivement.
Cela posé, soient v le nombre des séries, /Ji = — celui des indices de
chaque série; a?^, o?'^ ,... les indices de la r -^ i'^'"*' série; i une racine d*une eongruence irréductible de degré v; a, a, j3,... des entiers complexes formés avec l'imaginaire i. Les substitutions de F seront de la forme
j — I • • • ) ^n ^ /•» • • • • • • > fl <^r» (i" or ,.^ . . m j \ j,
et celles de F, remplaçant les indices d'une même série par des fonctions linéaires des indices d'une même série (192), et les indices conjugués par des fonctions conjuguées (149) seront de la forme
(*) Si l'on avait /?* = a, F ne contiendrait d'autre substitution que l'unité, ce qui est inadmissible. On doit donc exclure cette hypothèse.
12 i LIVRE QUATRIÈME.
toutes les substitutions de G, ce qui ne peut être. Mais si As* B2 sont deux quelconques de ces substitutions, on aura une égalité de la fornne
Choisissons A2, B2,... de telle sorte que m^ soit minimum^ sans être nul; on verra comme tout à Theure que Gi résulte de la combinaison de As* B, avec un groupe G2, dont les substitutions sont échangeables à A,, B^ A^, Bf
On peut continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé la suite des substitutions étrangères à F qui sont contenues dans G; et Ton arrive enfin a ce rc* sultat :
Tu KORÈME. — Le faisceau G résulte de la combinaison de F avec une double suite de substitutions y A,, Bf*, A3, Bsi*..; A^, B^, lelle^que chacune de ces substitutions soit échangeable à toutes les autres y sauf à son associée^ à laquelle elle est liée par une des relations suivantes :
B7* A, B, = T«. A„ B7» Aj B, =:.t-«A„. . . .
560. Les exposants m 1^ y m2,... divisent ii. Car on a, par exemple,
cl Ton pourra disposer de u pour rendre m, u congru a /w' (mod. |x), mf étant le plus grand commun diviseur de m, et de jul. Si m, ne divisait pas jx, m' serait moindre que m,, ce qui est impossible, par hypothèse.
Soit donc /x = m,(J, = 7722 c^a = .... Les substitutions A*;, B*s A*,\ B*,",..., étant échangeables à toutes celles de G, appartiendront a F.
Les nombres c^,, c^a,.-. sont tous égaux à un nombre premier n. Supposons en effet qu'il en soit autrement, et soit tt un nombre premier, qui divise un ou plusieurs des nombres c^<, d'à»-.-- Supposons, pour fixer les idées, qu'il divise seulemeût c?i, et soit, pour abréger, (J, = en, 11 = en = m, tn.
Les substitutions A|, B|y F et leurs dérivées seront échangeables à toutes celles de G, aux puissances près de t*". Eu effet, AJ, par exemple, est échangeable aux substitutions F, A,, A2, B,,..., et B, la transforme en t'^'^A, = T^'A,. Elles sont seules à jouir de cette propriété : car toute substitution de G peut évidemment se mettre sous la forme
S=/A:.BH?'BP«...,
/étant une substitution de F; et les substitutions A,, B«,... la transforme-
ginaire que i : d'où la condition
Op^-'^i (mod. />), qui, comparée k la relation 6^^ i, montre que n divise p^— i.
562. V ordre de chacune des substitutions de G est premier à p. En efTetj si G contenait une substitution S d'ordre pq^ il contiendrait S^» qui est d'ordre/;, et par suite n'appartient pas à F. Soit donc S^ = /A7BÎ* A^...; l'un au moins des exposants, a^ par exemple, serait ^o(mod.;r). Cela posé, B7*S^B, serait d'ordre/?, et6*«S^ d'ordre /?7r; résultat absurde, ces deux substitutions devant être identiques.
