Réciproquement, soit

\ =: \ Xi, Ti,' -. «',^, 4- c,^r. 4-. . ., 6',x, 4- d',r, 4-. . .,. . . I (mod. r),

une substitution abélienne (hypoabélienne) qui multiplie les exposants d'échange par /)^. Cherchons à déterminer une substitution corrélative \'^ qui

transforme A,, B,,... en/, Affif» ..., g^, A^'Bf* ....... , /, g^,,... étant des

substitutions de F.

i*' Soit d'abord n premier impair : on aura V = PPQ, P étant la substitution qui multiplie a;,, a?,,... par/>, sans altérer j'i, j'a,..., et Q une substitution abélienne, qui n'altère plus les exposants d'échange, et qui, par suite, dérive des substitutions L^,, M^,, N,a,v du n** 220. Or les substitutions Ç,

[Itli- ' .Eix. ..e]. \ ô^^^llil,, .. m. . .e].

(27) ^,,v= I [?.Çv...£]o 0'^'^[?.?,...e]„ I,

ont respectivement pour corrélatives P, Ljj,, M|i, Npt.y; et la substitution \^ qui en dérive de la même manière que V dérive de P, L^, M^, N^,v» aura évidemment V pour corrélative.

2® Soit 71 = 2, /?''^i (mod.4). La substitution ^^, corrélative de L^, aura la forme

(28) 0=1 [11^- "^]o /""^^[S.Ê-.-ejo I.

A cela près, rien ne sera changé au raisonnement.

3** Soit 71 =2, ^''^3(mod.4) et supposons que A^, B| soient de la forme (i5) : V étant hypoabélienne de première espèce, sera dérivée des seules substitutions Mj^, Nj^.v (263); et '<? le sera des substitutions corrélatives On-jj., Xjj.,v.

4** Enfin, si A, et B, ont la forme (17), V sera hypoabélienne de seconde espèce, et dérivée des substitutions L,, M,, U, et de celles des substitutions M,A, Np,,v pour lesquelles jx et v sont >i (278-281). Aux substitutions L,, M|, U on pourra faire correspondre celles-ci :

Aux autres substitutions M^,, N^^^v on pourra faire correspondre des substitutions aiLp X|i,v ayant respectivement les formes (26) et (27). Cela posé, la substitution *<?, dérivée des substitutions 4^^, .m,, 'O, Cf\i^, ^^^^ de la ménie manière que V dérive de L,, M,, U, M^, Np,,v. aura V pour corrélative.

580. La substitution '^, que nous venons de déterminer, n'est pas la seule substitution de la forme $P^qui ait V pour corrélative; mais il est aisé de déterminer toutes les substitutions qui jouissent de cette propriété.

Soit 1 Tune des substitutions cherchées : on aura 2 = "^^^m 2, étant une nouvelle substitution de la forme ^, et qui transforme A,, B,,... en /'A,, ^'B, ,...,/', g\... étant des substitutions de F. Mais ces transformées ont respectivement les mêmes caractéristiques que A,, B,,... : donc/', ^',... se réduisent à des puissances de 6. Soient /'= 6^s g'=0-^%..,; on aura 2, = A"/B^;...Z2. ^2 étant une substitution de la forme ^et échangeable à A,, B,,..,, ce qui exige évidemment qu'elle soit de la forme

[£. $2...e] 2^oc'^f[ll^"'q]o

OÙ les divers coefticients re|)résf3ntés par le symbole général a^ sont des entiers complexes, formés avec /, et indépendants deÇ,, |a,....

Si chaque suite ne contenait qu'un indice, le dernier indicateur e ne serait susceptible que d'une seule valeur, et pourrait être supprimé sans inconvénient; C9 appartiendrait alors au faisceau F; mais, pour plus de généralité, nous continuerons de supposer que chaque suite contient [l' indices, jjl' étant

Quant à la substitution 'vPA*/B^/..., elle est le produit de substitutions partielles dont l'une est égale a î*p, les autres étant de la forme

[ll....e] 2) «;;^ :[^'^=---^]«

où les coefficients aj;}; sont des entiers complexes indépendants de e.

