Soient N|P|, N2P2»... les substitutions de A
IN, :=n: I . . . , Xlr^^ J^Çt.» , ^«1 ;-i-^i i|+ai 9 ^V 5-+^, »,-*-?i > • • • | » • • •
les déplacements qu'elles font subir aux systèmes. Le groupe formé par Us substitutions N,, N2,... contiendra au moins une substitution de E autre que l'unité.
En effet, A contient, par hypothèse, une substitution N^ P, qui déplace les systèmes; la substitution correspondante N, ne se réduira pas à l'unité. Si elle est échangeable à toutes les substitutions de E, on aura ^i = 6'^ = 1 , 6, =^1 = o, et N, appartiendra à E. Dans le cas contraire, soit N' une sub stitution de E qui ne soit pas échangeable h N| : L contient une substitutio N'P' qui fait subir aux systèmes le déplacement N'. D'ailleurs N'P' est per mutable à A ; donc A contient (N, P,)-' . (N' F j"* N, P, N' F, substitution qu fait subir aux systèmes le déplacement N/N'~* N, N', lequel appartient à E
602. Le groupe formé par les substitutions N,, N2,... contient tout le fai ceau E. En effet, les substitutions de L étant permutables à A, celles de le seront a fortiori au groupe (N,, No,...)- Mais elles le sont à E. Elles 1
seront donc au groupe formé par les substitutions communes à (N,, N,,..
et à E. Si ce groupe ne contenait pas toutes les substitutions de E, il ne s rait pas transitif, et par suite, A ne serait pas primitif (53).
Celles des substitutions N|P,,... du groupe A dont les premiers facteur--
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des exposants d'échange des substitutions transformées. Enfin S transfert mant en elles-mêmes les substitutions Al, M|,... n'altère pas leurs exposants d'échange mutuels (ni leurs caractères).
605. Le groupe L contient les substitutions 1, I',..., J. J',.... Carie groupe dérivé des substitutions ê, I, T»..., J, J\... est résoluble (551). Ses substitutions sont abélienncs (hypoabélienncs); car IJ, TJ',... et J, J',... rélanl, 1, r,... le seront. Enfin il contient L, et ne peut être plus général que L, par hypothèse.
606. Les substitutions J, J\... forment le groupe désigné ci-dessus par A. Quant aux substitutions dérivées de ê^ \, \\... qui ne déplacent pas les systèmes, chacune d'elles est le produit de substitutions partielles altérant respectivement les indices d'un seul des systèmes 2o> 2i**«* de manière à multiplier les exposants d'échange des substitutions correspondantes par un facteur constant, qui sera le même pour tous les systèmes (et à ne pas altérer leurs caractères). Soient Lo = (/o» • • • • 'o»- • •) le groupe formé par (elles de ces substitutions partielles qui altèrent les indices du système 2^; L| =(/,,... I,,...) le groupe formé par celles qui altèrent les indices du système 2|, etc. Ces groupes sont les transformés de l'un quelconque d'entre eux, Lq, par les substitutions de A. En effet, soit J une substitution de A, qui remplace les indices de 1^ par ceux de 2^ : elle est évidemment permutable au groupe (^, I, T,...). Mais, d*autre part, les transformées des substitutions/o/o--»»---» «o '«»•••»••• de ce groupe par J font subir aux indices (le 2, des altérations évidemment représentées par J~*yj>J,..., J"*«*o^,.... Ces dernières substitutions se confondent donc, à l'ordre près, avec les substitutions/,,..., I,,....
607. Soient réciproquement o;^, jo»--*»--; ^p» Jp»--»;-»- )• systèmes d'indices indépendants, choisis de telle sorte, que les exposants d'échange des substitutions correspondantes C^, Cq,..., Ç'^ , C^,... satisfassent aux relations suivantes
(r>)C(r')):^o, si p>p', ei (q^^q^');-z^((:(:^)q^'))
(et que leurs caractères soient indépendants de /jj.
Soient A un groupe résoluble, dont les substitutions permutent ces systèmes entre eux d'une manière primitive, en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants; Lo un groupe résoluble, dont les substi-
tutions n'altërent que les indices x^, Vo»«-- du premier système, qu'elles remplacent par des fonctions linéaires de ces mêmes indices, choisies de telle sorte, que les exposants d'échange mutuels des substitutions correspondantes soient tous multipliés par un même facteur (leurs caractères restant inaltérés); Lo».... Lp,... les groupes analogues, transformés de L© pî»r les substitutions de A.
