Posons

VI nz I . . . , X^f y*f.f . . .

. . . , ^r-h\9 Xr-¥-t> • • • r

On voit immédiatement que ces deux substitutions sont réelles et abé- Hennes propres (hypoabéliennes).

Soit maintenant S une substitution quelconque de A; elle remplace les indices oo^, y^ par des fonctions linéaires des indices x"^, jj».-- d'une même série; on aura donc 8==^^$^^, ^ étant une nouvelle substitution abélienne propre (hypoabélienne) qui ne déplace pas la première série du premier système.

619. Cherchons la forme générale de la substitution ^. Soient

axl-h byl-^..., û.^î-hA,^; H-...,...

les fonctions par lesquelles elle remplace les indices orj, jj»--*» ®"^ ^^^^ place les indices de la série conjointe ^o> JÔ**»* P^"* ^^^ fonctions

de ces mêmes indices. Quant aux indices des séries conjuguées de ces deux-là, elle les remplace par des fonctions conjuguées des précédentes, ^transformera donc Qr. C^rf-^ C,r, C^^,... en

.tf^r..^rf r.y...y r.yr.,y

faP^r'a^ rb'^ r'b'i Cm.'' r'mTi ri'' r'sr

dont les caractères sont également congrus à* zéro. Pour que leurs exposants d'échange soient congrus a ceux des substitutions dont elles sont transformées, il faudra qu'on ait

( aP^ aP' -h a f*," aP" -h . . . = î, af^ ^p' -^ a^f ^p' -h . . .=o,. . . , (0 i bP'aP"-^ bP"aP'-h..-=Oy 6/'''(3''''-^6^'■(3^''-^... = l,..., (mod./#).

Ces relations, qui doivent subsister pour toute valeur de r, expriment que

En effet, r étant primaire^ cpntient une substitution 1 qui permule entre eux les deux systèmes. Soit g^ le facteur par lequel elle multiplie les exposants (rechange : A contiendra la substitution W~^l qui permute les systèmes, et par suite sera de la forme ^(PP^^oî cl A résultera de la combinaison de cette substitution avec d'autres substitutions ^t =*f^*^tf eTiLjrzrÇPi^jj,... qui ne déplacent pas les systèmes. Soit &\e plus grand commun diviseur de v, p,, p2i---; A contiendra une substitution <% de la forme i'^^; et OïL^, OTLa,... résulteront de la combinaison des puissances de X avec des substitutions de la forme ^ (557).

Soit maintenant k un entier tel, que k&-h po soit positif et <c?; A contient la substitution s = ^$P»^o-^*t laquelle, combinée a ^ et aux substitutions ^, reproduira évidemment tout ce groupe.

Si mc?-4-po==o» cette dernière substitution se réduit a la forme »^^, et le lemme se trouve démontré. Dans le cas contraire, A contient s^, qui est (le la forme $2f*s+P.):^. Donc 2{k&-^po) est un multiple de &, et comme k^ -h Po<i^f 2 {kâ -f- Po) = (?; ^ se réduira alors à la forme s* 5^, et A résultera de la combinaison de S avec des substitutions de la forme ^, ce qui démontre notre proposition.

622. Théorème. — Le groupe T contient des substitutions de la forme ^, autres que celles de F.

S'il en était autrement, F résulterait de la combinaison'de W et de F avec une substitution de la forme ^$^^, ou avec deux substitutions, des formes t-a^ et ^^. Nous allons prouver que dans l'un et l'autre cas, F ne serait pas général.

Premier cas. — Soient/©, /,,... les substitutions de F; ^©/o. ^o/if«; ^i/o. ^i/i, ...;... celles de la forme 5^ [:^o se réduisant à l'unité (39)]; ii^i^ ^ la substitution qui, combinée à F et à W, reproduit F. Les groupes Fo, F,,... transformés de F par les substitutions ^0» ?,<»... sont respectivement dérivés de W, F et des transformées de ^Ç^^'. Ces transformées sont (évidemment de la forme ^5^^; supposons -les égales respectivement à '^^'^«o/p,» ^^Jf'la./p.i-... Deux cas seront à distinguer :

^^ Si ^a^ = 5^aj, ^, !^7* sera permutable à F et pourra lui être adjointe de manière à former un nouveau groupe plus général.

2^ Si au contraire les substitutions ^a., ^«.f- sont toutes distinctes, elles reproduisent toute la suite î^©» ^m...; l'une d'elles, ^^a,, par exemple»

se réduit donc à TuDÎté. La substitution de forme '^

échangeable aux substitutions^, ^, F, W le sera à toutes les substitutions de r,: sa transformée par ^7* le sera h celles de F, et pourra s'adjoindre à ce groupe.

623. Second cas. — Soient ^^5' et ^^ les deux substitutions qui, jointes à W et à F, reproduisent F. I.e carré de Si^ est de la forme '^, et appartient à F; donc il appartient à F, par hypothèse. D'ailleurs Si^, multipFiant tous les indices par — i, appartient aussi à F. On aura donc

J ^-^ \ ^0» Te» • • • / ^0» jX»* • • • I

étant Tune des substitutions de F.

Or soit

-?'= I ^;.rî»--- «^î ■+■ l>Xl -H---» a,xl-\-b,rl -h....... |.

S^ conjointe S{~* ^Si sera

ti" t: aura pour réciproque la suivante (619)

Cela posé, l'égalité des deux substitutions ^' et (^-';^'^)""*/ donnera a^fa, b^fa^,. . .y a^^fh^ A, ^/6,,,.. (mod./>),

t deux cas seront à distinguer :

I® Si/^ r, on aura 6^= a,,... et les coefficients symétriques par rapport ^ la diagonale seront égaux dans l'expression de ^.

2" Si/^i (mod./>), les coefficients diagonaux a, 6,,... seront nuls. L'un ^u moins des autres coefficients, tel que 6, ne sera pas nul; et les relations A^/a,, a,^/& donneront /^^i, d'où/^— i. Les coefficients symétriques par rapport à la diagonale seront donc égaux et de signes contraires. Dans ce dernier cas, le nombre des indices x\, y%y,.. sera pair, sans quoi le déterminante de a, &,..., at, 6t,... s'annuleraif; car en changeant

les lignes horizontales en lignes verticales, ce qui n'altère pas le déterminant, on change le signe de tous ses termes. Donc A=e — A, d'oii 2Ae==o et enfin A==o.

Cette dernière conclusion ne serait pas exacte si p était égal à a. Mais, dans ce cas, les deux formes trouvées pour la substitution ^ ne sont pas distinctes, car les deux valeurs /==i et/^— \ (mod.a) sont identiques.

62i. Soit maintenant Ff le groupe transformé de F par une substitution 4|uelconque :^, de la forme ^. Il sera résoluble, et ses substitutions seront abéliennes propres (hypoabéliennes). De plus, si F était général, F, le serait; car s'il était contenu dans un autre groupe analogue mais plus général r, , F le serait dans le groupe F', transformé de T, par ^7*. D'ailleurs F, est formé des substitutions W, F, auxquelles ^, est échangeable, jointes aux transformées de ^^' et de ^^, lesqiielles sont évidemment des formes A^^ et ^^'j. On peut se proposer de choisir ^, de telle sorte, que Fexpression de '^^ se trouve simplifiée autant que possible.