La substitution 1 est donc le produit de (^ par deux autres substitutions, appartenant respectivement aux formes s et G.

581. Nous avons vu (557) que le groupe F résulte de la combinaison d'une substitution de la forme œ^;^avec un groupe partiel F' formé de substitutions qui ne déplacent pas les séries. D'après ce qui précède, on aura 'î'^^— tr^'S'G:', s' et G' étant respectivement des formes s et 6; quant aux substitutions de F, elles seront de la forme §^, et pourront se réduire à la forme s ou à la forme G, si l'une des substitutions composantes appartient au faisceau F, formé des substitutions communes à ces deux formes.

Formons l'échelle de substitutions génératrice du groupe F', de telle sorte que les substitutions du faisceau F soient les premières introduites (526).

Jm Jif • • • * SiC^I,'*', On fcn

cette échelle. Les substitutions S,, Sa, ... , 5,, G,, . . . , considérées isolément^ appartiendront à T.

En effet, nous allons prouver que le groupe

{jOffit''Of Si» Sa, • • • , Su, G,,..., fs^f (t^S'S'j

est résoluble; comme il contient F, qui est résoluble et général, il se confondra avec lui. Il suffit pour cela de faire voir que chacune des substitutions/,,/!,..., ^M--» Sn, G|,..., ©/,, î^s's'est permutable au groupe dérivé des précédentes; nous allons le montrer, par exemple, pour la dernière de ces substitutions. Les substitutions/,/,,..., s, S,,..., Sn^„, 4^s'6' formant Têchelle d'un groupe résoluble, on aura par exemple

/^ étant une substitution de F. On en déduit, en remarquant que les substitutions de la forme G sont échangeables à celles de la forme s,

(G;"...e:.)-'($*s'G')-'5^«*s'e'r=s:-...s:'/,;.((e*s'G')-'s-*^JP*8'G'.

Or le premier membre de cette égalité est de la forme C; le second est de la forme s : d'ailleurs les seules substitutions communes à ces deux formes sont celles de F; donc les deux substitutions ci-dessus appartiennent k F. Soit/^ leur valeur commune : les transformées de t^m et de s,„ par «^G's' seront respectivement égales à ^^"...Gr'/m ^l à/,r*s;"...>>r'/J, ; elles appartiendront donc au groupe dérivé de/,/ s,,..., s„, G,,..., G;,, ce qu'il fallait démontrer. • -

582. Le groupe F' contient des substitutions de laformefLi autres que celles de F. Supposons en effet qu'il en soit autrement; nous allons voir, comme au n** 558, que le groupe F, exclusivement dérivé des substitutions F, s,, ... , Sfl, (P^s'C ne peut être général.

Soient/, /,... les substitutions de F; ^o/» ^o/>---; ^i/» G,/,...;... celles de la forme s. Les groupes F^, F,,... transformés de F par les substitutions Go» Si>--. seront respectivement dérivés des substitutions F, S,,...^ s„, auxquelles les transformantes sont échangeables, jointes aux transformées $^8'Ga„/„, a'^cS's,,/,,... de la substitution $^s'e?'.

Cela posé, si Ton a Sa, = (Ta,* on obtiendra un groupe résoluble plus général que F, en lui adjoignant la substitution 6, Gf *, qui lui est permutable (558). Si au contraire toutes les substitutions Ga.» ^a,»--- sont distinctes,

Tune d'elles, SaTp^^ exemple, se réduira à TuDÎté. Soit alors W une substitution de la forme G, qui n'appartienne pas èi F, et dont les coefTicients soient réels : on pourra adjoindre à T la substitution 6,W67S qui est échangeable à toutes ses substitutions.

583. Le groupe formé par celles des substitutions de F qui sont de la forme G est évidemment permutable à toutes les substitutions de F. On })ourra donc (528) j déterminer un faisceau G', plus général que F, permutctble aux substitutions de F^ et dont les substitutions soient échangeables entre elles, aux F prés. Si ce faisceau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le choisirons de telle sorte que son ordre soit minimum. Raisonnant comme précédemment, nous verrons successivement :

1° Que G' résidte de la combinaison de F avec une double suite A', , B', ,...; A',., B',. dont chaque substitution est échangeable à toutes les autres^ sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une relation de la forme

6' désignant la substitution de F qui multiplie les indices de la r -h i^^"*^ série par ô'P"; le facteur 6' étant une racine de la congruence

(3i) e"'=i (mod./i),

et n' un diviseur premier de p^ — i (559-561 ).

