Soit / une racine arbitraire de la congruence
(i6) //»'+> = e/'-' (mod. /;).
Elle pourra s'exprimer en fonction de Timaginaire i de degré 2v qui a déjà été introduite : car elle satisfait à la relation
(p^-* = e^p"-*np-*^ = {- i)/'-' = i (mod. p). Cela posé, la substitution
estabélienne propre (hypoabélienne); car elle transforme
qui lui est égal en vert(è des relations (i 4) et(i6).
Soit maintenant '^ une substitution de F, qui remplace les indices de la première série par des fonctions de ceux de la p -i- i'^*"^ par exemple: on aura évidemment <? = f^^, ^ étant une nouvelle substitution abéliepne (hypoabélienne) qui ne déplace pas les séries; et T résultera de la combinaison de celles de ses substitutions qui sont de la forme ^avec une seule substitution, de la forme 9^^ (557).
Parmi les substitutions de la forme ^, "on doit remarquer celles de la forme
(17) *r = I JTo» yo9 • • • > l^ot • • • fl^o» ^Xtt • • • > Ûïl/o» • • • I»
à laquelle appartiennent les substitutions de F.
Une substitution de cette forme multiplie les exposants d'échange par
a'*'"*. Pour qu'elle soit abélienne, il faudra donc que Ton ait
(18) aP^'-^^^m (mod.p),
m étant un entier réel; congruence dont les racines, satisfaisant a fortiori à la congruence
aP^-'^^^mP^-^^i (mod. p),
s'exprinierout sans nouvelle imaginaire. Réciproquement, on voit, comme au n^6t7, que F contient toutes les substitutions de la forme (17)» ou a satisfait àunecongruence delà forme (18). En particulier, celles de ces substitutions pour lesquelles m =1 seront abéliennes propres, et appartiendront à F. D'autre part, soit W Tune de ces substitutions, pour laquelle on ait /w = g^; W multipliera les exposants d'échange par g\ donc F aura pour exposant l'unité, et résultera de la combinaison de W avec des substitutions abéliennes propres.
641. Si chaque série ne contient qu'un indice, les substitutions de la forme ^se réduisent à celles de la forme (17); adjoignant à ce faisceau la substitution* $ qui lui est permutable, on obtiendra le groupe cherché F, qui ne pourra être déterminé que d'une seule manière, et dont l'ordre esl évidemment égal à 2v (/?''-♦- i)[p — t).
642. Passons au cas plus général où chaque série contient plusieurs indices.
Théorème. — Le groupe F contient des substitutions de la forme ^, autres que celles de la forme W .
Nous allons prouver en effet que s'il en était autrement, F ne serait pas général.
Soient ^0, M^',,... les substitutions de la forme ¥, ^^o^o» ?o ^i...-; ^i ^0» 5^, Y,,...;... les substitutions de la forme ^ (^^ étant égal à l'unité); ^^' la substitution qui, combinée aux ¥, reproduit F, par hypothèse. Les groupes Fo, F,,..., respectivement transformés de F par les substitutions ?o> ^o"- so"!^ respectivement dérivés des V et des transformées de œ^^'. Soient *^?a„^p„» *^^a.^p,»--- ces transformées. Deux cas seront à distinguer :
1® Si '^a, = ^a,» ^1 tr* sera permutable à F, et pourra lui être adjointe, de manière à former un groupe plus général (558).
2® Si au contraire les substitutions %^^, ^a.f- sont toutes distinctes, elles reproduisent toute la suite ^^0» ^«....; l'une d'elles, ^«^ par exemple, se réduira donc à l'unité. On peut alors déterminer une substitution X, de forme ^, et permutable au groupe F,, dérivé des Y et de $^^p,. En effet, s'il existe des indices x, y, de première espèce, on pourra poser
et si tous les indices sont de seconde espèce, on posera
i82 LIVRE QUATRIÈME.
La transformée de X par ^7* sera de forme ^ el permutable à r. Elle pourra donc lui être adjointe, et ce groupe ne sera pas général.
Corollaire. — V contient des substitutions abéliennes propres de Ut forme ^ autres que celles de F. Car soient ^, une substitution de la forme ^qui soit contenue dans r sans être de la forme ¥; g^ le facteur par lequel elle multiplie les exposants d'échange : Y contiendra la substitution \V"P^,, qui est abélienne propre, de forme ^et n'appartient pas à F.
643. Les substitutions abéliennes propres de forme ^, contenues dans F, forment donc un groupe partiel, plus général que F : il est d'ailleurs évidemment permutable h toute substitution de F. On pourra dpnc y déterminer un faisceau \j plus général que F, dont les substitutions soient échangeables entre elles aux F près, et auq-uel toute substitution de F soit permutable (528). Si ce faisceau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le choisirons de telle sorte que son ordre soit minimum.
On verra, comme aux n°* 559-561 , que G résulte de la combinaison de F avec une double suite de substitutions A|, Bi;...; A<„ B<j, telle ^ que chacune de ces substitutions soit échangeable à toutes les autres, sauf à son associée ^ à laquelle elle est liée par une des relations suivantes :
B7* A, B, =z ÔA„ Bt» A, B, = 0A.,. . . ,
oà 6 désigne la substitution
I ^»9 y\* • • • » u^f . . . /-ï"»» "^0, . . .., vM», . . • [,
et le facteur 0 une racine primitive d'une congruence binôme de degré premier
9*^1 (mod. p), La substitution Q devant d'ailleurs faire partie de F, on aura e/»Vi = , (mod.//), d'où /;"-+- 1 = 0 (mod. 7:).
On verra ensuite, comme aux n°* 562-566, que le nombre /x des indices de chaque série est un multiple de n^, tel que fi.'?:^, et qu'o/i peut remplacer les indices actuels par d'autres indices [£, Ça • • • sjr choisis de telle sorte que les substitutions A,, B,, Aj, Bj,... prennent la forme
A.= I [Ç, Ç,...€]« a. 0^' [$,$,... e]. |, B, = I [$,$,... «]o 6, [5, 4-r, H„. . , €]• |, A»= I [$•$»• ••£]• ûa6^«[?'S2- ••£]• I» B,= I [g, Ha. . .e]. /;,[Ç,, 5,-4-1,..., e]. |,
DE Lx\ RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 483
Si ff est premier impair, chacun des coefticientsao i!^i,...seralepro*duitde facteurs/, ^, Q, dont chacun est le coefficient d'une substitution de F (568). Ils s*exprimcront donc sans introduction d'imaginaire, et on pourra les supposer réduits à runité. Car si l'on désigne par a,, 6,,... les substitutions
qui sont contenues dans F, G sera dérivé de la combinaison de F avec la double suite a7' A|, 67*8,,..., où les coefficients ont disparu.
Si n = 2, chacun des coefficients a,, i,,... sera le produit de facteurs/, ç, par un facteur y', y étant une racine primitive de la congruence
/ = ! (mod. /;);
< d'ailleurs, />"-+- 1 étant divisible par 2, p'^^ — i le sera par 4; on aura donc
y>''-*^i (mod./i).
Donc y, et» par suite, a,, b^^... pourront encore s'exprimer sans introduction d'imaginaire nouvelle. Mais deux cas seront à distinguer : I® Si/>^-f- I est divisible par 4» on aura
jp'-^'^i (mod.p); F contiendra la substitution
et l'on pourra, comme dans le cas où n est impair, réduire à l'unité chacun des coefficients ai, &«,....
2®Si/>^-hi^2 (mod. 4)»y n'appartient pas à F; maisy*=6 lui appartient. Chacun des coefficients a,, &«,... sera donc de la forme / ou de la formey(/,/étant le coefficient d'une des substitutions de F. Suivant que le coefficient considéré, a, par exemple, sera de l'une ou de l'autre de ces formes, les racines de la congruence caractéristique de la substitution correspondante A| satisferont ou non à la congruence
X/^'+'s! (mod./>).
Or, en opérant comme au n°570, on verra que les facteurs «3, 62,... pourront être réduits a l'unité, et les facteurs a,, b^ tous deux à l'unité, ou tous deuxày.
644.' Soient Q,ç,...er l^s substitutions correspondantes aux nouveaux indices [If |2..«sJ^. Leurs exposants d'échange ne sont pas altérés par les substitutions Â|,B|, Â2, B2,
I® Or A, multiplie Texposanl d'échange
(Q.,,....Q.:;...v^.) par (af- e^.--^'/'')^^ = (ar^' 6^.-^. )''•
Si a, = I, ce facteur ne se réduit à l'unité que pour S*, ^?,. Donc l'exposant d'échange considéré doit s'annuler si ?', <||.
Si a, =j\ ce qui n'a lieu que si /?''4- i ^ a (mod. 4)» ce facteur ne se réduit a l'unité que pour S*, ^ |i 4- 1 . Donc l'exposant d'échange considéré s'annulera si Ç', ^S,.
2^ B, le transforme en 6^r'-"'^'''(Q.,,ç, e.rQ;,,ç; e'.r+v). Donc si
i, = a, = I, l'exposant d'échange considéré sera indépendant de la valeur de Ç,; si 6, = a, =y, il changera de signe lorsque S, variera d'une unité.
Les substitutions A2, B2,... donnent lieu à des résultats analogues; mais ^2* 629*-* se réduisant à l'junité, on n'aura pas de distinction à faire.
On peut résumer ces résultats dans l'énoncé suivant :
Soit a, = i, =y^, y étant égal à o ou à i; l'exposant d'échange (Q.Ç,.. er Q',ç;..£',r-i-v) ^6 diffère de zéro que si Von a
;, — Çi — L»^5', — ^2^. . .^o (mod. Ti).