Soient /„, /|,... des substitutions choisies arbitrairement dans les* groupes Lo« L,,..., de manière à multiplier les exposants d'échange par le même facteur. Formons leur produit /^, /,.... Le groupe L dérivé de l'ensemble des substitutions composées telles que /q/i... et du groupe A, étant contenu dans le groupe résoluble dérivé de A et de Lot sera résoluble. D'ailleurs ses substitutions sont abéliennes (hypoabéliennes); car chacune d'elles multiplie évidemment par un même facteur constant tous les exposants d'échange qui ne sont pas congrus à zéro et laisse les autres congrus à zéro (en outre elle n'altère pas les caractères).
Pour que le groupe L ainsi formé soit général, on devra choisir A et Lq aussi généraux que possible, chacun dans son espèce.
608. Dans le cas où les substitutions de Lq sont hypoabéliennes, il est important de reconnaître quel est celui des deux groupes hypoabéliens auquel appartient le groupe L construit par le procédé ci-dessus. On y parvient comme il suit :
Les indices a?©, yo»--» d" premier système peuvent être supposés choisis de telle sorte, que les substitutions correspondantes forment une double suite X,, Di>«, ««Vs, Dbs»... telle, que tous leurs exposants d'échange mutuels soient congrus à zéro, sauf ceux de deux substitutions associées, qui seront congrus à i, et que «^la, iii>2,... aient pour caractère o, A>|, ifi>, ayant pour caractère o ou i suivant que Lo est contenu dans le premier ou dans le second groupe hypoabélien. Cela posé, les substitutions correspondantes à x^, ^p,... ayant même caractère et mêmes exposants d*échange mutuels que celles qui correspondent à x^, Jo»*-- '^^ substitutions correspondantes aux indices a?^,j'<,, ...;...; a7p, jp,. ..;... formeront une double suite, où tous les exposants d'échange seront congrus à o, sauf ceux des substitutions associées, et où le nombre des couples ayant pour caractère i sera égal à o ou âi X, suivant que Lq sera contenu dans le premier ou dans le second groupe hypoabélien. Mais L est lui-même contenu dans le premier ou le second groupe hypoabélien, suivant que ce nombre est pair ou impair : d'où le résultat suivant :
Le groupe L sera contenu dans le premier groupe hypoahéUen^ à moins que X ne soit impair et Lq contenu dans le second groupe hypoabélien : auquel cas L sera lui-même contenu dans le second groupe hypoabélien.
609. Soit d Texposant du groupe L^; ses substitutions seront de la forme VV;So, Wo étant une substitution qui multiplie les exposants d'échange mutuels deC^, Cy,... parg'^, et S© une substitution abélienne propre. Soient A^, le groupe formé par les substitutions partielles So»...; W,,, W,,... et A^t A,,... les transformés de W^ et de A^ par les substitutions de A.
Les substitutions W^, W|,... multipliant respectivement les exposants d'échange mutuels de C^, CJ,»'--» ^^"^ ^^ ^i> C',..., etc., par un même facteur g"^, leur produit W appartiendra à L. Les substitutions de A^ lui appartiendront également et seront abéliennes propres; car elles n'allèrenl pas les exposants d'échange, et parmi les substitutions de L|,... qui jouissent de la même propriété, et qu'on peut leur associer, se trouvent les substitutions I. De même les substitutions de A«,... appartiendront à L.
Chacune des substitutions /o/|... est de la forme W*S<,S,..., S©, S,,... appartenant à Ao» à A, En effet, 4 est de la forme WJS^,, et multipliera
les exposants d'échange de C^, C'^,... par ^''^ Donc /oA... multiplie tous les exposants d'échange par ^''S et si l'on pose /o/|... = W^T, T ne les altérera plus, et par suite se réduira à la forme SoS,....
On voit par là que l'exposant du groupe L sera égal à d.
610. Il est aisé d'obtenir son ordre. Soient il l'ordre de A, 0 cplui de L^,
celui de A».
Les substitutions de L sont de la forme. NW^SqSi..., N étant une substitution de A. Or N peut être choisi de il manières différentes; e peut prendte
la suite des valeurs o,..., ^—z — ; et chacune des X substitutions S,,, S,,... peut être choisie de — — manières. On aura donc pour l'ordre cherché
p - i ( dO Y
611. Pour que L soit primaire, il faut et il suffit que L^ le soit par rapport aux indices qu'il altère (312). Mais il peut être décomposable ou non.
S'il était décomposable de la manière indiquée aux n^' 595-599, L le serait. 11 faudrait en effet qu'après avoir choisi convenablement les indices
indépendants x^^ Jo»'** ^^ système 2^,, on pût les répartir en deux sous-syslëmes que les substitutions de A^ ne déplaceraient pas. On pourrait alors réunir les indices de chacun de ces sous-systèmes à leurs homologues dans Ie8 autres systèmes; et la totalité des indices se trouverait ainsi répartie en deux grands systèmes, que ne déplacerait aucune des substitutions des groupes Ao, A,,..., A dont la combinaison reproduit le groupe A. Donc L serait décomposable de la manière indiquée. Celte hypothèse ayant été discutée plus haut, nous pouvons Texclurc.
