Considérons maintenant la substitution linéaire

\=\xt,y\,,., «',x, -h c,j, 4-. . ., //.o:, H- </',r. -h. . .,. . . I (mod. tt).

La relation (19) montre que son déterminant n'est pas congru à zéro; la relation (21) qu'elle est abélienne (217), et multiplie par/?^ les exposants d'échange des substitutions

XV \i\>\' . . . = I X,, y„ ... X, 4- «1, ji 4- p,, . . . |.

En outre, si n est égal à 2, et p" congru à 3 (mod. 4)» Tune des deux relations (23), (24) sera satisfaite. Si c'est la première, V sera hypoabélienne de première espèce; car, en substituant dans la relation (23) les valeurs de X,, Y,,... données par les relations (20) et égalant les coetricients des diverses variables a:,, 7,,..., on obtient immédiatement, sauf le signe de quelques termes (lequel est indifférent par rapport au module 2), les relations qui caractérisent les substitutions hypoabéliennes de première espèce (262). On voit de même que si la relation (24) est satisfaite, V sera hypoabélienne de seconde espèce.