// est indépendant de So»--- ^^ ^^ trompe multiplié par 6" lorsque |, croît d'une unité,
645. On peut d'ailleurs, sans altérer l'expression des substitutions F, A,, B,,..., prendre.pour indices indépendants à la placedes indices [oo...o]<>,..., foc..., /jl'— ijo des fonctions quelconques de ces mêmes indices, pourvu qu'on altère parallèlement dans la première série les autres classes d'indices correspondant aux divers systèmes de valeurs des indicateurs |,, %^^...\ il conviendra de faire subir en même temps aux indices des autres séries des altérations conjuguées de celles-là. Il reste donc dans le choix des indices un certain arbitraire dont on peut profiter pour préciser l'expression des exposants d'échange qui ne sont pas encore déterminés.
Soit d'abord a, == 6, = 1 . Nous avons vu (247-251 ) qu'on pourra déterminer les indices [00.. .oj^,..., [00..., /x'— ij© de telle sorte qu'ils se partagent en deux espèces : les uns, tels que [oo...o]o, foo...ï]o» associés
i86 UVRE QUATRIÈME.
m — I congruences résumées dans la formule suivaule :
Le coefficienl «o s^era nécessairement congru à zéro; car s'il ne l'élailpas, on pourrait prendre pour indices indépendants, à la place des indices foo...c]o ^'^ux qui correspondent aux substitutions Doo» Coo...io»- • • » t''oo...,ix'-<,o parmi lesquelles il en est /x'— m + r» Doo» Coo...mo»--» ^^^^ '^^ exposants d'échange avec celles de la suite D,v» C,o...w'^,... soient tous congrus à zéro, sauf ceux-ci :
résultat que nous supposons impossible.
Soit donc a© ^o : on en déduit
(DooD,v)^af (DMC,o...,v)-f-. . .-h «£,',( Doo C,o...«,-,.v)^o.
Parmi les coefticients o^i,..., a,„,, qui ne sont connus que par leurs rapports, l'un au moins, a,, sera ^o (mod. /?). On pourra prendre pour indices indépendants ceux qui correspondent aux substitutions Coo...oo> Do»**-«* Coo ..{l'-i.o- Et si l'on suppose que cela ait été fait d'avance, Doo se réduira
Déterminons maintenant des substitutions
telles, que les exposants d'échange de Eoo avec C,o...ov» C,o...2v.---» C,o....|i'-4.v soient tous congrus à zéro. Nous venons de voir que cela peut toujours se faire, et que /3, sera congru à zéro, ainsi que (EooE,v). Mais /3o ne le sera pas; car, s'il l'était, l'exposant d'échange de £©« avec C,o...iv serait égal à
expression dont chaque terme est congru à zéro. D'autre part, l'exposant d'échange des substitutions Coo.eo» ^t par suite celui de Eooi avec une substitution quelconque de la forme Ç^ir,...tr est congru à zéro si l'on n'a pas ^^ 1, yj ^o,... (mod. rr), r^v (mod. av) (644). Donc Eoo aurait tous ses exposants d'échange congrus à zéro, ce qui est inadmissible. Le coefTicient /î© n'étant pas congru h zéro, on pourra prendre pour in-
dices indépendants ceux qui correspondent aux substitutions Euot Coo...io»***; et si l'on suppose que cela ait été fait d'avance, Eoo se réduira a Coo...oo-
On voit de la même manière que les indices [oo...2]o, [oo...3]o pourront être choisis de telle sorte que les exposants d'échange des substitutions correspondantes avec les substitutions C,o...ev soient tous congrus a zéro, saufceux-ci: (Coo...2oC,o...3v). (Coo...3oC|o...2v); et Ton continuera ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé le nombre des m premiers indices de la suite [oo...ê]u
qui se trouveront ain^si groupés en — couples.
647. On peut donc choisir les indices de telle sorte que tous les exposants d'échange de la forme (C00...60 C,o..g'v) soient congrus a zéro, sauf ceux-ci :
Jl reste à prouver que ces derniers exposants d*échange, que nous représenterons pour abréger par ^OM ^iof> */«»•••» peuvent être réduits a l'unité.
Pour cela, prenons pour indice indépendant, au lieu de [00. ..ojo, celui-ci: itoi [00. ..oj^. La substitution correspondante a ce nouvel indice sera
C^i ^, et son exposant d'échange avec C,o...iv se réduira à l'unité. On peut
donc supposer A^oi = ' • Cela posé, on aura
Les exposants d'échange ^01» ^io«:- étant ainsi réduits à l'unité, passons dux suivants, tels que k^. Prenons pour indices indépendants, a la place des
indices [£, Ça-'^Jr» ceux-ci d^' W^^^, . .m\j., auxquels correspondent les substitulions Cf. j. ..,„, = q.j,,„,. On aura
(Coo
mO^IO. . mv
) = rf-(/'^+' )/,-,,
expression qui se réduit à l'unité si l'on a
(-9) Mais on a
""* =^ ( ''lo..>ni* '-•M ..«v } ^= [ '-'••...(Bv ^l*...>ii« j ^=^ l^,n »
d*où l'on déduit
rffV.=*2:-si,
relation qui montre que les racines de la congruence (19) sont des entiers complexes ne contenant d'autre imaginaire que celle de degré 2v» déjà introduite dans le calcul. On pourra donc déterminer d sans difficulté.
« 648. On peut déterminer une substitution $ qui remplace chaque indice par
une fonction de ceux de la série suivante^ transforme A , , B, , Aj, B^f . . . e/i A^ , B|, A^, Bj,..., et qui en même temps soit ahélienne propre [hypoabélienne).
En effet, les indices étant choisis comme il vient d'être indiqué, soit d'abord a^ = bi =1. La substitution
[ÇiCj.«'OJa, [^1 Ça . . . I jo» • • • L^i Çi • • Oji> [^i Çï • • • I Ji» • • •
[H, $ï. . . m]o,. . . /[^i Çj. . . m],, . . .
où /est une racine de la congruence (16), satisfait aux conditions imposées h Ç. Si a, = A, =j\ la substitution
y satisfait.
En général, il y aura plusieurs substitutions satisfaisant aux conditions ci-dessus. Soit $ l'une d'elles, choisie arbitrairement, et que nous nous réservons de déterminer ultérieurement avec plus de précision. Chaque substitution de r, remplaçant les indices de la première série par des fonctions de ceux d'une même série, telle que la p -4- 1'^^'"', sera de la forme ^^, pétant une nouvelle substitution ahélienne propre, qui ne déplace pas les séries. En outre, F sera dérivé de la combinaison de substitutions de la forme ^avec une seule substitution, de la forme 9^^ (557).
649. Soient maintenant 'Ç = (j:^^ une substitution quelconque de T:
/, Al' B^,' . . . , gi A'j' Bf '...,.. . les transformées de A , , B, , . . . par \*>. On verra, comme aux n*** 577 et 578, que la substitution
de degré tt^*^, corrélative de '^^^ a son déterminant non congru à zéro; quelle est abélienne, et midtiplie par^^ les exposants d'échange mutuels des substitutions
ftl>'«\ll)^«. .=1 I jr,, j',,. . . a:, -h a,, 1', -h (3,,. . . |.
Enfin, si l'on a p^ -h i ^'i { mod. l^) et n =: ^, \ appartiendra au premier groupe hvpoabélien si Uf = bf ^ ï\ au second, si Uf = b^ =y.
et cette relation, divisée par fi^^»-^»)''^— i donnera
Y el^-^.W-HHo, d'où {DD') = o.
Si, au contraire, S, =|', • d'où Ô^'~^* = i, on aura
(DD') = A^7r.
Donc ORi est abélienne» et multiplie les exposants d'échange par n.
Cela posé, la substitution <>, formée avec $, 4^^^, OTL^^, ^^j^.v d« la même manière que V Test avec P, L^p M^, Nj^.v» aura évidemment V pour corrélative.
2^ Soil ;r = 2 et />"•+■ 1^0 (mod. 4)- La substitution s^^ prendra la forme
et rien ne sera changé au raisonnement.
3® Soit 71 = 2, p^-h 1^2 (mod. 4)» ûKi = ^i = >• La substitution V, étant hypoabélienne de première espèce, sera dérivée des substitutions M^^, N^t.v (263), et '<> le sera des substitutions corrélatives OK^^, JL^^^.
4° Soit;r =z 2, p^-^ 1^2 (mod. 4)» «i = ^i =7. Nous prendrons alternativement pour indices indépendants les indices [£{^2...£jr ou les indices
a, |3 étant un système de solutions de la congruence
a'-4-(3»^— I (mod./?).
Les substitutions A|, B|, rapportées à ces nouveaux indices, prennent la forme
B.= | [?.?,...£]'. (a-H(3jeM[H.H....e]'. |;
et les autres substitutions A2, Bj,... ne changent pas de forme.
Cela posé, la substitution V est dérivée de celles des substitutions Mp,, NjjL.v pour lesquelles /x, v sont > 1, jointes aux substitutions L,, M,, U du n° 278. Aux substitutions M^., Nj^.v on pourra faire correspondre, comme tout à l'heure, les substitutions OTLj^, 2fi^^^. Aux substitutions L,, M,, U on
pourra faire correspondre des substitutions 4Li. ^ï^i. t), ayant la forme indiquée au n° 579. En effet» on voit immédiatement que ces substitutions ont pour corrélatives L,, M,, U; et nous allons vérifier d'autre part qu'elles sont abéliennes (bypoabéliennes).
