i" Soil/== I et/?>a. La substitution ^ est de la forme

Admettons d'abord que l'un des coefficients diagonaux, tel que a, ne soit pas congru à zéro, et posons

d'où

^~ xLi ^ ^^^ I '^»» y\t • • • x^-\- iy\ H- . .-. , ^\>« • • |-

L'égalité évidente

monti*e que ^^ est égale à

Cette substitution multipliera donc 0:^ par un simple facteur constant si l'on pose

D'ailleurs ^,, étant échangeable aux substitutions de F, le sera en parti-

à (A^')^; on aura donc

^', aura la même forme générale que ^, avec cette circonstance par- Tcque les coefficients 6,... s'annulent, t donc

n des coefficients diagonaux tels que 6, est ^o (moiï.p), on fera disre les coefficients c,... par une transformation analogue a la précé-

L On peut continuer cette réduction jusqu'à ce qu'on arrive à une ormée ou les coeffîcients diagonaux restants soient tous nuls. Mais on a, par une nouvelle transformation, faire en sorte que Tun de ces coefs cesse de s'annuler.

(posons, par exemple, que nous ayons dans ^^ b^^c^=^...^o. L'un ans des coeflicients b^^... doit différer de zéro, le déterminant de ^', tuvant s'annuler. Soit, par exemple, 63^0. Prenons pour transforla substitution

ura pour transformée il ^'2» ®" posant

$sioD où le coefficient diagonal 263X est <o, si X^o.

pourra donc maintenant reprendre la réduction, et arriver enfin à une

ire transformée ,ii^'„ où l'on ait simplement

. 2** Soit/ = — I, et /?> a. On a

i des coefficients 6, c,..., b par exemple, sera ^o(mod./?). Prenons ransformante la substitution

^^' sera transformé en ^^',, .^', =^"*^7*^.^'^, étant une nouvelle substitution (le la même forme que ^',. mais qui remplace ^fJ, y^ par

ou simplement par by^, —bx^, eu disposant des indéterminées /, iti,... de telle sorte qu'on ait

bm -h c^o, d — fr/ ^ o, . . . .

Par une suite de réductions analogues à celle-là, on arrivera enfin à une

transformée a^'„ où Ton ait

628. 3^ Soit /> = 2. On aura/^ i ^£e — i . On appliquera la réduction du n^ 625 tant qu*on aura des coefticients diagonaux qui ne s'annulent pas. S'ils s'annulent tous, on appliquera la réduction du n** 627. On arrivera ainsi à une transformée ^^'„, où ^ soit réduite à l'une des formes (4)f (5) ou à une forme mixte telle que

(6) ^„ — ! xlyl,zl,.. axl bzl, -byl,,. |.

On pourra d'ailleurs supposer que a^b,... se réduisent à l'unité. En effet, si cela n'avait pas lieu, il suffirait de transformer Si'^„ par la substitution

pour obtenir une transformée analogue à ài^^, mais dans laquelle les coefficients a, ^,... seraient remplacés par l'unité.

629. Supposons la réduction ci-dessus effectuée, et soit ^^ ce qu'est devenu (£^^" par cette suite de transformations. Cette substitution sera échangeable à ^^„ aux substitutions F près. En effet, la substitution* fa^^^'')-*(^^')"'^^|l"^^'» étant de la forme ^ et appartenant à F, sera de la forme F et n'aura pas été altérée par les transformations; on aura donc

/étant une substitution de F.

.Soit <i^:^a une substitution quelconque de la forme ^i^^, et qui soit échangeable à ^^'„ aux F près : on aura évidemment î^^» = ^-^-V, V étant une

laquelle est échangeable aux substitutions de T\ et appartient à la forme ^ sans appartenir à F.