563. Supposons maintenant, pour fixer les idées, que a se réduise -à 2. Les deux substitutions Af, A2 étant d'ordre premier a p, et échangeables entre elles, on pourra remplacer les indices x^^ ^o»*-'» ^r» x,.^... par d'autres indices indépendants jo^ ^o*-"> Jr* ^r*-*- choisis de telle sorte que A, et A2 soient ramenés simultanément à leurs formes canoniques. Les nouveaux indices jo» ^o»*-* qui remplacent x^, x\,... seront des fonciions linéaires de j^o* ^o*****^^^^ '^^ coefficients s'exprimeront rationnellen>ent en fonction de 1, et des facteurs a,, 61,..., ^2, ^a»-.., par lesquels A, ci A, multiplient respectivement j^, Zo»***> ces facteurs étant eux-mêmes les racines de congruences dont les coeflficients sont des entiers complexes formés avec I (176), Quant aux indices j^., 2^,..., leurs expressions se déduiront des précédentes en changeant x^^ x\^...^ 1, a,, 6|,..., £12, b^^... en jt^, .<,.,,, i/^, a^, èf,...,af, bl\... (22).
Les substitutions A*, A, appartenant à F, on aura
I^s facteurs a,, 6<,... ne diffèrent donc les uns des autres que par des puissances de 6; de même pour a^, ia» • • • •
564. Théorème. — Soit jx' le nombre des indices y q, v'o»*** ^^ '^ ^^^i^^o* *o»-««» que les substitutions A, et A2 multiplient respectivement par a, et a^. Cette série contiendra ]ul' indices z^^ ^o»***» ^^^ ^^^ mêmes substitutions mulliplient respectivement par «,6^*, a^O^^ S, et I2 étant des entiers quelconques moindres que n.
En effet, la substitution B^B^, transformant respectivement A|, As en 6^' Ao ô^'Aj, remplacera les indices jo» 70»- •• P^** ^^s fonctions linéaires ç.
ç',... (les indices y^j z^,..., telles, que A, et Aj les multiplient respectivement par 0,6^* et ajd^*. Mais A| multipliant chacun des indices jo» -^ot*par un facteur constant, ne pourra multiplier une fonction de ces indices par a^ 6^', que si cette fonction contient seulement les indices que A, multiplie par ce facteur. On peut faire un raisonnement analogue pour As- Les indices Zo, ^o**** V^^ figurent dans les fonctions 9, 9",...» seront donc multipliés par a,d^> et OiO^*, dans les substitutions A, et A3. D'ailleurs les fonctions f, 9',..., en nombre /jl', doivent être distincte^ pour que le déterminant de B^'Ba* ne soit pas congru à zéro. Donc le nombre pi" des indices ^„, Zq^... dont elles dépendent est au moins égal à jul'. rv*^
On verrait de même que /i.'> jx''; donc ]ul' = ]ul". '^iTt^
Les indices jo» Zq,... se partagent donc en suites également nombreuses, et correspondant chacune a un système de valeurs de l,, £2- Pour les mettre en évidence, nous désignerons les indices jo» ^o»-*» Jr» ^r»---» p^^r le symbole général [^4 ^2^]r9 s étant un indicateur variable de o h [i'— 1 , et qui servira à distinguer les divers indices d'une même suite, |,, S, des indicateurs variables d'une suite à l'autre, entre les limites o et tt — i, et r un indicateur variable d'une série à l'autre.
Les substitutions A,, A3 prendront la forme
D'ailleurs cette forme ne sera pas altérée, si l'on remplace les indices d'une suite quelconque par des fonctions linéaires de ces mêmes indices (on aura soin d'altérer parallèlement les indices homologues des séries conjuguées) : car chacune d'elles multiplie par un même facteur les indices d'une même suite, et par conséquent leurs fonctions linéaires. Il reste donc dans le choix des indices un certain arbitraire dont nous allons profiter pour simplifier l'expression des substitutions B,, 63.
565. Commençons par B, : cette substitution, transformant A|, Ao en6A,, As» remplacera les indices [S4 ^2^]q de la suite |,, ^2 par des fonctions des indices de la suite §1+1, §2* Les indices indépendants restant arbitraires dans la suite o, S2» on pourra prendre pour indices indépendants dans la suite, I, ^2 les fonctions que Bf fait succéder aux indices de la suite o, ^2'* pour indices indépendants dans la suite 2, I2 les fonctions que Bf fait succéder à ceux de la suite i, ?a» etc., jusqu'à la suite tt — 1, Ça» dont B| remplacera les indices [tt — i, ^2» ^Jo P^^ <les fonctions (fo^-ffif" des indices de la suite o, §2*
tô8 UVHE QUATRIÈME.