En effet les substitutions Q,ç, ,,, respectivement correspondantes aux nouveaux indices f^, ^3. . . c]',. , sont évidemment égales aux puissances
l^ — 3^ j ' des substitutions Q,ç,...6r- Leurs exposants d'échange mutuels 55ont donc congrus a zéro, si l'on n'a pas
S*, — $1 — i^fj — Ça^. . .^o (mod. ::), r'^r-h > ( mod. av),
et si ces conditions sont satisfaites, leur valeur est indépendante de ^2,..., et change de signe lorsque §, varie d'une unité. En outre, leurs caractères (dans le cas où il y a lieu de les considérer) sont congrus à zéro. Cela posé, .Ç^i transforme Q,ç, „, Qç'. cv en
elle multiplie donc leur exposant d'échange par (i 4-yô^')'''(i -^j'O^'Y . Ce facteur se réduit à 2 toutes les fois que l'exposant d'échange considéré n'est pas congru a zéro; car il est alors égal à
(i-^jO'^Y{^-jO''^/^'^(i-^je^^r{i^[je'^Yf (mod.;^). ou, comme />''^i (mod. 4). d'où y^^E^y, 6'*' ^6, à
(1 —[j6'^>Yy^2P"~2 (mod./>).
D'autre part OK^ transforme ces mêmes substitutions en
.' ^nr' ,
Si l'j = II, l'exposant d'échange k des substitutions considérées est congru à zéro, et celui A' de leurs transformées est égal à
i92 LIVRE QUATRIÈME.
Si 2', == S, H- I , ^' est égal à Donc OR, csl abélienne, et multiplie les exposants d'échange par 2.
De son côté, t) transforme C^.ç, „. en C';;? ^.C'^î ./ » ^i^ posant pour abréger
et Ton vérifie de suite qu'elle multiplie les exposants d'échange par 4-
Enfin, dans le cas où il y a lieu de considérer les caractères des substitutions Cç,ç^ „., ces caractères seront congrus à zéro. Il en sera de même des caractères de leurs transformées, chacune d'elles étant le produit de facteurs dont les caractères et les exposants d'échange mutuels sont tous congrus à zéro.
651 . La substitution '^, que nous venons de déterminer, n'est pas la seule substitution de la forme $p^ qui ait V pour corrélative. Mais on verra comme au n'' 580, que toute substitution 2 qui jouit de cette propriété est de la forme '^A\'B^^...(Bf (b étant une substitution de la forme
[^. H2...e]o N a^^. $». . .gl
Quant à la substitution tpA^B^;... elle est égale à (jfiè, s étant de la forme
D'ailleurs elle est abélienne (hypoabélienne); si donc on veut que 1 le soit, il faudra que 6 le soit également.
652. Les substitutions ?,, ^2.-. » *^?' dont r csl dérivé sont donc respectivement égales à 8,6|, «2^2»- • •» ^^^'^'î Sit^Sa,.... s' étant des substitutions de la forme s, et G,, ^2* • ••* ^' ^^^ substitutions de la forme 6. Cela pose, on voit, comme au n® 581, que r contiendra les substitutions s,.
Si jx' se réduisait à l'unité, les substitutions 6 se réduiraient à celles de la forme W (640). Mais nous supposerons pour plus de généralité que Ton ait fx' > 1.
654. Les substitutions de forme 6 contenues dans F forment un groupe permutable à toute substitution de T. On peut donc (528) y déterminer un faisceau G\ plus général que F, permutable aux substitutions de F, et dont les substitutions sont échangeables entre elles aux F près. Si ce faisceau peut être déterminé de plusieurs manières, nous le choisirons de telle sorte que son ordre so\i minimum. Raisonnant comme précédemment, on verra :
I *^ Que G' résulte de la combinaison de F avec une double suite A', , B', , . . . , A',., B'«. dont chaque substitution est échangeable à toutes tes autres ^ sauf à son associée, à laquelle eUe est liée par une relation de la forme
$' désignant la substitution de F qui multiplie les indices de la première série par 6\ le /acteur 6' étant une racine de la congruence
C'^' = i (moû. p),
et n' un nombre premier, qui divine // -+- i ;
2*^ Que il' est un multiple de tt'^, tel que iL"n'^ ^ et qu'c/i changeant convenablement d'indices indépendants, et remplaçant l'indicateur unique e par & indicateurs vji, vja,... variables de o à n' — i, et un indicateur é variable de o à fx"— ï, on pourra mettre les substitutions A',, B', ,... sous la forme suivante :
A', = I [Hi^i. ..yji. . . e']« «,6''*'[$i5«- • -^f • ê']o I?
B', = I [?t L. . .•/)!.. .e']o é',[5i, Ç2,..., yjiH-i,..., e'], |,
sans altérer la/orme des substitutions A|, B|,... (sauf le remplacement de € par plusieurs indicateurs);
3" Que les coefficients a'j, 6',,... doivent être toujours supposés égcuix à i, sauf les deux premiers, qui pourront être supposés égaux àj\ mais seulement dans le cas où l'on aurait tt' = 2, e//>^ -h 1 ^ 2 (mod. 4);
/l*" Que l'exposant d'échange des deux substitutions Q,ç,...tj....j„r ^^ ^V.r, .TiV '"'•'^■^^ ^^^ co/ig^ra à zéro, à moins que l'on n'ait
$', — •$•— i»^ C'a — Ej^. . ^^o (mod. tt), n\ —m, — \j'^n\ — Tn^. . .^o (mod. tt'),
y et v' étant respectivement égaux à o ou à i suivant que a, et b^, a, et b\ le sont à i ouàj; (\w^ cet exposant d'échange, indépendant r/e§2»--«» ^îj..... est multiplié par 6' ou par 5" lorsque S, ow >?, croissent d'une unité;
5® Qu'i7 existe dans le choix des indices un certcUn arbitrcure, dont on peut rqfiter pour faire en sorte que chacune des substitutions Coo...o...e'o oi^ ses exosants d'échange avec les substitutions C^a... /...e'v ^om5 congrus à zéro^ à Vexoption d'un seul;
6^ Que la substitution 9 peut être déterminée de telle sorte, qiCelle trans- ^wwFte A|y 13 \^» • • % i\. |f J3|«**« en a «f o ^ , • » • , /\ * f o à ,• • » ,
j^ Qu'à chaque substitution '^ de T , qui transforme A',, B'j,... en
A •• B'f ' . . . , g\ A'/' B , ' ....... correspond une substitution
opartenant au groupe abélien [à l'un des groupes hypoabéUens) de degré tt'^^; 8*^ Que chacune des substitutions c,, G2....» (&' qui concourent à la formaondeT est le produit de deux substitutions partielles, ayant les formes suiintes :
[$i?2. . .y)i.. .e'Ja \<*1^,: [Hi Hj. . ./w,... e'].
[h L.. .Y3i.. .e']a /^a^'. [Si Çï--- yj.-- ?']•
9® Que si Ti contient les substitutions G,, ^3,..., i7 contiendra les deux subituUons partielles dont chacune d'elles est le produit; que si [l"^ i , F conéndra une substitution de la forme (a4 ), autres que celles de la forme Y ; que irmices substitutions on pourra déterminer un second faisceau G", analogue
GetàG'; etc.
655. Supposons, pour fixer les idées, que [jl" se réduise à Punité. Les sub- .itutionsde la forme (24) se réduiront à celles de la forme V. L'indicateur e\ 'étant susceptible que de la valeur zéro, pourra être supprimé.
I® Soit d'abord a, = 6, == d^ = b\= 1. Les exposants d'éebange mutuels es substitutions Cç.|,...r„...r seront tous congrus à zéro, sauf ceux-ci
\^.. .r.....rQ.ç....^ ;.^.v) qui peuvent être supposés égaux à c^ (251 et 645).
'n pourra prendre dans ce cas
2^ Soient a, = 6, =f, a\ = b\ =f ; l'un des entiers u, v' étant égal 1, et l'autre à zéro ou à i. Les exposants d'échange mutuels des substitu-
lions Q,|,...yj,.. r seront tous congrus à zéro, sauf ceux-ci :
qui seront égaux k ô^'^'ô"'' *'•*'*', k étant un facteur constant, qu'on peut supposer égal à I (647). On pourra prendre dans ce cas
656. Soient maintenant 'Ç= *P^une substitution quelconque de T; ses deux corrélatives V, V appartiendront respectivement aux groupes abéliens (hypoabéliens) de degrés tt'-^, tt'^^, et y multiplieront les exposants d'échange par/>P. Les deux groupes A, A', respectivement formés par les substitutions V et par les substitutions V, seront résolubles et primaires (584).
Réciproquement, soient L, V deux groupes résolubles et primaires, respectivement contenus dans les groupes abéliens {hypoabéliens) de degrés ;r*', tt''^^'. Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte que deux substitutions associées V, V multiplient les exposants d'échange par des facteurs respectivement congrus àp^, suivant les modules n et n' , A chaque système de substitutions associées on pourra faire correspondre une substitution t?, de la forme $p^, dont V, V soient les corrélatives. Le groupe T formé par les substitutions ainsi déterminées, jointes aux substitutions Y, A,, B,,..., A\ , B, ,..., sera résoluble (585), et restera le même, de quelque manière quon choisisse la substitution tp (586). Son ordre est égala
'IV, V . ,./ d(ù.d'(ù'
a, d, d', b), 0)' ayant la même signification qu'aux n^ 590-591.
657. La construction de F est ainsi ramenée à celles des groupes auxiliaires L, L\ qu'on devra choisir chacun aussi général que possible dans son espèce. Leur détermination conduit au problème G. En les choisissant diversement, on obtiendra pour r autant de groupes différents. Mais si l'on prend successivement pour L, par exemple, une suite de groupes semblables entre eux, les divers groupes T ainsi obtenus seront semblables entre eux (589).
