Récapitulant ce qui précède, on a ce théorème

Théorème. — Si V on n' a pas à la fois p* ^'i {ïùoA . [\) et n = 2, on pourray ^ans altérer l'expression des substitutions de F, et sans introduire d* imaginaire touvelle, mettre A,, B,, Aa, Ba,..., A<„ B<, sous la forme

( ^•= I [$•?«•••£]• ^'»[5'5»---0« I» B, = I [$tÇ2...e]o [$»-M» S»,..., e], I, i5) { A,= I [Ç,H,...e]o e^«[Ç. Ê,...e]. |, B,= | [Ç, Ç,...e], [$„ $a -+- 1,. .., e]. |,

Si Ton a/>''^3(mod.4) et n = i, Aa. Ba,..., conserveront encore la forme i5); mais A,, B, auront ^ suivant les cas, soit la forme ci-dessus ^ soit celle-ci:

g. j A, =r I [$,$,... e]o — 9^'[$, -«-I, Çi,.... 6]f |,

( B,= I [$.$>...£]. (xOm,l,...e].-h^[l,'^i, $1,..., e]. |; %, j3 étant un système de solutions {arbitrairement choisi) de la congruence

a»-t-P'^ — 1 (mod. /?).

En prenant les expressions [|, Ça«««6]'o= [o^2...t]o-^jO^*[i^2*"^]o P^^^

'^^ '^ " dés\S«»"^ *" ^tè.n« série V» ïs a^^ *° .^bsi^W^'^"^ ° v\-

f. S'.' /^i -niées de 1;;^; -ûsto;^ ' ^ « -^ ^^ • "^ . se. -^^

"SV^Vonc. <^»^^^ Te nvaoVfe^^ ^ " ..... . ç,,,es e.

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...... -^ vègaUie

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4i0 LIVRE <}UATRIÈME.

absurde i ^s— i (mo(l./>). La relation (23) une fois satisfaite, les relations (22) donneront simplement/, ^=i= i, g', ^±: i,...

Enfin, si n étant égal à 2, A, et B, ont les formes (17), les caractéristiques seront

expressions qui ne pourront être identiques f^'' étant ici congru à3(mod.4)J que si l'on a

(^4) X, 4- Y| -h X, Y, -f- Xj Va -+ . . .^^, -h J, 4- X, J, -h X,Jj -H. . .,

et qui donneront alors/, ^±: i, gt^± 1,....