612. Si Lq est décomposable, mais de la seconde manière, on verra, comme tout à l'heure, qu'en choisissant convenablement les indices indépendants o^Q, yo,...f ils se partageront en j^ous-systèmes tels, que L^, puisse cire construit au moyen de deux groupes auxiliaires ^^ et L^,^,. Le groupe A,, sera formé de substitutions qui permutent les sous-systèmes en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants. Quant à L^^, il résultera de la combinaison d'un groupe A^o dont les substitutions n'altèrent pas les exposants d'échange des substitutions correspondantes aux indices du premier sous-système, et d'une substitution W^o qui multiplie ces exposants d^échange par g*'. Cela posé, soient A^o» Aqm... et Wy„, Wqi,... les transformés de Aj^o» Wj,^, par les substitutions de A^ r L^, sera dérivé de la combinaison des substitutions abéliennes propres de A^o» Aoi,...» A^ avec la substitution W^oWoi..., qui multiplie les exposants d'échange des substitutions ^0» d>>"« ps^r g^' La substitution W^ étant une substitution de L^ qui multiplie les exposants d'échange par g^, et qui soit d'ailleurs quelconque, on peut supposer Wo = W„<,Woi....
Gela posé, partageons les indices de chaque système en sous-systèmes, en réunissant ensemble ceux dont les homologues dans le système 1^ appartiennent au même sous-système: et soient respeclivement Aov» A,v....; A,,, A|,...; Wov» W,vf... les transformés de Aovt A^,, Wqv par les substitutions de A. Le groupe L sera dérivé des substitutions A^,^,,..., Ajav.-.-, W = \Vjjj,...Wjiv...> A^,,..., Aji,..., A. Cela posé, les substitutions de A, A„, d'où dérivent celles de A|,..., Aji.,,.. forment par leur réunion un groupe A' de substitutions abéliennes propres qui permutent transitivement les soussystèmes en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants, et qui transforment les uns dans les autres les groupes A^j^,..., A^^ et les substitutions Wjj^,,. .. , Wjj^v. Le groupe L peut donc se construire à l'aide des groupes A' et L^,^^ de la manière indiquée au n*^ 607, avec cette seule dif- ^^rence que A' ne permute plus les sous-systèmes primitivelnent.
Le groupe L étant primaire; L^^ le sera; s'il était décomposable, on verrait, comme tout à l'heure» que L peut se Construire à l'aide d*un groupe A** et d'un groupe L^^^,, de degré moindre que L^^g» etc.
On pourra donc» sans nuire a la généralité des résultats, admettre que dans la construction du n^ 607 le groupe L^ est indécomposable» pourvu qu'on admette d'autre paît que le groupe A puisse être remplacé dans la construction par un autre groupe D dont les substitutions permutent les sYStèoies transitivement, mais non primitivement.
613. La détermination du groupe L se ramène ainsi à celle des deux groupes D et Lq, de degrés X et z^^'", ce dernier étant indécomposable. Par la première de ces deux questions, on retombe sur le problème A, mais avec un degré fort abaissé. La seconde fait l'objet des sections suivantes.
§ 11. — Groupes indécomposables de première catégorie.
614. Soit r un groupe résoluble et primaire aussi général que possible
parmi ceux qui sont contenus dans le groupe abélien (dans l'un des groupes ^
hypoabélieus) de degré />^'". Celles de ses substitutions qui sont abéliennes propres forment un groupe, évidemment permutable aux substitutions de F. ^
On pourra donc y déterminer (d*une ou de plusieurs manières) un faisceau F ^^
permutable aux substitutions de F, et dont les substitutions soient échan- ^^
geables entre elles. Ce faisceau étant choisi aussi général que possible, on pourra ramener ses substitutions h la forme canonique (240-244); car F étant primaire, le groupe G formé par Tensemblc des substitutions abéliennes (hypoabéliennes) permutables à F le sera a fortiori ; et suivant que F sera de première, seconde ou troisième catégorie, nous dirons que F est de première, seconde ou troisième catégorie. Nous pourrons d'ailleurs étendre cette définition aux groupes décomposables dans la construction desquels ^Mls
figure le groupe F.
Nous supposerons dans ce paragraphe que F est de première catégorie.
615. Les indices indépendants étant choisis de manière à ramener F à la m^q forme canonique formeront un seul couple de systèmes conjoints. Car s*il M Ml en existait plusieurs, chaque substitution de F remplacerait les indices d*un couple de systèmes par des fonctions de ceux d'un même couple de systèmes. D'autre part, les exposants d'échange de deux indices quelconques
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naison de W avec le groupe A» formé par celles de ses substitutions qui sont abéHennes propres.