658. Le groupe T construit par la méthode précédente est rapporté aux indijces imaginaires [l^^^,.,'/i^,.\\ mais on peut les remplacer par des in-
dices réels a^^^y^,... tels, que les substitutions correspondantes aient tous leurs exposants d'échange mutuels congrus à zéro, sauf ceux-ci :
Quant aux caractères des divers couples de substitutions Cy , C^' ,... dans
le cas où il y a lieu de les considérer, ils seront tous congrus à zéro, ou Tun d'eux sera congru à i, suivant qu'en groupant dans une même classe les indices imaginaires conjugués, le nombre N des classes qui sont leurs propres conjointes sera pair ou impair (295-299). Suivant que l'un ou l'autre de ces cas se présentera, F sera nécessairement contenu dans le premier ou dans le second groupe hypoabélien.
Or si l'on a a, = 6, = i , a, = i', = i , on aura N = jx; et suivant que ce nombre sera pair ou impair, on tombera sur l'un ou l'autre cas. Soit au contraire a^ = i, ==/; on aura N = o; mais dans ce cas on a tt = 2; donc [JL est pair. Donc, suivant que [i est pair ou impair^ on aura N = o ou N = i, et par suite F appartiendra au premier ou au second groupe hypoabékêf^*
Soient â!?i,ji,... les indices originaires. Les nouveaux indices ;Er\,y|,...,
. auxquels le groupe est actuellement rapporté, 3ont des fonction3de^âr,,yif M qui ne sont déterminées que par les exposants d'échange (et les caractères) des substitutions correspondantes. On pourra les choisir de diverses manières, et obtenir ainsi divers groupes; mais chacun de ces groupes peut se ramener a celui qui correspond à la solution évidente o^', = ^i» v't = Ji>--«^ Il suffira pour cela de le transformer par la substitution
laquelle est abélienne propre (hypoabélienne).
§ IV. — Groupes indécomposables de tboisikmi!: catégobie.
Ç59. Soient F un des groupes cherchés; F son premier faisceau. Prenons pour indices indépendants ceux qui ramènent F à la forme canonique : ils se partagent en systèmes et séries. Soient op, /*... les indices de l'une de ces séries, S une substitution de F; a, /3 les facteurs par lesquels elle multiplie respectivement les indices de la série a;, j,..., et ceux de sa conjointe ; on aura ap==i (mod./?) (241 ); mais la série x, y,... est sa propre conjointe, d*où
(3^«, a'^=i (mod. />).
Donc chaque substitution de F mulliplie chaque indice par le facteur réel =b I . Donc chaque système ne contient qu'une série. On voit d'dillears, comme au n^615, qu'il n'existe qu'un seul système : d'où le résultat suivant :.
Les indices ne forment quun seul système et une seule série; et F ne contient que les deux substitutions qui multiplient respectivement tous les indices par H- I ou par — i .
Si p était égal à 2, toutes les substitutions de F se réduiraient à l'unité, résultat absurde : donc p est impair,
660. Cela posé, on peut choisir les indices indépendants u, v\ vl ^ i^;... de telle sorte qu'on ait
les autres exposants d'échange étant tous congrus à zéro (253). Cela fait, soit ^ une racine primitive de la congruence ^''"'^i (mod./>); la substitution 9 qui multiplie u^ u!,.., par g^ sans altérer v, v\.,,, multiplie les exposants a éph ange par g\ et toute substitutioii^fe F qui multiplie ces exposants 4 'édl^nge par un facteur tel que g^ sera de la forme $^^, !^ étant une sui^tu^n abélicnne propre. Enfin, par un raisonnement analogue à celui du ji),%:S57, on voit que F résultera de la combinaison du groupe A formé par celles de ses substitutions qui sont de la forme ^ avec une seule substt* lulion de la forme $*^.
661. Théorème. — - Le groupe F contient des substitutions de la forme ^ autres que celles de F. Supposons en effet qu'il en soit autrement, nous allons prouver que F ne peut être général.
Soient/,,/, les deux substitutions deF; l^f, ^0/. ^1/0. ^1/...- celles de la forme'^. Soit d'autre part $^^ la substitution qui, combinée à F, reproduit F. Les groupes Fo, F|,... transformés de F par ^0» ^i--- seront respectivement dérivés de la combinaison de F avec les transformées tf'.^a./p,, *^^a./p» '••• ^® *^^'; et deux cas sont à distinguer :
\^ Si l'on a une égalité telle que ^a. = ?.a,» on peut adjoindre à Fia substitution ^i^"^* ; donc il n'est pas général.
2** Si les substitutions ^a,, ^a,»-- sont toutes distinctes, l'une d'elles, ^o(, par exemple, se réduira à i. Il existe une substitution abélienne X non contenue dans F,, et permutable à F,. Car, si/? > 3, on pourra poser
X ~ I M, i', «', v',.., gu, gv, gu\ gu',.. . |,
et si /i = 3
La iransformée de X par ^~' sera permutable à r, et pourra lui être adjointe.
662. Le groupe partiel A étant évidemment permutable aux substitutions de r, on pourra (528) y déterminer un second faisceau G, dont les substitutions soient échangeables entre elles aux F près. On verra comme aux n** 559-561 que G résulte de la combinaison de F avec une double suite de substitutions 9 A,,^B,,..., A^, B^ telle, que chacune de ces substitutions soif é:hangeable à toutes les autres, sauf à son associée, à laquelle elle est liée par une des relations suivantes :
9 ét€tnt une substitution de F, autre que l'unité, et qui par suite multiplie tous les indices par — i . Donc le facteur 6 est égal à — 1 , et 6^ Test à i .
On verra ensuite, comme aux n^ 562-566, que le nombre jui des indices est un multiple de 2^ ( ici l'on a n = 2), et qu'on peut remplacer les indices actuels par d* autres indices [5, Sa... s]© choisis de telle sorte que les substitutions A|, B,, A9, 83,... prennent la forme
I' A,= | [$.$,... e]. 04 0^4^' 5" ••«]•!» B, := I [SiS^. -.ela 61 [ Cl 4- I, ^ï,..., €]. I,
A,= |[Ç,Ç,...e]. fl, Ô^.[S. $,...£]. |, B, = | [llt...i]. b,[l, g,-hi,..., e].|,
On pourra supposer que «3, 62,... se réduisent à l'unité; a^, 6| se réduiront de même à l'unité, ou à j, j étant une racine de la congruence y*^i (mod. p).
Si a, = 6, = y, deux cas pourront se présenter, suivant que /? — 1 est congru à 2 ou à o (mod. 4)*
I® Si p— 1^2 (mod. 4)f y est imaginaire, et la réduction de A,, B,, A3, B),... à la forme (25) nécessiterait l'introduction d'imaginaires; mais on pourra les éviter, et choisir les indices indépendants [|,£2...cjo de tellr sorte que A,, B|, prennent la forme
. .., L A, ~ ( [çi^j. . .£]o — 0^'[;, -+- 1, ç ,. . .. cj. |,
A3, B3,... conservant la forme (.25 j f 572-575).
En prenant (]*ailleurs pour indices indépendants à la place des [ii|99*-0« les fonctions
on ramènera A|, B, a la forme
sans altérer l'expression de Aa, B2,....
2^ S\ p — 1^0 (mod. 4)ty sera réel; et A,, B, prendront encore la forme (27), si Ton prend pour indices indépendants ceux-ci :
m^'''^i={^-jj)\ii^'''^]^'
Il nous sera commode de prendre alternativement pour indices indépendants les [§iÇa...£]o et les [§i^2**-£]'o définis comme ci-dessus.
663. Soient respectivement Q,ç,...£ et C^^^,, les substitutions correspondantes à ces deux systèmes d'indices indépendants. On voit comme au n^ 644 que leurs exposants d'échange seront en partie déterminés par la condition que les substitutions A|, B,, A2, B,,... soient abéliennes propres.
I® Si ^1 = 6, = I, l'exposant d'échange (C|,ç.,...£Cç;ç'^...e') sera congru à o à moins qu'on n'ait
auquel cas il sera indépendant de S,, ^a»--*-
2** Si ^1 =r 6, =j\ j étant réel, cet exposant d'échange sera congru à o, à moins qu'on n'ait
H', — 2. — r = ^, — Ç, ^ . . . ^ o ( mod. 2),
auquel cas il sera indépendant de la»*** et changera de signe lorsque S, croîtra d'une unité.
'^^ Si A,, B« ont la forme (26), on aura le même résultat. Car A^, B,,... étant abéliennes propres, l'exposant d'échange considéré sera congru à o si l'on n'a pasS'a — Ç2^-*-^o(mod. 2), etindépendantde^a,.... Désignons-le»
pour abréger, par k^^^^ : A| et B, étant abéliennes propres, on aura
!&lais en tenant compte d.e la relation (a8) et de la relation a' + |S*^— i,. la relation (39) devient
donc itç.ç'^ est congru à zéro si l'on n'a pas ?^^|i -f- i (mod.a); et si cette condition est satisfaite, il change de signe, d'après la relation (28), lorsque Ç, et ^^ croissent d'une unité.
Remarque. — - Les substitutions A|, B| ont évidemment pour caractéristiques des puissances du binôme (K^— d""), v étant égal à zéro si a, = 6, = r , et à I dans les deux autres cas que nous venons d'examiner : et les résultaLs que nous venons d'obtenir peuvent être résumés dans l'énoncé suivant :
L'exposant d'échange (Q^|,...e Cf^ tj...e') ^^^ congru à zéro à moins qu'on n'ait
?', — $. — us f, — |, = ... = o (mod.^),
et si ces conditions sont satisfaites^ il est indépendant de I2,... et se trouve multiplié par 6^ lorsque ^, croît d'une unité.