2*î Que les [l' indices qui se déduisent Vun de l'autre par la variation de l'indicateur £ peuvent être remplacés par d'autres indices indépendants ^ qui se partagent en tt'^ suites, en réunissant ensemble les indices ^ en nombre tx"= ii'n'~^, que A', ,..., A',, multiplient par les mêmes facteurs : et q\}'en choisissant convenablement les nouveaux indices, et remplaçant l' indicateur unique i par & indicateurs yj,, yja,... variables de o à n' — i, et un indicateur t* variable de o à [l" — \, on pourra mettre les substitutions A\, B*, , . . . , sous la forme suivante :

{ B',= I [^, ^j. . .y},. . . e']o [Çi, ^2,..., yji 4-1,..., e'], |,

à moins que l'on naitp^^'i (mod. 4) ^^ ^'= ^> auquel cas A\ et B', pourront avoir, au Heu de la forme précédente, celle-ci :

A', = I [Ç, Çî. . .y},. . . e'], — 0'''»[5, Çj. .., '/îi -f- 1,. . . e']. |,

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 4i5

( Voir les n^ 562-576. ) Il est clair d'ailleurs qu'on peut ramener ces substitutions aux formes types ci-dessus en opérant séparément, et de la même manière, sur chacune des suites d'indices qui correspondent aux divers systèmes de valeurs de £,, Çs>.... En agissant ainsi, les expressions des substitutions F, A,, 64,..., Su $2»... neseront évidemment pas altérées. Il faudra seulement y écrire [Ç, Ç2...Y3,...€'J^à la placé de [Çi|2-'-Ê]r«

3** Qu'à chaque substitution <> de F , qui transforme A\ , B', , . . . en

// A'*' B'f' . . . , g\ A /• B j • ....... correspond une substitution

appartenant au groupe abélien [et dans certains cas à l'un des groupes hypoabéUens) de degré n''"^ (577-578).

5® Que chacune des substitutions 5, , G2, . . . , S' «5^ le produit de deux substidations partielles 9 ayant les formes suivantes (579-580) :

[ÇiÇa. . -yîi. . - e'J \ «m,. [5« ?2- . ./yii... £']•

[ÇiÇi. . .y},.. .6'] \«J'[Ç« S'-'-^îi- • • ?']•

5® Que les deux substitutions partielles dont G , , 62 > • • • sont le produit appartiennent au groupe T (581); que si /x"> i, r contiendra des substitutions de la forme ( 35 ), autres que celles du faisceau F (582) ; que parmi ces substitions on pourra déterminer un second faisceau G", analogue a G €/ à G' ; etc.

584. Supposons, pour fixer les idées, que/JL"se réduise à l'unité. Les substitutions de la forme (35) se réduiront à celles de F.

Soient maintenant t? = Ç^i^une substitution quelconque de F : on pourra lui déterminer, comme aux n*''578 et 583, deux substitutions corrélatives V, V, appartenant respectivement aux groupes abéliens (hypoabéliens) de degrés ;r*^';r'^*^, et y multipliant les exposants d'écbange par/?P(mod. tt), />P(mod. 7r'). Les deux groupes A, A' respectivement formés par l- ensemble des substitutions V et par l'ensemble des substitutions V, étant isomorpbes à F, Seront résolubles. Déplus^ ils seront primaires.

En effet, si A, par exemple, n'était pas primaire, il existerait des fonctions 9, y',... des indices x^, 7«,...» en nombre moindre que ces indices, et que chaque substitution de A remplacerait par des fonctions linéaires de 9,

(p\.... Celles des substitutions de la tonuv.