2*^ Si ^„ est de la forme (5)» on pourra poser

et F' ne sera pas général, car an peut lui adjoindre la substitution de forme ^

OÙ /est un entier quelconque réel. Cette substitution est en effet échaogeable à chacune des substitutions de V; et /peut être choisi de telle sorte que T n'appartienne pas à F, a moins toutefois qu'on n'ait p = 2^ le nombre (les indices de la série étant quelconque, ou /? = 3, ce nombre se réduisant

Même dans ces deux cas d'exception, le* groupe I^' ne sera pas général, car on pourra lui adjoindre la substitution

ÏI — I ^" 1-* r*-4- v* i'* I

^ I •* 0 > / 0 » • • • '^ rf "^ / 0 > J 9t ' * • I

qui est échangeable a ses substitutions, et n'appartient pas à F.

i"" Si '^, a la forme mixte (6), les mêmes raisonnements seront évidemment applicables.

631. Les substitutions de la forme ^, contenues dans F, forment un groupe partiel évidemment permutable à toute substitution de F. On poiirra donc }' déterminer un faisceau G plus général que F, dont It^s substitutions soient échangeables entre elles aux F près, et auquel toute substitution dç F soit permutable (528). Si ce faisceau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le choisirons de telle sorte que son ordre soil minimum.

On verra comme aux n"* 559-561 que G résulte de ta combinaison de F avec une double suite de substitutions A,, B| ; ...; A^,, B^, telle , que chacune de ces substitutions soit échangeable à toutes les autres, sauf à son associée , à laquelle elle est liée par une des relations suivantes

Bt'A.B, rnOA,, K,A,B, = 6A„.. ,

où Q désigne la substitution

le facteur 0 étant une racine primitive de la congruence

ô'^^i (mod. />),

et n un nombre premier, qui divise p^ — i.

On verra ensuite, comme aux n®' 562-564, que le nombre ii des indices de chaque série est un multiple de n^, tel que fi'n^; puis on remarquera que le choix des indices indépendants dans la première série du premier système n'a pas été fixé d'avance; et Ton verra, comme aux n<>* 565*576, qu'on peut en disposer de telle sorte qu'en désignant les indices . . . , arj,, jj,, . . . par le symbole général [S, Sa • • • sjî. où les indicateurs 5, , §2» • • • ^^ nombre C7, varient de o an — I, et l'indicateur s de o à [i' — s, les substitutions A,, B,;..., A^, B^ prennent lesfi)rmes suivantes :

(7) A,= |[$.H,...£]: eM5.?a...e];i, b,= i [$.$,.. .e]f [$.,$.. -m,.. .,6j:i,

à moins quon n'ait à la/ois p^ ^3 (mod. ^) et n = 2, auquel cas A| e/B, pourront avoir, soit les formes ci-dessus, soit celles-ci :

a, |3 e/an^ i/n système de solutions de la congruence

a' -h P's— I (mod. p).

632. Soient maintenant <> = sC^H^'^i une substitution quelconque de P;

/, Af ^ Bf ^ A^a*"^ Bf\ . . et ^„ A'^' Bf '^^ A'^^ Bf \ . . les transformées de A„ et B„ par <> (/, et ^^i étant des substitutions de F). Faisons correspondre à la substitution tp celle-ci

V=: I x„ /,,. . . d,Xi + c\jrt -h. . ., b\xt -h d',/, H-. . .,. . . | (mod. ;:).

On verra comme aux n^ 577-578 que si l'on n'a pas à la fois

y^'^3(mod. 4) et TT = 2,

V fera partie du groupe abélien de degré tt^^, et multipliera les exposants d'échange par (— lYp^; que si p^^3 (môd. 4) et tt = 2, V fera en outré

partie du premier ou du second groupe hypoabéUen^ suivant que A,, B, auront tes formes {"j) ou les formes (8).

Réciproquement, soit V une substitution abélienne [hypoabélienne) de degré n''\ et qui multiplie les exposants d'échange par (— i)"^^. On verra, comme aux n*^ 579-580, qu'iY existe des substitutions de la forme .^^ï^^ qui ont V pour corrélative ; et que ces substitutions sont de la forme a'^ ^i^S^, S étant une substitution de la forme

et G une substitution de la forme

[£.?....£]; ^ «;,[?. s-.. îi:

On voit enfin, comme au n® 581, que si T contient une substitution s, G, de la forme se, il contiendra ses deux composantes s^ G|.

'633. Si jui' se réduisait à Tunité, l'indicateur €, n'élant susceptible que d'une seule valeur, pourrait être supprimé sans inconvénient, et les substitutions de la forme G se réduiraient à celles de F.