Lorsque u = i, on pourra prendre pour indices indépendants les [§,Ê2«--€]'o» ^^ ''<^^ verra sans peine que Vexposant d'échange (Cç^ç^ .C ç» ,.) est congru à zéro à moins qu'on n'ait
H', — $,-- ! = $',— ^j = ...=o (mo;1.2),
auquel cas il sera indépendant rf^ I2 » • • • ^^ changera de signe lorsque | , croit d'une unité.
664. Soient maintenant \'^ une substitution quelconque de r;/i x\j'Bi'..., jTi A^*Bf*...,... les transformées de A,, B,,... par *<>. Les substitutions de la forme A''Bi'... seront échangeables entre elles, aux mêmes puissances près de 9, et auront les mêmes caractéristiques que leurs transformées par "<?. On en déduit, comme aux n^* 577-578, que la substitution
V = I oTt, Ji, . • . fl, ^1 -4- c, ^', -h . . . , A, j:, 4- rf, /, -f- . . . , . . . |,
corrélative de *<>, est hypoabélienne de première espèce si u = 0, hypoabétienne de seconde espèce si u = i .
mi UVRE QUATRIÈME.
665. Réciproquement» la substitulion hypoabéiieoDe V étant donnée» on pourra déterminer une substitution t? dont elle soit la corrélative. En efTet, si a, = 6, = I, auquel cas V est hypoabélienne de première espèce» elle dérive des substitutions Mp., N,a.v du n'' 263. Or les substitutions on,^» SIL^,^^ du n"* 579 ont pour corrélatives M^,, N,jl,v; et Ton voit, comme au n^ 650. qu'elles multiplient respectivement les exposants d'échange par i et par 2. La substitution '^ dérivée de Ja^, sx,,^,^ comme V Test de M^l, N^,v sera abélionne» et aura V pour corrélative.
Si a, = i| =j\ j étant réel, ou si A,, B, ont la forme (26), V est hypoabélienne de seconde espèce, et dérive des substitutions M^^, N(x,v (où /x, v sont > 1), jointes aux substitutions L|» M,, U du n^ 278. Les substitutions on^, x^.v (où fJL, V sont > i) et les substitutions 4^, OU» o du n® 579 multiplient respectivement les exposants d'échange par 2» 2» 4 {^oir le n^ 650j et ont pour corrélatives M^,, N,jl,v» L,, M,» U. La substitulion V, dérivée de ces substitutions de la même manière que V Test de M^, îi^^^, L,» M«, U est abélienne, et a pour corrélative V.
666. La substitution \'> étant ainsi déterminée, les autres substitutions abéliennes dont V est la corrélative sont (580) celles de la forme V^AT'BJ'... ^, G étant une substitution abélienne de la forme
[Ç.Ç2...e]. N a^ [^.Ea...^].
Quant au facteur 'PA^'B?..., rapporté aux indices indépendants [ç, §2---€jtt il sera de la forme
[$. t-.-.cja N ^)\)\ . [A/j... e].
Si i n'était susceptible que d'une seule valeur, les substitutions de 6 se réduiraient aux substitutions ^ qui multiplient tous les indices par un même facteur constant; ces substitutions, étant évidemment abéliennes et échangeables à toute substitution de F, sont contenues dans ce groupe; sans quoi elles pourraient lui être adjointes pour former un groupe plus général.
667. Supposons, pour plus de généralité, que le nombre fi' des valeurs de £ soit > I. On verra, comme au n® 581, que si F contient les substitutions 'S, r,,...» S„^„, il contiendra les deux substitutions partielles ^«» ^|,..., f^N^ ^/M puis, comme au n^ 653, que F contient des substitutions abéliennes
riOi UVRE QUATRIÈME.
/,' A', * • B'j ^ ' . . . , g\A\^' B', ^ '...,.. . correspond une subsiiiuiion de degré 2^''
qui sera hypoaheUenne de première ou de seconde espèce suivant quon aura v = o ou v' = i.
5° Que chacune des substitutions ^^,...^ ^„ est le produit de deux substituiions partielles^ avant les /ormes smvantes :
[Çi ?». . .-/),/},. . . e'Jo 2, ^«X- [5« 5>- • • ''*• '^'*' ' • ^']«
"»li W«|,.
[Çi $3. . .•/îr/J.'. . . e']» \ a',' [$, Ç,. . . yj.'/îa. . . g'].
et que F contient chacune de ces substitutions partielles; que si jx^rz: i, les substitutions de la forme (3f ) se réduisent aux W^ et sont contenues dans T. Mais si ]t/." > i , T contiendra des substitutions abéliennes propres de la/orme (3 1 ) autres que celles de F; parmi ces substitutions, on pourra déterminer un second faisceau G" analogue à G et à G'; etc.
Poursuivant ainsi, on arrive à ce résultat : Le nombre /x des indices est une puissance de 2, telle que 2"^"*^ "*"•••.
668. Soient maintenant "^^ une substitution quelconque de F; Y, V\... ses corrélatives. Les substitutions Y formeront un groupe L, primaire» résoluble de degré a^^ et contenu dans le groupe hypoabélien de première ou de seconde espèce, suivant que Ton aura v = o ou u = i. Les substitutions Y' formeront un groupe analogue L', de degré a*^; etc.
669. Réciproquement, soient L9 L',... des groupes résolubles et primaifts respectivement contenus dans les groupes hypoabéliens [de première ou de se* conde espèce^ suivant le cas) des degrés 2*^^ 2^^', Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles. A chaque système de substitutions associées tel que Y, Y',..., on pourra faire correspondre une substitution <> ayant pour corrélatives Y, Y',.... Le groupe F, dérivé des substitutions "Ç^ jointes à A,, B,,..., A',, B*, »... et aux W sera résoluble, et restera le même de quelque manière qu\on choisisse la substitution '<> (586). Son ordre sera égal à (/?— 1) a^-^-»-"- woo'..., w, w',... étant les ordres respectifs des groupes auxiliaires L, L',....
La détermination de F se ramène ainsi à celle des groupes auxiliaires L, L\...» qui devront naturellement être choisis aussi généraux que possible
dans leur espèce. On retombe ainsi sur le problème C, mais pour un degré fort abaissé.
670. Remarque. — Les exposants d*éebangi' mutuels des substitutions Qi5« .*).»).... sont tous congrus à o (mod./?),, sauf ceux de la forme (Qi?...*),r„...Q.-».u.e,.....T,.4.;/.r.,....), qui scrout congrus à e^^'^^^»-^-*, * étant une constante. On aura donc
''^^ ) A Œ3 ( €0,1... M... r.^..../i... - ==^ — ( C.^0... •/•... Cm. .M...) ^^ — Ô"'"*"' ' h.
Si ceux des nombres v, v',... qui sont congrus à 1 sont en nombre pair, il vient i=EE: — i, d'où ^^ o; tous les exposants d'écbange seraient donc congrus à zéro, résultat inadmissible. Donc ceux des nombres v, u',... qui 9cnt congrus à 1 sont en nombre impair. La relation (32) se réduit alors à i.ine identité, et k reste indéterminé (mais différent de zéro).
Soit cf, un entier quelconque; prenons pour indices indépendants, à la
place des [Çi ^2-«->îi >32---jo los expressions «""' [2, Sa...»?, yja.-.jo» c^ q^*» vfaltère pas l'expression des substitutions du groupe F; les substitutions correspondantes à ces nouveaux indices seront respectivement égales à ^i?s n»v. • leurs exposants d*écbange mutuels ne différeront donc des pré- ^îédents que par le chaug(*ment de k en koc^. Cela posé, k est égal à g^^ ou â^*P"^', g étant une racine primitive de la congruence g^''"*^^ i (mod./>). Tosons a=^''P; kcf} se trouvera réduit à 1 ou à «^. On peut donc, sans
Tïuire k la généralité de la solution, supposer k = i ou k ~ g.
Si 2 est non résidu quadratique de p, ces deux bypothèses reviennent
Tune à Tauti-e. Soit en effet k =^ g. Si/?''^^ 1 (mod. 4)» prenons pour indices
indépendants ceux-ci /B - — ^ — '- [^,Ç2...>îi>32...]o.y étantune racine primitive
de la congruence 7*^ I (mod./?) et j3 un entier tel, que Ton ait |S^^2g^.
Cette transformation d'indices n'altère pas la forme des substitutions A,, A»,
B,,..., A',, B',,..., et quant à B,, elle s'exprime en fonction des nouveaux
indices de la même manière que B| A, en fonction des indices originaires.
Donc l'expression du faisceau (d, A,, B|, A2» B^»..., A'^, B'^,...) ne sera pas
changée. D'ailleurs les substitutions Q,^|,t'Jll2 .. correspondantes aux nouveaux indices forment une double suite où les exposants d'échange sont
Si /?^=^ 3 (mod. 4)> on prendra pour indices indépendants ceux-ci: -/3[|,H2^..>3, >;2--jo H- - f56^' "2,-1- 1, Sa,..., vji, •/32....J0,..., auxquels corres-
pondent respectivement les substitutions Cf^^V ,,,,, .C|"-^Î.L su^t ♦ fl"' ^^^' menl une double suite où les exposants d'échîtnge sont égaux à -^^ i.
671. Si 2 est résidu quadratique de;), toute substitution V du groupe T étant le produit de substitutions partielles dont chacune multiplie les exposants d'échange par un résidu quadratique, les multipliera elle-même par un résidu quadratique. Donc r ne contiendra aucune substitution qui multiplie ces exposants d'échange par une puissance impaire de g\ et rf, Texposant de F, sera égal à 2.