»l*' \Jl^' . . . = I x„ ^„ . . . a:, -f- «1, J^, -h (3i, . . . (,

qui n*altërent pas ces fonctions» formeraient un faisceau D permutable à toutes les substitutions de A. Les substitutions de 1% permutant entre elles les substitutions A''Bf'..., aux F près, de la même manière que celles de A permutent les substitutions r.i*'in>['..., seraient permutables au faisceau dérivé de F et des substitutions formées avec A,, B,,...> comme celles de D

le sont avec i,, \Poi« Ce faisceau étant contenu dans G, et moins général

que lui, un tel résultat est inadmissible (559).

585. Réciproquement, soient L, V deux groupes résolubles et primaires, respectivement contenus dans les groupes abéliens (hypoabéliens) de degrés 71*% n'*-*^'. Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte que deux substitutions associées Y, V multiplient les exposants d'écbange par des facteurs respectivement congrus à une même puissance dey?. Soient/?P(mod. tt), /?P(mod. tt') ces facteurs. A chaque système de substitutions associées, tel que V, V, on pourra faire correspondre une substitution %> de la forme î^:^» dont V, V soient les corrélatives. L^- -^

g/vupe F formé par les substitutions ainsi déterminées, jointes aux subsiiiu —

(ionsY, A,, B,,..., A', ,B'j,..., sera résoluble.

En effet, soit A le groupe formé par celles des substitutions de L qui son ^..^ ^i les corrélatives de celles de F. Ce groupe, étant contenu dans L, sera réso luble (521 ). Il est d*ailleurs isomorphe à F; ce dernier groupe sera donc ré soluble, si le groupe F, formé par celles de ses substitutions qui ont pou première corrélative Tunité est lui-même résoluble (525). Or soit A'^ 1^ groupe formé par celles des substitutions de L' qui sont les corrélatives di^ celles de F|. Ce groupe, étant contenu dans L', sera résoluble (521). Il ese: (Failleurs isomorphe à F,; ce dernier groupe sera donc résoluble, si groupe Fo formé par celles de ses substitutions qui ont leur seconde corr< lalive égale à l'unité est lui-même résoluble. Or soit *P'^i une substitut! (le Fo. Ses corrélatives se réduisant à Funilé, le facteur /î^' par*lequel ell» multiplient les exposants d'échange se réduit à i (mod. ti) et à i (mod. tz*

Cela posé, la substitution $?• transforme A|, B,,..., A'j, B'j,... en A'f ' =

B,,..., A/'^'= A',, B, .... : elle aura donc Funilé pour chacune de ses C( relatives. Il en sera donc de même de ^,; donc 5^, transformera A,, B,,. A'i» B'j,. .. en/i A,, g^, B,,.. .,// A',, g^',B'j,. ..,/,, g^,,.. .,/^ , g\.... étr ■ ^n/ <les substitutions de F. Pour que ces transformées aient mêmes caracté^r— /^^

Si 71 = 2, toute substitution abélienne, et notamment toute substitution hypoabélienne, sera évidemment abélienne propre.

Deux groupes contenus clans le même groupe abélien seront dits lemblables [improprement semblables)^ si Ton peut les transformer Tun dans l'autre par des substitutions abéliennes propres (impropres).

589. On obtiendra le même groupe T, à ta notation prés 9 en employant pour groupes auxiliaires, à la place de L [ou de L'), Vun quelconque L, des groupes qui lui sont semblables.

Soient en effet F, A|, B|,..., A\, B'j,..., 8,,..., 8;,, G,,..., 6^, ^^'^' les substitutions de F : 1, S^,..., S;,, S' les substitutions correspondantes de L; S la substitution abélienne propre qui transforme L en L,, 8 sa corrélative, construite comme au n^ 579. Le groupe F,, construit à l'aide du groupe L,, aura pour substitutions F, A,, B,,..., A',, B',,..., «^*8,8,..., 8""* ««S, G|»...» C/M 5"'$^s'S6'. D'ailleurs 8 est permutable au faisceau F, A,, B,,..., et échangeable à A'j, B\,... ainsi qu*à G,,..., G„, C Donc le groupe transformé de F par 8 n*est autre que F^. On pourra donc, par un simple changement d'indices indépendants, réduire les substitutions de F à la forme de celles de F, , et rcciproquement (172).