Supposons, pour plus de généralité, que fx' soit > i. Le groupe V contiendra des substitutions de la forme G, autres que celles de F. Nous allons prouver en effet que s'il en était autrement, F ne serait pas général.

Dans le cas que nous discutons, F résulterait de la combinaison de W avec des substitutions de la forme s et une substitution de la forme cM^^J'c^', ou deux substitutions ayant respectivement les formes ^s' G' et a^'s"G" (621). Adoptons cette seconde hypothèse, qui complique légèrement la démonstration.

La substitution

appartient évidemment au groupe F et à la forme ^; elle est, par hypothèse, de la forme s. D'autre part, chacune des substitutions ^, $, c?', 6" transformant les unejs dans les autres les substitutions de la forme S, cette substitution pourra évidemment se mettre sous la forme

2' étant encore de la forme s.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 4Vi

Donc (9?^6"j~*(^e;'j~'*^G".^G' sera de la forme S; mais elle est évidemment de la forme (s; c'est donc Tune des substitutions F communes à ces deux formes. Les deux substitutions ^^s"", SitB' sont donc échangeables entre elles aux F près, et comme elles sont permutables au faisceau F, le groupe

sera résoluble.

Cela posé, réunissons dans une même classe les indices pour lesquels e a la même valeur : chacune des substitutions de A se compose d'altérations pareilles, exécutées simultanément sur les indices des diverses classes. Considérons isolément les altérations F©, ^, c"»,, ^o^'o qu'elles font subir aux indices de la première classe; elles forment évidemment un groupe A© résoluble, et n'altèrent pas les exposants d'échange (ni les caractères) des substitutions correspondantes à ces indices. Mais soient Do, D'^,,... les groupes les plus généraux parmi ceux dont les substitutions, opérées sur les indices de la première classe, n'altèrent pas les exposants d'échange (ni les caractères) des substitutions correspondantes; chacun d'eux contient des substitutions autres que celles de F^, qui remplacent chaque indice par une fonction de ceux de la même série (622j. Soient D^ celui de ces groupes qui contient A^; Z^, Z^»,... celles de ses substitutions qui ne déplacent pas les séries; le groupe (Z^' ^o*-0 ^^^^ résoluble, et permutable aux substitutions de Do, et notamment aux substitutions $^<> ç',, ^o ^'o-

Soient maintenant /', t",... les substitutions de la forme ^ qui font subir aux indices de la première classe les altérations z'^, t'^, — Elles forment évidemment un groupe résoluble, permutable aux substitutions ^G', fjp^c' , ou, comme les substitutions de la forme s sont échangeables à celles de la forme c, permutable aux substitutions Jis'ç', <^h"ti'\ ainsi qu'aux autres substitutions de la forme S et à W, dont F est dérivé.

Le groupe dérivé de la combinaison de U\ /",...) avec F est donc résoluble (527;, et plus général que F; car l'une au moins des substitutions/',,, /^,... n'appartenant pas à Fo, l'une au moins des substitutions /', /",... n'appartiendra pas à F, et par suite, fi« sera pas contenue dans F.

Il reste à prouver que chacune des substitutions /', /", . . . adjointes à F, laisse invariables les exposants d'échange (et les caractères). Or l\ n'altère pas les exposants d'échange mutuels fies caractères) des substitutions correspondantes aux indices de la première classe; donc /', qui donne a ces substitutions les mêmes transformées, ne les altérera pas non plus. Par une raison de symétrie évidente, elle n'altérera pas le^ exposants d'échange mutuels (ni les caractères^ des substitutions correspondantes à deux indices

•quelconques d'une même classe. Enfin» soient x, y deux indices appartenant à des classes différentes; a?, a/,... et y, y',... les divers indices de leurs classes respectives. Les substitutions Cj^, C^^,... correspondantes à x^ x\,.. ont des exposants d'échange congrus à zéro avec chacune des substitutions Cy, C,y,.... Leurs transformées par t\ qui sont de la forme C*CÏ..., auront donc aussi des exposants d'échange congrus à zéro avec les transformées de Cy, C^7,... qui sont de la forme CJC^....