Au contraire, si 2 est non résidu quadratique de p^ Y aura pour ex/yosant runité. Celte proposition résulte des développements qui vont suivre.
672. Soient $,, So,... les diverses substitutions de la Forme è qui sont permutables au faisceau G; chacune d'elles est, comme on l'a vu, le produit de substitutions partielles toutes abéliennes. D'ailleurs, parmi les substitutions â|, ^2»**-* il ^^ ^st qui multiplient les exposants d'échange par a, qui est non résidu. Le groupe d formé par celles de ces substitutions qui nuiltiplienl les exposants d'échange par deft résidus quadratiques contient donc la moitié seulement des substitutions *|f|, §3,...; il est clair en outre qu^il est permutable à toutes ces substitutions. Le groupe I formé par les corrélatives des substitutions de d contiendra la moitié des substitutions du groupe H hypoabélien de degré 2^^, formé par les corrélatives de ^i, Sa,...; et de plus il sera permutable aux substitutions de H.
Or nous avons vu (268-275 et 283-290) qu'il ne peut exister qu'un seul groupe I contenu dnns H et permutable à ses substitutions. Nous trouvons ici ce groupe I, et nous constatons qu'il ne contient que la moitié des substitutions de H, ce qui complète la démonstration de l'endroit ciié.
673. Cela posé, soient comme précédemment L, L',... les groupes auxiliaires qui concourent à la construction de F : H, B'^... les groupes hypoabéliens de degrés 2^*^, 2*-^"',... dans lesquels ils sont contenus: 1, tr... les groupes contenus respectivement dans les groupes H, H',... et pennutables à leurs substitutions dont l'existence vient d'être démontrée. Si L, L',... sont respectivement contenus dans 1, 1',..., onaurarf= 2. En effet, soientSi, S',,... des substitutions quelconques prises dans I, 1',...; '<>^ = è^S>\... la substitution de F qui a S,, S',,... pour corrélatives. La substitution partielle s,, ayant pour corrélative S,, qui appartient à L et par suite à I, multiplie les exposants d'échange par un résidu quadratique. De même pour
r>08 LIVRE QUATRIÈME.
combinées entre elles, fournissent une substitution 6, qui remplace les m" diccs J7,,..., a?,, par f ,,..., 9;, (121); et Ton aura ^,=6,^2, ^2 étant une nouvelle substitution hypoabélienne, qui laisse invariables â?4,..., a?;, et par suite ji,...,j„ : donc ^2 se réduira à Tunité, et ^, =0, appartiendra à I.
Quant à la substitution ^, elle est le produit des n substitutions M«»..., M„ qui n*appartiennent pas à I, mais dont les produits deux à deux appartiennent à ce groupe; elle appartiendra donc ou non à I suivant que n sera pair ou impair.
675. Supposons maintenant Vq de seconde catégorie. Les indices étant choisis de manière à ramener Fo à sa forme type formeront 2v séries contenant chacune /x= — indices; et jx, étant un produit de facteurs premiers
qui divisent tous a^-h i, sera impair.
Chaque substitution de D est le produit de transpositions effectuées sur les systèmes; et nous allons voir que chacune de ces substitutions appartient à I. Considérons par exemple la transposition T qui permute entre eux les deux premiers systèmes. Nous pouvons prendre pour indices indépendants, au lieu des indices imaginaires auxquels le premier système est ac< tuellement rapporté, d'autres indices réels X,, Y,, Xj, Y,,... tels : i** que les exposanis d'échange mutuels des substitutions correspondantes Cx.» Cy,,... soient tous congrus à o(mod.2), sauf ceux-ci (Cx.CyJ, (Cx^C^Jf... qui seront congrus à i; 2^ que leurs caractères soient congrus a o, sauf çggx de Cx, et de Cy, (294-299). Quant au second système, on pourra prendre peur indices indépendants les fonctions X',, Y',, Xg, Y'^,... par lesquelles Tremplace X,,Y,, Xj» Y2,.... Cette substitution, étant d'ordre 2, remplacera réciproquement X'^, Y'j, X'j, Yj,... par X,, Y,, X2, Y2f — Elle est d'ailleurs hypoabélienne. Donc Cx',, Cï',,... ont mêmes caractères et mêmes exposants d'échange mutuels que Cx,« Cy,, Entin, leurs exposants d'échange
avec ces dernières substitutions sont tous congrus à zéro.
Posons maintenant
et prenons pour indices indépendants S,, H,, E'j, H'^ à la place de X», Y»» X',, Y\. Les substitutions correspondantes C^^, Ch., C^'^, C»', étant respectivement égales h Cx.Cx',, C^.Cx^ Cx. C», C,; C^; , Cx.Cy^Cy,, ont pour caractère zéro, et leurs exposants d'échange avec les substitutions Cx.t Ci^,..., <V,*
Ct;,... seroni congrus à o. Quant à leurs exposants (rechange mutuels, ils seront également congrus à zéro, sauf (Cj^Ch,), (Q^Ch',) fl"» sont congrus à i .
On peut enfin remplacer les indices indépendants desX— 2 systèmes restants par des indices réels Z, U, Z\ U',... tels, que les exposants d'échange mutuels des substitutions correspondantes soient congrus à o, sauf (CzCu), (Cï.C,j,),... et que leurs caractères soient également congrus à o, sauf pour Cz, Cu, qui auront pour caractère o ou i suivant que X est pair ou impair.
Désignons maintenant par j?,, Ji,..., ^,„ />„ les indices actuellement représentés par Z, U, Z', U',..., S,, H,, Xj, Yj,..., H',, H',, X'.^, Y^,.... La substitution T, remplaçant ces indices par Z, U, Z', U',..., S, -h H',, H^, X'^, Y',,..., a, 4- H,, H',, X2, Y2,... sera égale à
produit dont chaque facteur appartient à I.
676. Passons à Texamen du groupe Fo- Soient [5,52...jr les indices imaginaires qui ramènent T© à sa forme type; C|,ç,...^ les substitutions correspondantes. Leurs caractères sont congrus à zéro, et leurs exposants d'échange également, sauf ceux-ci (Q,ç,...rQ,ç,...,,^v)t qui seront congrus à i; et les substitutions de T© seront de la forme à'P;^, <l* étant la substitution qui remplace chaque indice par l'indice correspondant de la série suivante, et ^ une substitution hypoabélienne qui ne déplace pas les séries.
Nous allons démontrer que les substitutions de la forme ^appartiennent toutes à L Pour cela, désignons par x^, y^ a?;., >v,... les indices précédemment désignés par [?il2...jo»---» [?iÇ2---jr- Soit
une des substitutions de la forme ^. Les substitutions C^.)'C*^*'..., CÎ^CJ.].' .......
transformées de C^:^, C^^,... par S doivent avoir les mêmes exposants d'échange mutuels que ces dernières substitutions» ce qui donne, entre autres relations de condition, la suivante
(34) a''-*-' -K fl'^'-^' -f . . . s I (mod.'i).
Réciproquement, a, a',... étant des entiers complexes quelconques satisfaisant à la relation ( 34 ) » I contiendra une substitution T qui transforme C^^ en Çff^Ç^l'.... Divers cas seront à distinguer dans cette démonstration.
i** Soit d'abord a''"**— i =a'*'^«-f-. .. = /«*'■*■*> o (mod. 2) : m pourra s'exprimer sans nouvelle imaginaire; car on aura
Posons maintenant
On aura (C^^C^^^)^i, (C^^D^h.v)^o» (DrD;.H.v)^ »; et les substitutions dérivées de C^^, C^^^,... pourront être considérées commejdérivées de la combinaison de Cj:^, D^ avec d'autres substitutions E^, K,... telles, que les exposants d'échange (C^rEr-Hv). (D^Er^-v)».. soient tous congrus à zéro. Soient en effet 6^ = Ci) Cj!/ ... une substitution quelconque dérivée de C^.^, C».^,...; k^^^\ k'^^ les exposants d'échange de C^-^v avec C^r, et D^; on aura ^r ' E^C^'D*'*', E^ étant une nouvelle substitution dérivée de C,^, D^i et tel s que l'on ait (Cj:^E;.+v)^(DrE,+v)^o.
Soient maintenant .r^., r^r, Crf •• des indices indépendants choisis de manière à correspondre respectivement aux substitutions C^t^, D^, Er,...; et soit e une racine arbitraire de la congruence
(35) e*'-»^' = i (moil.2).
La substitution
est évidemment hypoabélienne, et transforme C-^^ en Gf^ X^^!'^ = Gf^ G^^
Enfin, T ou son carré appartiendra à 1. Car soient I,, I2,... les substitutions de I; si T etT* n'appartenaient pas à I, H contiendrait les substitutions I,, I2,...; TI|, TIa,...; T*I|, T^Ia,..., qui sont évidemment distinctes; donc 1 contiendrait tout au plus le tiers des substitutions de H : résultat absurde, car il en contient la moitié.
Si l'ordre de T est un nombre impair 2 a 4- 1 , on aura T = T'^*"*^'^ Donc I, contenant P, contiendra T. Or, pour que cette condition soit satisfaite, il suffit évidemment que la congruence caractéristique de T n'ait pas de racine égale à l'unité; d'où la relation
(36) [a^- i) [e^a'"^"^!) — [em''-^^Y= [e[\ - af } ^ i - ^/ •''> o (mod. 2 ..
inégalité qui sera satisfaite pour toutes les valeurs de e, sauf une seule
2** Soit a*'"*"*— i^o, mais a'^'"^*— i^o(mo(1. 2). La substitution
est évidemment hypoabélienne; et Ton voit, comme au n^ 675, qu*eHe est contenue dans I. D'autre part, on vient de voir que I contient une substitution T, qui transforme C^.^ en C^fC^^''.. .; il contiendra donc T, U, qui le transforme en Cjf C^^'....
