On pourra déterminer comme il suit l'ordre de F

Soient g une racine primitive de la congruence g^~^ ^i (mod. n)\ V,, Va,... les substitutions de L; ^*«, ^*s... les facteurs par lesquels elles multiplient les exposants d'échange : L contient la substitution W = V7* V,"..., qui les multiplie par ^«i'".+«."».+ . Cela posé, on pourra profiter des indéterminées m,, /Wa,... pour que a, /W| -i- «a Wj -f-. . . se réduise à rf, plus grand commun diviseur de «i, «a,..., tt — i. Supposons a<=rfe,, a^^^de^^...^ n — \ = de\ on aura V, = W^'-S,, Va = W^^'Sa,..., S,, Sa,... étant des substitutions de L qui soient abéliennes propres. Soit maintenant 6 un entier quelconque compris entre o et e — i. A chaque substitution S| contenue dans L, et qui n'altère pas les exposants d'échange, correspondra une autre substitution W^Si qui les multiplie par ^''S et réciproquement. Soit donc co l'ordre de L; celui du groupe partiel formé par celles de ses substitutions

qui sont abéliennes propres, sera — = __ *

Le nombre d, que nous appellerons Vexposant du groupe L, est au plus égal à 2. En effet, la substitution qui multiplie tous les indices par g^ et les exposants d'échange par g^^ étant échangeable à toute substitution linéaire.

AtiO LIVRE QUATRIÈME.

Les diverses valeurs de p qui permettent de satisfaire aux relations de la forme (36) seront donc les suivantes : o, J,..., ( -. — i W, en nombre y

On aura donc /• = -i d'où