RÉDUCTION DU PROBLÈME

§ I. — Groupes décomposablf.s.

592. Soit L un groupe résoluble, primaire et général cantenu dans le groupe abélien (dans l'un des groupes hypoabéliens) de degré p^". Il résulte de la combinaison d'une substitution W qui multiplie les exposants d'échange par g'^ \g étant une racine primitive de la congruence g^^* ^ i {moà.p), et d étant au plus égal à 2] avec des substitutions abéliennes propres (590). Le groupe A formé par les substitutions abéliennes propres contenues dans L est évidemment permutable aux substitutions de L; il ne peut d'ailleurs se réduire a la seule substitution i. En effet, s\ p = 2, il se confond avec L; et si /?> 2, L contient la substitution g qui multiplie tous

les indices par 5^(590), substitution dont la puissance ^~ ' estabélienne

propre et multiplie tous les indices par -- i.

593. Le groupe L sera dit décomposable^ si n étant égal a mXy on peut déterminer X systèmes de 2m fonctions linéaires des indices, réelles et distinctes, et telles : i^ qu'en les prenant pour indices indépendants les exposants d'échange des substitutions correspondantes a deux indices de systèmes différents soient tous congrus à zéro; 2^ que chaque substitution de L remplace les indices de chaque système par des fonctions linéaires des indices d'un même système.

Le groupe L étant supposé décomposable, il peut exister plusieurs manières d'y déterminer des systèmes de fonctions jouissant des propriétés cidessus : nous choisirons, pour y appliquer nos raisonnements, une de celles où le nombre X des svstèmes est minimum.

Soient a?o, jo»-"î-"; ^r» Jr»«";«-« '^s 2/nX fonctions considérées, l'indicateur r variant d'un système à l'autre, entre les limites o et X— 1; C^:^, C^,,. ..;...; Cj^, C^^, ...;... les substitutions correspondantes. Le déterminant formé par leurs exposants d'échange mutuels ne peut être congru à zéro.

p2 LIVRE QUATRIÈME.

Mais (Cj,Cj.J,!.. étant congrus à zéro, par hypothèse, ce déterminant se réduira au produit des déterminants partiels

( ' -«'a t-«^g ) l t-Jj ' '/« ' * • •

( t-«/u t.xj ; ( C.^ , i.Jra } • • •

l.t'X, W, ) vW, Cj,) . . .

.,t>ri '"'a) (^"1 t'/, ) • • •

Donc aucun de ces déterminants partiels ne sera congru à zéro.

594. Chaque suhslilulion de L sera le produit de deux suhslilutions partielles N et P, dant la première remplace les indices de chaque système par les indices correspondants d'un autre système, et dont la seconde remplace les indices de chaque système par des fonctions de ces mêmes indices (545).

Ici deux cas seront à distinguer, suivant que les substitutions de A so réduiront ou ne se réduiront pas toutes à la forme P.

595. Premier cas. — Ce cas ne peut se présenter si p = 2, ni si d= 2. Car si /?= 2, L se confond avec A; et si/? > 2, mais rf= 2, L dérive de la combinaison de A avec la substitution g, laquelle est évidemment de la forme P (590). Si donc les substitutions de A étaient de cette forme, aucune substitution de L ne déplacerait les systèmes, et L ne serait pas primaire (311).

Soit donc d=^ i : on aura X= 2. Soient en effet 2^, un système quelconque, 2, le système que W lui fait succéder, 1^ celui qu'elle fait succéder h 2,. La substitution W^ fait succéder 1^ à 2„. Mais on a W^ = ^S, S étant une nouvelle substitution de L, qui sera abélienne propre, et par suite de la forme P. Donc W^ sera lui-même de cette forme, et par suite ne déplacera pas les systèmes. Donc ^2 se confond avec 1^. Donc les substitutions A et VV, dont L est dérivé, permutent exclusivement entre eux les deux systèmes 1^, i,. Si donc il y avait d'autres systèmes que ces deux-lii, L ne serait pas primaire (311).

596. Une substitution quelconque/, prise dans le groupe A, est le produit de deux substitutions partielles /„, /, opérées respectivement sur les indices des deux systèmes 1^ et 1^. Chacune de ces substitutions partielles sera abélienne propre, Car/^,, par exemple, transforme C^,, Qra'**-» ^'^\' ^%»--*

en substitutions telles que D = C',C^^..., D' = Q^Cj.^...,..., C^.,, C,, Mais

la substitution /transforme également C^^, C^^,... en D, D',...; et comme elle appartient à A, D, D',... auront mêmes exposants d'échange mutuels que Ç*x,* C^,f-« D'autre part, les exposants d'échange de C^., C,,<... avec C^.,, C^,,... étant congrus a zéro, par hypothèse, il en sera de même de

ceux (le D, D',... avec les mêmes subslilulions. Enfin /o, transformant C^.,, C^-,,... en elles-mêmes, n*allërc pas leurs exposants d'échange mnluels. Done/o pst abélienne propre.