3® Soit a*""^*— I ^a'^""^*— 1 :=...Ef^o et v> i. On pourra déterminer un entier complexe a différent de l'unité, et qui satisfasse à la relation
«*"':^i (mod.2).
Soient e et £ deux racines arbitrairement choisies de la congruence ('^5), ^t posons j3 = (i — a). On aura
= 2 (a'*+' -h (3''-^') -h j a'^ta'e -^(ea'efa \ \ a'* (3 -h (3''a j = o ~ a'*-^' -f- «'»'+».
f)'ailleurs a et e étant fixés, on pourra déterminer £ de telle sorte que la ongruence
(aa-f- Ert'^P)»'-*-'— i=(«a)>'5a'ej3 -h aa(€fl' ^j3)»' = o (mod.2)
e soit pas satisfaite. Car cette congruence ne peut avoir plus de 2^ racines, 1 6 est susceptible de 2^+1 valeurs distinctes.
Cela posé, le groupe I contiendra une substitution U qui transforme C;^^ „ C^-^^'''^>)^a^^-^-'e^)^Qa'^\ Sj jg pjyg ^y^ détermine e de telle sorte que
l 'on ait
(a — i){e<x — i) — e(3*^o (mod.2),
<!€ qui est évidemment possible, 1 contiendra la substitution
V — I . . . , ^r, Jr, , a''' J^r "t" 6^' ^^^/r, P*' ^r -+" e'^ of y'r, . . . |,
car cette substitution est hypoabélienne et d'ordre impair. Par la même
51 i UVRE QUATRIÈME.
raison, il contiendra la suivante
Cela posé, 1 contiendra la substitution 7 = 11 V""'W"\ qui transforme Cj.^ en
4** Soit a^'"*"*— I EEEEa'^'^*— i5^...==oetv = i. Les quantités a, a',..., satisfaisant à la relation (34)» seront en nombre impair. Soit {'une racine de la congruence irréductible du second degré. La substitution U qui remplace
poabélienne, et transforme C^^ en C^^C^^Q/, de plus, en remplaçant les indices indépendants imaginaires par des indices réels, on voit sans difficulté qu'elle appartient à L La substitution U et ses analogues, combinées ensemble, et a la substitution
laquelle est bypoabélienne de degré impair, et par suite appartient à I, permettent évidemment de transformer C^, en C"*'C''^Cf* ....
677. Il est aisé maintenant de prouver, comme nous Tavons annoncé, que toute substitution de la forme ^ appartient à L Soient ^i une do ces
substitutions; C"''C^^*'... la transformée de C^, par ^, ; T la substitution de forme \ qui appartient à I et donne la même transformée. On aura 5, = ^^T, ^2 étant une nouvelle substitution bypoabélienne, de forme ^, et qui transforme Car, en elle-même. Soit Cj^Cj^' . .. la transformée de C^^ par ^2- Son exposant d'écbange avec Cj.^^ , que §2 transforme en elle-même, doit être congru à (C^. C;^^^ ) ^^^ o . Donc b = o. Cela posé, on voit comme tout à
l'heure que I contient une substitution T, de forme ^ qui transforme C^^ en C^^*"... sans altérer C,^; on aura :^2 = ^jT|, ^, étant une nouvelle substitution bypoabélienne, de forme ^, et qui transforme les substitutions C^^, C^^ en elles-mêmes. Poursuivant ainsi, on voit que ^1 est le produit de substitutions appartenant à I par une dernière substitution qui transforme les substitutions C^^» C^^,... en elles-mêmes, et par suite se réduit à Tunité.
678. Au conlraÎTe, la substitution ï n'appartient pas à I. Remarquons d'abord qu'elle est le produit de fji substitutions hypoabéliennes paieille^ entre elles et qui permutent respectivement entre eux, et d'une manière circulaire, les indices (To».. 9 ^r*-*M les indices yo»«-» J'r»--*» etc. Le nombre /x
semblables systèmes de valeurs, il faudra qu'on ait
p' — . pE= r' — r^ v^g2*-'^2*-' (mod. 2*),
et si celle condition est satisfaite, on aura pour r, r y q systèmes de valeurs, représentés par les formules r :=r p -h 2**, r' = p' -h 2**, k étant un entier. Il vient ainsi
^ Mais si Ton donne successivement à k toute la suite des valeurs o,..., y~i»
la quantité p -1- 2*^(mod.y) prendra une fois chacune des mêmes valeurs;
d'ailleursy^' wse réduit ày (mod. 2) : il viendra donc
Celte expression est donc une fonction âjfinétrique des racines y,..., y* de la congruencsJ; c'est donc un entier réel, congru à o ou à i (mod. 2). De plus, elle est indépendante de /s. Désignons-la pour abréger par d^^ne ^ on aura en particulier d^^^q^i (mod. 2). Enfin l'on aura
679. Prenons pour indices indépendants, à la place des indices ..., Zop,
• • • » -^mp » • • • ^eUX-Cl I • • • , -^op ^^^^^ "^Op "ï ^0 \ ^ \o ' ' • • •" ^om -^mp "" • • • t • • • »
2^p^j3,„p,..., auxquels correspondent respectivement les substitutions ..., D'„p= Dop,..., D'^p = DJ^'»'"D,;,p La substitution S' prendra la forme
analogue à la forme (38); et les substitutions D'^^p auro$jÇièil» exposants d'échange mutuels congrus à zéro, sauf ceux de la forn»^|^D'^' p^2«-*}' lesquels seront des entiers réels indépendants de p et pourront être désignés par le symbole d'^„j. On aura d'ailleurs évidemment
^'mm'^^'m'm^ ^'o 0 = ' » é/'. ,„= 2 (/.;„ = O (mOCl.2).
Deux cas pourront se présenter ici :
i'' Si la quantités d\^ par exemple est congrue à i, on pourra rem-
placer les indices ..., ^op»---» ^ip»*--» ^mp»--- par de nouveaux indices
..., Zpp= Z^p,.,., ^ip = ^ip"-t~ «ij22p "^ ••• ~^ ^iw ^»ip"+" • ••• ••• ^mp=^mp»'**
tels : i" que la substitution S' rapportée à ces nouveaux indices ne change pas d'expression; 2® que les substitutions correspondantes ..., D^p,... aient leurs exposants d'échange mutuels congrus à zéro, sauf ceux de la forme (DmpD^.p-h2«-')» ^"' seront des entiers réels indépendants de p et pourront êlre désignés par rf^»/- 0" ^^^^^ ^" outre les relations
" mm' ==^ ^' m'm » ^ • o = " i i = * ♦ " • i = " o'" = " i m == O.
Si maintenant Tune des quantités rfjj,..., cT^^^... était congrue à i, on pourrait effectuer un nouveau changement d'indices analogue aux précédents; dans le cas contraire, on ferait ce nouveau changement de la manière que nous allons indiquer.
2® Soit d\^^...^d'^^^...^o. La substitution D',p ne pouvant avoir tous ses exposants d'échange congrus à zéro, et d\Q^d\^ étant congru à zéro, l'une au moins des quantités d\^,..., d\^ le sera h l'unité. Soit, pour fixer les idées, d^^^d\^^\ . Prenons pour indices indépendants
ceux—Cl ! • • • « -^op "^^^ ^op»'*'' "^ip "^^^^ ^ I p "• ^23 "^SP ■" • • • «• ^ 2m ^mO ' • • • » .. . , Z2p= ■2» 2p "' ^ 1 3 ^'Sp "• • • • •" \m ^mO "■ • • • » • • • » ^mO ^^^^ ^mO' ^^ SUDSlllU"
tion S' rapportée a ces nouveaux indices ne changera pas d'expression. En outre, les substitutions correspondantes D^p ont leurs exposants d'échange congrus à zéro, sauf ceux de la forme (D^pD^/,p^a«-')^^mm'» qu" seront des entiers réels. Enfin Ton aura évidemment
Si Ton a d\^=^,..^d''^^^o, on fera un nouveau changement d'indices analogue à ce dernier. Sinon on opérera comme à l'alinéa précédent. Continuant ainsi, on arrivera au résultat suivant :
On peut remplacer les indices Zoo » • • • » ^mp» • • • P^^ de nouveaux indices «/qo • • • • '^/np» • • • ^eis ,
I® Que la substitution S', rapportée à ces nouveaux indices^ prenne la forme
I Wffip Um,^\ |f
2® Que les substitutions Eoot . . . » E;;,p, . . . , correspondantes à ces indices, aient leurs exposants d'échange mutuels congrus à zéro,> sauf ceux de la forme (E;„pE,„'.jH-2*-')» 9"' seront des entiers réels ^ indépendants de p, et pourront être désignés par le symbole général e,„m'. Ces quantités satisferont à la relation
5i6 LIVRE QUATRIÈME.
e,n,n'= e^m. Eli outrc, les quantités e,„f^,...9 ^mm'*"* correspondantes à une
même valeur de /w, seront toutes congrues à zéro, sauf une seule.
680. Groupons les nouveaux indices en classes, en réunissant ensemble ceux qui correspondent à une même valeur de m, et qui sont évidemment des fonctions conjuguées. Ces classes pourront être de deux espèces: I** celles pour lesquelles e^n^^'^ 2** celles pour lesquelles e„,^^o; si ces dernières classes existent, elles peuvent être associées deux à deux; car si c^^^^o, on aura une relation telle que e,„,^E^ 1 , m' étant ^m; on aura par suite e,^,n^ i, d'où e^^m'^o, avec e^m'^^^^m'in"^^^^ si m" diffère de m et de m'. Les deux classes qui ont pour premier indice m et m* sont ainsi associées.