Cela posé, B* remplacera en général Tindice [o§,€]o par fe; mais elle appartient à F (560); donc Çe = ^[oSjeJof d étant un coefficient constant. Posons en général
*7^'[Siǻe]i = [ǻǻeTo avec *'=rf (mod. />),
B, remplacera la fonction [Ç, 52fe]'o P^^ *• [Çi^"'» §2» ^]'o-
Donc en prenant ces fonctions pour indices indépendants, et supprimant les accents, qui deviennent inutiles, B, prendra la forme
B.= | [l^ht]. *.[$. + !,$», e].|.
566. Passons à la substitution B2 : elle remplace les indices de la solte ^1» ^3 pai* des fonctions de ceux de la suite ^1, §2+1. Considérons eô particulier les indices des suites pour lesquelles S, = o. Par des changements d'indices convenables, exécutés dans chacune de ces suites, on pourra faire en sorte que B2 remplace tout indice [0^2 ^jo de Tune de ces suites par 62 [o, I2 + I» £]ot ^2 étant un coefficient constant. Ce changement d'indices n'altérera évidemment pas les expressions de A,, A2. Il n'altérera pas non plus celle de B,, pourvu qu'il soit accompagné de changements analogues, effectués sur les indices de chacun des groupes de suites qui correspondent aux diverses valeurs de ^|.
Cela posé, soit f la fonction par laquelle B, remplace [^f I2 ^Jo • BsB^ et B^/B2 remplaceront respectivement [o|2e]o par*2^VfÇM §2-+- '»6jo ^^ P^r b\ff. Mais ces deux substitutions sont identiques, B, étant échangeable à B2. Donc (f se réduit à 2^2 [Im §2 + 1 , €], et B2 est de la forme
Nous obtenons donc le théorème suivant :
Théorème. — Les substitutions Af, B,, A2, ^^ peuvent se rcunener à la forme
et^ par suite ^ les substitutions de G seront de la forme
567. Le calcul des coefficients a^ a^^ b^,b^ a demandé la résolution de diverses congruences, ayant pour coefficients des entiers complexes formés
avec I. Cette résolution pottrraît nécessiter l'introduction de nouvelles imaginaires. Il est essentiel d'éclaircir ce point; nous y parviendrons par les considérations suivantes :
Soient S une substitution de G* qui n'appartienne pas à F; S, S\... ses transformées par les substitutions de T. Chaque substitution de F transformera les substitutions S» S',... les unes dans les autres : car supposons que la substitution T» appartenant à F, transforme S' en S''; soit U la substitution de r qui transforme S en S'; UT transformera S en S"; donc S" fait de la suite S, S',....
;ulte de là que les substitutions de F sont permutables au faisceau (F^,* S',...). Donc CQ faisceau contiendra toutes les substitutions de G, qui est, par hypothèse, parmi tous les seconds faisceaux possibles, celui dont Tordre est minimum.
Considérons en particulier la substitution A, et ses transformées A,, A'j,.... D'après ce qui précède, Tune au moins de ces transformées ne sera pas contenue dans le groupe (F,. A,) moins général que G. Soit
cette transformée : elle aura le même caractéristique que Af (172).
Ici deux cas seront à distinguer, suivant que n est un nombre premier impair ou égal à 2.
568. Premier cas: ti premier impair , A^ a pour caractéristique
la multiplication s' étendant à tous les systèmes de valeurs de £, £, , \^, r. Or multiplions ensemble les jul facteurs correspondants à une même valeur de r,
et dont ~ = c sont égaux à a/''^— K, e à (a, 9)'^— K, etc.: il viendra
la multiplication ne s'étendant plus qu'aux diverses valeurs de r.
Quant à C, caractéristique de A'^, deux cas seront à distinguer, suivant que ^i, jâj sont ou non nuls à la fois*
I® Si |3| = jSa = o, on aura
•i30 UVRE QUÂTRIÈBfE.