Cela posé, soient f^f^; f'^f\ ,... les diverses substitutions de K : A contiendra chacune des substitutions partielles f^, f^^ •••••/«•/i »•••• On voil en efTet, comme au n° 547, que le groupe dérivé de la combinaison de L avec ces substitutions partielles est résoluble. D'ailleurs ses substitutions sont :)béliennes. Enfin il serait, contre l'hypothèse, plus général que L, si /«, yi ••••>/!» /i >••• n'étaient pas contenues dans L, et par suite dans A.

597. Le choix des indices indépendants Xo,jo»««-î ^i» Ji»-« présente un certain arbitraire. Prenons en efTet pour indices indépendants, a la place <le 07,, y,,... par exemple, des fonctions quelconques z, u,... de ces indices. Les substitutions C«, Ce,... correspondantes à ces nouveaux indices seront de la forme C*,p^ ..., et, par suite, auront des exposants d'échange congrus à zéro avec C-r^, C^,,.... En outre, il est clair qu'après ce changement d'indices, chaque substitution de L fera encore succéder aux indices de chaque système des fonctions des indices d'un même système. Les deux propriétés fondamentales du n^ 593 seront donc conservées.

Le choix des indices indépendants restant arbitraire dans le premier système, prenons pour indices iudépendants dans le second système les fonctions a?,, ji,... que la substitution W fait succéder à x^, Vo».... Cette sub-

•^£itution remplaçant respectivement x^, v,,... par des fonctions de x^,

>'of-» on pourra la mettre sous la forme

n en déduit

^-. xv= =

Xq, y\, ... g ^ 9' •^*» )*> • • • )> S V i**^»» c^'o» •••;>•

^lais L, contenant g et W, contient g"^ W^, et cette substitution, étant abétienne propre, appartient à A; chacun des deux facteurs /o,/, dont ellr est te produit appartiendra également à A; et L, résultant de la combinaison ^liî A avec W, résultera égalenient de la combinaison de A avec

Quant au groupe A, il résuite de la combinaison des deux groupes par-

tiels Aof Ai, respectivement formés des substitutions/» /^ ,... et des substitutions/i,/j ,.... D'ailleurs X transforme évidemment ces deux groupes l'un dans l'autre. Donc L résulte de la combinais.oii de X avec un seul de ces groupes, tel que A^.

Remarquons enfin que la substitution X, qui transforme

multipliant les exposants d'échange par g, chaque élément du premier déterminant partiel du n^593 sera égal k l'élément correspondant du second, multiplié par g. Il suffît donc que le premier déterminant ne soit pas congru à zéro pour que l'autre ne le soit pas non plus.

598. Réciproquement, soient 1/ un groupe résoluble et contenu dans le groupe abélien de degré p^"^; 0' son ordre; d' son exposant; A' le groupe partiel formé par celles de ses substitutions qui sont abéliennes propres; soient enfin

I To, jo,.-. a^« 4- p^. 4- . .., a'o:. -f-P'j.-f-...,... ]

les substitutions de A\ On pourra construire ajnsi qu'il suit un groupe résoluble L, contenu dans le groupe abélien de degré p^'".

Écrivons à la suite des indices jto, Jo*-*- d'autres indices en nombre égal, a?i,y,,... et supposons que les exposants d'échange des substitutions Cj^,, C^.^,... avec C^^, Cy.,,... soient congrus à zéro, et que leurs exposants d'échange mutuels soient égaux à ceux des substitutions C^,» C^.f* respectivement multipliés par g'^ Le déterminant des exposants d'échange des substitutions Cj.,, C^,,..., C^r.» C>,,..., étant le produit de deux déterminants partiels, égaiix à un facteur constant près, et dont le premier u'est pas congru à zéro, ne sera pas congru à zéro. Cela posé, le groupe A© formé des substitutions

Xo, y\y . . . ax. 4- P jo 4- . . . , a' a:. H- Ç/ )\ 4- ...... .

jointes à la substitution

A = I x^y y^y • • • > «^1» J^'i» • • • Xx, y\,» • . , g ^69 fiX^' ' ' ' I '

forme un groupe de substitutions abéliennes : car les substitutions de A© sont abéliennes propres, et X multiplie les exposants d'échange par g. Ce

(Iccomposable de la façon indiquée cL-dessus. Il pourra Têtre d*uoe seconde manière, qui nous reste à discuter.

Soient N'F, N"P",... les substitutions de L, N', N",... et P', P",... élaiU respectivement des formes N et P (594). Les déplacements opérés sur les ). systèmes par les substitutions N', N",... forment un groupe A, résoluble et primitif (546). Donc X est une puissance d'un nombre premier 77. Soit, pour fixer les idées, X = 7i^. Remplaçant l'indicateur unique r par deux indicateurs ?, >}, variables de o à tt— 1, A résultera (533 et 546) de la combinaison :

1° D'un faisceau E de substitutions remplaçant le système (Ç, 13) par le système (§-+-«, v3 4-/3); les constantes a, |3, variables d'une substitution à l'autre, prenant chacune toute la suite des valeurs o,..., tt— i (mod.Tr);

2"* D*un groupe H, dont les substitutions le remplacent par le système (a^-f- 6v2, a'£-f- 6'>3), a, 6, a\ b' étant des entiers constants pour une même substitution.