634. Le groupe formé par celles des substitutions de F qui sont de la forme G est évidemment permutable à toutes les substitutions de F. On pourra donc (528) y déterminer un faisceau G' plus général que F, permutable aux substitutions de T, et dont les substitutions soient échangeables entre elles, aux Y près. Raisonnant comme précédemment, on verra :

I ** Que G' résulte de la combinaison de F avec une double suite A', , B', ; ... ; A', , B',. dont chaque substitution est échangeable à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une relation de la forme

6' désignant la substitution

où le facteur 6' est une racine de la congruence ô'^^i (.mod. /)), et tt' un diviseur premier de p^ — i .

2® Que les tif indices qui se déduisent l'un de l'autre par la variation de £ peuvent être remplacés par d'autres indices indépendants, se partageant en n'^ suites, en réunissant ensemble ceux, en nombre [1"= /x'ti'"^, que A', , . . ., A',, multiplient par les mêmes facteurs : et (\u'en choisissant convenablement tes nouveaux indices, et remplaçant l'indicateur unique î par g' indicateurs ïj,, yj ..>»••• variables de o à n* —i, et un indicateur ë variable de o à il" — i, on pourra mettre les substitutions A\, B\ , . . . , sous les formes suivantes :

à moins que l'on n'ait p^E^Z (mod. !\) etn'=^ -i, auquel cas \\ et B', pourront avoir, au lieu de la forme précédente, celle-ci :

On pourra opérer cette réduction de telle sorte que les expressions des substitutions F» A|, B|9..., S ne soient pas altérées^ sauf le remplacement de l'indiccUeur unique g par les indicateurs y} « , . . . , &'.

3® Qu'à chaque substitution '<> de T^ qui transforme A\, B', ,... en

f[ A •' B7' . . . , g^ A'/' B j ' ....... correspond une substitution

^appartenant au groupe abélien [et dans certains cas à l'un des groupes hypo- Ghéliens) de degré n'^"^',

4** Que chacune des substitutions de la forme s qui entre dans l'expression €les substitutions de Y est le produit de deux substitutions partielles, ayant les /ormes suivantes :

[ç, Ç-.... •/;... -e'j; \ «?,;.. [?. Ha. ..m,...e'];

[^iÇi.. ••/;,.. . s']; \ ^î,'. [Ç' ?»••• *'^«" î']

5** Que si Y contient une substitution de la forme G, il contiendra les deux ^ facteurs partiels dont elle est le produit; que si [l" > i , T contiendra des substitutions de la forme ( i sfc) , autres que celles de F ; que parmi ces substitutions on pourra déterminer un second faisceau G", analogue à G e/ à G'; etc.

635. Supposons, pour fixer les idées, que /x" se réduise à Tunité. Les substitutions de la forme (12) se réduiront à celles de F.

Soit maintenant v^= .^^îP^une substitution quelconque de Y : on pourra lui déterminer deux corrélatives V, V, appartenant aux groupes abéliens (liypoabéliens) de degrés tt^'', tt'-*^, et y multipliant les exposants d'échange par ( — i)^/?P(mod. 7r), (— i)^/?P(mod. ;r'). Les deux groupes A, A', respectivement formés par les subslilutions V et par les substitutions V, seront résolubles et primaires (584).

636. Réciproquement, soient L, L' des groupes résolubles et primaires, res- ^f^ectivement contenus dans les groupes abéliens [hypoabéliens) de degrés ir^,

7t'^^ . Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte ^ue deux substitutions associées V, V multiplient les exposants d'échange par cies facteurs respectivement congrus suivant les modules n et n\ à une même compression de la forme (— t)^/>**. A chaque système de substitutions associées on

pourra faire correspondre une substitution xo, de la forme sC^^^ dont y ^ V soient les corrélatis^es. Le gmupe T formé par les substitutions ainsi déterminées^ jointes aux substitutions W, F, A,, B,,..., A',, B', ,..., sera résoluble (585), et restera le même de quelque manière quon choisisse la substitution v*^ (586;. Son ordre est égal à p — \ fois l'ordre de A , lequel sera égal à

i t: — 1 M TT — I ;

//, d\ w, w' ayant la même signification quaux n^ 590-591, et k étant te nombre de systèmes de valeurs de t (mod. 2) et de p (mod. v), lels^ que (— \Yp^ soit congru à une puissance de g^ (mod. n) et à une puissance de ^"' (mod. 71') (590-591).