Groupons comme tout à l'heure les facteurs qui correspondent à une même
valeur de r : on aura e de ces facteurs égaux à c^— K, e égaux à
{cGY'— K, etc. En effet, k\ n'appartenant pas au faisceau F, Kun au moins des exposants a,, a^, par exemple ol^^ ne sera pas congru à o (mod.Tr). On pourra donc choisir arbitrairement € et §2, ce qui pourra se faire de e manières différentes, et déterminer ensuite ^( de telle sorte que «,^, + «3^2 se réduise à /}(mod.7T), p étant un entier arbitraire. On aura donc comme tout à l'heure
(4) C'=TJ (cV-^K-)'; :<: i •
2^ Si /3, , ^2 ne sont pas nuls à la fois, considérons les n îodices
[£i?a£]r»---. [Çi + 'wjS,, Sj-^-'wjSj, s];.,... que A', permute circulairemeot. Le facteur de G correspondant à ce groupe de n indices sera
Faisant le produit des expressions analogues correspondantes aux divers groupes d'indices, on trouvera encore pour C la valeur (4).
Les deux caractéristiques C, G devant être égaux, on aura une relation de la forme
çr^^rp? (mod, /?).
Cela posé, la substitution
aura pour caractéristique (i — K'^)''*^; et il en sera de même de ses transformées
par les diverses substitutions de F; d'où l'on déduit
c'^=zii (mod./>).
Soit maintenant
une quelconque des substitutions de G; elle aura pour caractéristique (5) Jl l(/«vfrV«l**VK-K^j'.
Mais d'autre part T appartient au groupe dérivé de F, S, S',... (567). SoitT = 9S^S'^..., 9 étant une substitution de F, qui multiplie par 9 les indices de la première série : T aura pour caractéristique
(6) jj^ [(9^/. . .yp^^K^y^jj^ir"''- K^r.
Pour que les expressions (5) et (6) soient égales, il faudra qu'on ait une relation de la forme
(/«V b\^ n]* iv y- = cp'^/'^ , d'où aV *"• «? *a' — 6* 9''^ "S
^ étant un entier. On aura une relation analogue pour tout système de valeurs de T|/u,, T2, U2. Donc toutes les quantités de la forme a]' b]' a]* bl* , et en particulier a,, 6,, as, 2^2* sont des produits d'entiers complexes ne contenant d'autre imaginaire que 1. Donc la réduction des substitutions A,, B,, A2» B3 à leur forme type a pu se faire sans introduire d'imaginaire nouvelle.
On peut supposer que les coeilicients a,, &«, ^2» bi se réduisent à l'unité. Car F contenant les substitutions a,, b^^..., G pourra être considéré comme dérivé de la combinaison de F, non plus avec les substitutions A,, B,, A2« Bo, mais avec celles-ci af^Ai, &r*Bi» «r^Ajt ^r'B,, où les coefficients ont disparu.
569. Second cas : ;r = 2, d'où 0 = — i . A, a pour caractéristique
Si j3, = |32 = o, A', aura pour caractéristique
Dans le cas contraire, le facteur de C correspondant au groupe des deux indices [1,^2 £]r» [?i -+-|3,, Sj-H /Sj, £jr que A', permute entre eux sera
en posant, pour abréger, m = ol^^^-\- ci,^^^* ^t remarquant que Ton a 0^^Q\ car le nombre ;r = 2 divisant />''— i (561), p est impair. La condition C = C donnera comme tout à l'heure
c»e*=avP (nfiod./^).
A'&i UYRE QUATRIÈME.
. Gela posé, la substitution
aura pour caractéristique {K^—Q'^y^. 11 en sera de même de ses transformées
d'où les conditions
(7) c'^eT.*.-*-Tt««=6-,... [mod.p). s
Soit maintenant
T=/AvBv...= 9S^S'y'...
Tune quelconque des substitutions de G; elle aura pour caractéristique, d'une part
d'autre part
en posant, pour abréger.
Pour que ces deux expressions soient égales, il faut qu'on ait une relation de la forme
ou, en remarquant que c'^,... se réduisent à des puissances de 0 en vertu des relations (7), une relation de la forme
{fa]^b\^...Y=z ^v^e*, ou enfin a^'iv.- • =/~VV'' j étant une racine primitive de la congruence
f^6, ou /^i (mod.p).
Cela posé, si p^— i est divisible par 4» on aura
J sera donc, ainsi que/et (p^', un entier complexe ne contenant d'autre ima-
ginaire que i: donc les expressions a^* 2^;*..., et en particulier a,, 2^,,..., ne contiendront d'autre imaginaire que i; et Ton pourra choisir la double suite A,, B,t Aa. Bj de telle sorte que tous pes coefficients se réduisent à l'unité (568).
Soit au contraire)»''— i^o (mod. 4) .* J ne sera plus un entier complexe formé avec i; maisy^^— i le sera toujours; donc chacune des expressions aj*ô;*... est de Tune des formes / ou ^*, /étant un entier complexe formé avec {. En particulier, suivant que les coefficients a,, &«,... seront de Tune ou de l'autre de ces deux formes, les racines des congruences caractéristiques
JJ (K»-af/)'=o, Yl^{K^-b]pJ=o,... (mod. p),
des substitutions correspondantes A,, B,,... satisferont ou non à la congruence
(8) X/''-' = i (ïïïod.p).
570. Or la double suite A,, B,, Aa, Ba, qui, combinée à F, reproduit G, peut être choisie de telle sorte : i" que les racines des congruences caractéristiques de deux substitutions associées satisfassent ou ne satisfassent pas a la fois à la congruence (8); 2"" que parmi les couples de substitutions associées, il en existe tout au |)lus un pour qui ces racines n'y satisfassent pas.
1^ En effet, si les racines de la congruence caractéristique de A,, par exemple, satisfaisaient à la congruence (8), celles de la congfuence caractéristique de B, n'y satisfaisant pas, on pourrait dans la construction de G remplacer la double suite A,, B,, Aa, Ba par la double suite équivalente A,, A|B,, Aa, Ba, dans laquelle la substitution A,B,, qui remplace B|, aura pour congruence caractéristique la suivante :
dont les racines satisfont à la congruence (8).
i"" Si d'autre part les deux couples de substitutions Af, B,, Aa, Ba avaient des congruences caractéristiques dont les racines ne satisfissent pas à la congruence (8), on pourrait, dans la construction de G, les remplacer par les deux suivants: AiAa, B|As» A|B, AaBa, A,B,Ba, où les racines dfs congruences caractéristiques satisfont à la congruence (8).
On peut enfin supposer la double suite A,,B4, Aa,Ba choisie de telle sorte que chacun des facteurs a,, &i,... se réduise à i ou à/. Car soit a, =^', par
exemple; on pourra, dans la construction de G, remplacer la substitution A| par celle-ci/"* A,, pour laquelle le facteur se trouve réduit à/.
Les facteurs a,, &i,... seront donc tous égaux à i, sauf ceux d'un seul couple, tel que a,, i|, qui pourront être égaux à i ou àj\ mais seront égaux entre eux.
571. Si a, =&, == «2 = ^2= '» la réduction de A|, B^ Aj» Bj à leur forme type pourra s'opérer sans introduire d'imaginaire nouvelle.
572. Soit au contraire a^ = 6, =j\ avec ^2= 62 = '• Dans cette hypollièse, la réduction du faisceau G à sa forme type, telle que nous l'avons indiquée, introduirait l'imaginaire y. Pour éviter cet inconvénient, nous allons reprendre les opérations avec plus de soin.
Ramenons d'abord simultanément les substitutions A,, A2 à leurs formes canoniques
Les indices [oSosJo de la première série que A,, Aj multiplient respectivement pary, 6^* seront de la forme [oÇ2£]o"+"y fï?2^]o» [o?2êJo et [iÇaeJ^ étant des fonctions des anciens indices, ayant pour coefficients des entiers complexes formés avec i. La suite des indices [i SjS io de la même série que A,, A2 multiplient par —y, 6^* sera formée des fonctions [o^2^]o^j[^^2^]o* respectivem^t conjuguées des précédentes par rapport à y. On pourra d*ailleurs évidemment, sans altérer l'expression des substitutions A|, A,, remplacer les indices d'une même suite par des fonctions linéaires des indices de cette même suite, fonctions dont les coefficients soient des entiers complexes, formés avec / ety. il conviendra seulement d'effectuer sur les indices des suites conjuguées par rapport à y, et des séries conjuguées par rapport à <,y, des transformations respectivement conjuguées par rapport à l'une de ces imaginaires ou par rapport à toutes deux.