On remarquera d'ailleurs qu'il faut, pour que F soit primaire» qu'il contienne une substitution qui permute les deux systèmes : elle sera de la l'ornic .^^^. Il faudra donc que parmi les systèmes de valeurs ci-dessus déterminés pour t, p, // y en ait un au moins pour lequel on ait t = i .

637. La construclion du groupe F est ainsi ramenée à celles des groupes auxiliaires L, L\ qu'on devra choisir chacun aussi général que possible dans son espèce. Leur détermination conduit donc au problème C. En les choisissait diversement, on obtiendra pour F autant de groupes difTérents. Mais5£ V on prend successivement pour L, par exemple, une suite de groupes semblables entre eux (588), les divers groupes F ainsi obtenus seront euxmêmes semblables entre eux (589).

638. Remarque, -- Soit F un groupe de première catégorie construit comme il vient d'être indiqué. Prenons pour indices indépendants, à la place des indices [S.Sa . . .-/j,,. .]? du premier système, les fonctions réelles x\, r^,... dont ils dépendent; et pour indices indépendants dans le second système, h la place des indices imaginaires [S, Ça- --^i • • -jr» des fonctions réelles y',, y'2,... choisies de telle sorte que les exposants d'échange (Cj^'^C/J, (Cj'^C^'J,... soient congrus à i, et les exposants d'échange (C^'^C^;), (Cy, t|r ',)••• • congrus à zéro. Cela sera toujours possible (293), et dans le cas où le groupe doit être hypoabélien, les substitutions C^'^, C^^',... auront* toutes le caractère zéro. Le groupe sera donc contenu dans le groupe hypoabélien de première espèce (293).

Soient ic,, j|,... les indices imaginaires. Les nouveaux indices x\,y\,.,. auxquels le groupe est actuellement rapporté, sont desfonctionsdear«,^i,....

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 47î)

qui ne sont déterminées que par les exposants d'échange (et les caractères) des substitutions correspondantes. On pourra les choisir de diverses manières, et obtenir ainsi divers groupes; mais chacun de ces groupes est

semblable à celui qui correspond h la solution évidente a7\ = o'^jj, = y,,...

Car on Vy ramène en le transformant par la substitution

1 "^i » ^1 > • • • "^i» j^'i» • • • I laquelle est évidemment abélienne propre (hypoabélienne).

§ III. — Grocîpes indécomposables de seconde catégorie.

639. Soit r Tun des groupes cherchés. Les indices indépendants étant ohoisis de manière à ramener son premier faisceau F à la forme canonique, se partageront en systèmes, contenant chacun 2v séries, contenant fi in- €:lices; et la r^^"** série de chaque système sera conjointe à la r-f- v'^'"'^ (247). On voit d'ailleurs, comme au n^ 615, qu'il n'y a qu'un seul système, sans <]Uoi r serait décomposable.

Soient ^o»yo»"-» Uo, ...;...; x^t yrf-* Wr»««;««* les nouveaux indices; C^K.,, ... les substitutions correspondantes. On peut choisir ces indices ^247-251) de telle sorte qu'ils se partagent en deux espèces : i^ les uns, -or, j^,... associés deux à deux, de manière qu'on ait

les autres, ti,... tels que l'on ait

^ étant une racine, arbitrairement choisie, de la congruence

C»5J eP"-' = —i {moà. p);

les autres exposants d'échange étant tous congrus à zéro. Il pourra d'ailleurs se faire qu'il n'y ait d'indices que de l'une de ces deux espèces. Quant ^ux caractères des substitutions Cj,^,... dans le cas où r est hypoabélien, îls seront congrus à zéro (292).

Chaque substitution de r est complètement déterminée lorsque l'on con- ^^ît les fonctions qu'elle fait succéder aux indices de la première série, car ^lle remplace les indices conjugués par des fonctions conjuguées. Nous

pourrons donc, dans Texpression de ces substitutions, supprimer comme superflues les indications relatives aux autres indices.