573. La substitution B2, transformant A,, A2 en A,, OA^j remplacera en général les indices de la première série et de la suite §«, S, p^r des fonctions de ceux de la première série et de la suite Ç,, ^^-^-i. Et l'on peut profiter (^ l'indétermination qui reste dans le choix des indices pour faire en sorte que Bj remplace chacuiT des indices [ÇiOêJ^ par [Ê, iêJ'^. D'ailleurs la forme canonique imaginaire trouvée plus haut pour B2 montre que son carré se réduit à l'unité. Donc Bj remplacera réciproquement fÊ, 1 cj^ par
Gela posé, soient c, d deux entiers arbitraires : on pourra prendre pour indice indépendant, à la piaco de [009 Jq, la fonction
(a -t- (37) (c - dj)[o oq].-^{C'^- rf/ ) [o, o, q -\r i]'.,
que B4 remplace par sa conjuguée multipliée par a + |3y.
2^ Si 9, ne contient aucun des indices [1, o, 9+ ijo»...» elle contiendra rindice [loq]^^ car sans cela B, remplaçant les 9+1 indices [oooJo/..., \ooq]^ par des fonctions de q indices seulement, son déterminant serait congru à zéro. Soit donc
BJ remplacera Tindicc [00 q]^ par
Mais elle doit le multiplier par — i; d*où les relations
(/nH-n/)(m-/y) = -i |
•\ / •. / w « v i (moa. »),
ou, en effectuant les calculs et égalant séparément à o les termes réels et les termes imaginaires,
(11) (m -f-a)r-f-(n -f- i3)i^o, fi2) (n — (3)r— (m— a)j=Ho.
Cela posé, on pourra prendre pour indice indépendant, à la place de [ooqrjy, la fonction
(a -\rbj)\[oo q'\. -+- (c -h dj) [o, o, ç - i]'. h- . . . j,
que B, remplace par sa conjuguée, multipliée par OL-h^j\ pourvu que Ton ait
r-h*/-l-(a-f- ^j)[c -h dj) = [m^ nj){c ^ dj) (mod./i),
(i3) {m — «)« — (w-*-P)6^(w — P)û-|-(/n-ha)6^o,
(i4) . r-f-(a — m)c — ((3-1- w)rf^5 -h (P — w)c-h (a-i-m)rf^o.
575. Od pourra toujours satisfaire à ces relations; car les deux relations
i3), dont le déterminant est congru à zéro en vertu des relations (9) et
I o), se réduisent à une seule, qui détermine le rapport de a à 6. De même,
es relations (i4) se réduisent, en vertu des relations (9), (10), (11), (12)
I une seule, qui détermine Tun des entiers c, d, en fonction de Tautre.
Admettons donc que B, remplace en général T indice [ooej'^, par [a -h|3y)[io6]'j,; et soit 9 la fonction par laquelle elle remplace l'indice '01 fi]'^; B1B2 remplacera [00g] ^ par y, et BjB, le remplacera par i^dr Pj) [i î £]'o« Donc (p est égal à cette dernière expression. Donc B, rem- Éda^l en général [oÇa^J'o P^** (^"^i3/)[i?2ej'o5 ^^ comme son carré est égal à —I, elle remplacera réciproquement [iÇae]'© par {^-~- ^j)[^^2^Jo' On aura donc
Nous prendrons alternativement pour indices indépendants les quantité3 [I, Ça-'^Jo ouïes quantités [Ç, Ça-'-sJo dont elles dépendent (572) et qui ne contiennent plus d'autre imaginaire que i; rapportées à ces nouveaux indices, A3, B2 ne changeront pas de forme; mais A,, B, deviendront