Le nombre total des classes étant égal au nombre impair q, et celles de seconde espèce éiant en nombre pair, il existera un nombre impair de classes de première espèce.
Cela posé, la substitution S' est le produit de deux espèces de substitutions partielles: i"" des substitutions altérant les indices d'une seule classe de première espèce; a® des substitutions altérant à la fois les indices de deux classes associées de seconde espèce. Il est d'ailleurs évident que chacun de ces facteurs partiels est une substitution bypoabélienne. On voir en outre, comme au n** 674, que chacun des facteurs de la seconde espèce appartient à L Si nous prouvons qu'aucun des facteurs de la première espèce ne lui appartient, notre proposition sera établie : car ces facteurs étant en nombre impair dans S\ S' et par suite S n'appartiendront pas à L
681, SoitT= 1 i/op Wo,jH., I l'un de ces facteurs (nous omettons d'écrire les indices qu'il n'altère pas, et dont nous n'aurons plus à nous occuper). Remplaçons les indices imaginaires Moo>**** ^op****» ^o,2«~i P^i* d^s indices réels i'o»''-» ^p. ••> ^2«~i choisis de manière a ramener T à sa forme canonique. La substitution T ayant pour ordre 2", et la somme Uoo -+-••• H- «^o.a»-! étant la seule fonction des indices que T n'altère pas, cette forme canonique sera la suivante
(89) T = I i'o, . . . , fp, . . . , t'a»-! i'o -h f „ . . . , fp -h t'^i, . . . , ^ï«-i |.
Soient Co,..., Cp,... les substitutions correspondantes aux nouveaux indices: T les transforme en Qq^..., OpCp,,...; elle transforme donc l'exposant d'échange (©p©a) en {Q^Q^t .e<,C<,,); et comme elle ne doit pas l'ai-
térer» on aura la condition
(4o) (CpC,)-H(e^.e.)-h(ep,a,,) = o
• qui subsistera pour toule valeur de p ei de a {en supprimant, si o ou a était égal à I, les termes où figureraient des indices négatifs).
Par l'application réitérée de cette formule, on voit sans peine; i"* que l'on aura toujours (CpG^)E^o si p-h (7< 2"— i; par suite, on aura toujours (SpGa)==i» si p-h(7=2*— i; car sans cela le déterminant des exposants d'échange serait congru à o; 2^ que si p -f- (T > 2*— i, {<^^Oa) pourra s'exprimer linéairement en fonction des 2*~* — 1 quantités (Gaa-ieja-i^, j,..., (e2•-l^.nea«-l^.^4^,). .. . , quc l'ou pourra désigner par ao,..., a^^, ... et qui restent non déterminées.
Cela posé, on pourra, tout en conservant k T sa forme canonique, choisir les indices indépendants de telle sorte que les entiers a,,..., a^.,... prennent des valeurs fixées à volonté. Supposons en effet que a^,... a^^t aient déjà les valeurs voulues, mais qu'il n'en soit pas de même de a^. Prenons pour indices indépendants, à la place de ^o»««» ^p»-- les indices r^,..., {^'^ ,... déterminés par les relations
v^ = v'^-+- i^'p^,^^! si p -h 2fA -f- 1 < a% = v^ si p -h 2// H- i = 2«.
La substitution T conservera sa forme canonique. D'autre part, les substitutions Gq,..., Gjji^,..., 3p ,... correspondantes à ces nouveaux indices seront respectivement égales à Co,..., Gaji,..., GpCp 2pL-i».... Posons donc (e',«-.^.x Gj—i^x^, ) =- a; ; on aura
Cette expression est la somme de quatre exposants d'échange partiels dont le premier sera égal à ai et les autres à zéro, si X<jji; donc a^,..., à,^^ seront respectivement égaux à ao»..., a^^t, qui ont déjà les valeurs voulues. Soit au contraire X = (x; un seul des quatre exposants d'échange partiels sera congru à zéro, et l'on aura
expression que la relation (4o) réduira à
a^ + (Oa^-ï+p, Cï«-»s»w) ^^i «n -h I ( mod. 2 ).
Donc à^ aura la valeur voulue.
Les entiers a^,..., a^,... pouvant ainsi être déterminés arbitrairement, les substitutions hypoabéliennes de la forme T se réduiront à deux types seulement, correspondant aux deux valeurs que peut prendre le paramètre restant a^.
682. Nous allons montrer que, quelle que soit la valeur de ce paramètre, T ne pourra appartenir à I. Pour cela, prenons pour indices indépendants ceux-ci :
T prendra la forme
Réciproquement, toute substitution hypoabélienne de cette forme peut être mise sous la forme (Sg). En effet, soit, pour fixer les idées, 2*= 8; et soient (©o,..., ô^^ les substitutions correspondantes aux indices fv«,..., cv,. La substitution (/m) transformera (Dp en (£)p|. Posons donc
a« = (ô. (D, . . . (Ê>„ 8, = Côo (ôî (©4 (fc)„ G, = (Dp (©", (©4 CDs, Z-, = ciDo 0^4,
84=(î)oC0iC£)j(Ô3, G5=:(DoCÔj, G«=:(Î)«CÔ„ G7 = CÔo,
et déterminons un système d'indices i'o»---» ^7 respectivement correspondants à ces substitutions. La substitution (40 transforme évidemment Go, G,,..., G, en Go, G, Go,..., G^G^; elle prendra donc la forme (39) si on la rapporte aux indices i^o»--. ficela posé, la substitution (/|i) étant hypoabélienne, n'altère pas les caractères ni les exposants d'échange mutuels des substitutions cD,.,..., côj»-,. Donc ces caractères sont tous égaux. En outre elle transforme (côpCô^,) en f(ôp|();)e,,); on aura donc
(ak)p(ô^)^(cOp,(jt)a.)^ . . .^((.ôtfCOa-pS Soit 6^p cette expression, on aura, si p > 2*"*,
Donc tous les exposants d'échange (<^'t)p(D<y) s expriment au moyen des 2*~* quantités i|,..., ij»-!.
On doit remarquer d*ailleurs que 62.-1 est congru à 1 : car le déterminant
(les exposants d'échange ((£)pi)<T) ne peut être congru à zéro; mais si Ton avait bin-x^o^ les termes qui composent chaque ligne horizontale du déterminant seraient égaux deux à deux en vertu de la relation {/^2). La dernière colonne verticale serait donc congrue (mod.2) à la somme des colonnes précédentes, et, par suite, le déterminant serait congru à zéro.
La substitution (40* rapportée aux indices i^o»--*^ ^2«-i* appartiendra à l'un ou à l'aulre des deux types signalés ci-dessus, suivant que l'expression
(9,«-iGj«-i-K, )^{(£)o(î)i. . . (Dp. . .cO,«-i,.0k)«cOa. . . (ô,p. . . a),«-i-.2)
^ ft, -♦- . . . -h ftap+, -h ... -h 6a«-ï^,
sera congrue à o ou a i .
Elle appartiendra donc au premier type, si 6,, 62,..., 62*-'-! sont congrus à zéro, au second si i< seul diffère de zéro. Dans l'un et l'autre cas, nous allons voir qu'elle n'appartient pas à L
683. Premier cas : 6,, 62,..., i2*-'-i sont congrus à zéro, — Désignons par Up la substitution qui permute ensemble, d'une part les deux indices tVp, M^p+i » d'autre part les indices «P'a^-'+p» M^2«-'+p+i » sans altérer les autres indices; par V la substitution qui permute entre eux les indices w^, tVaa-. , sans altérer les autres. Chacune de ces substitutions est évidemment hypoabélienne, et il est clair que la substitution (/m) est égale au produit
V Uo U| . . . U2«— ' — 2*
Cela posé, il est aisé de voir que la substitution V n'appartient pas a 1, tandis que chacun des autres facteurs U©» U,,... appartient à ce groupe. En effet, si les substitutions â\, cô,,... ont pour caractère zéro, on pourra désigner pariCi,..., a?2*-«; Jm»...72*-' les indices actuellement représentés par
«^of» «^2«-i- Cela faitr les substitutions V, Uo, U ne seront autres que
les substitutions M,, P|,2, Pa.a,... du n'^220; donc V n'appartiendra pas à 1 (274 et 672); au contraire, chacune des substitutions P,,2, P2,3»-«- i^ppartiendra à ce groupe (674).
Supposons au contraire que les substitutions cOo» ^«t)|,... aient pour caractère I. Soient a?,, j,, ^2»/2»«-» de nouveaux indices, déterminés par les relations
Les substitutions ..., CÔapCÔap+i, 0fe)2»-i+2p<J^ap-4-i» CÔ2pCO2p+|002«-«+ap002«-«-4-2p-n»
(Ô2p(î)2«-.^.2p(ôa«-i^.2p+o--- correspondantes à ces nouveaux indices ont mêmes exposants d'échange mutuels que CDo,..., (£)2«-.i; mais leurs caractères sont égaux à zéro; cela posé, on pourra, sans nulle ditiiculté, déterminer l'expression de chacune des substitutions Y, Uo en fonction de ces nouveaux indices, et vérifier que V n'appartient pas à I, mais que Uo lui appartient. Quant aux substitutions Uo... analogues à Uo, elles lui appartiendront évidemment,
684. Second cas : i< ^e i , h,2='..^=o. — Soient U la substitution qui transforme en général cDp en cDp^i, à l'exception des six substitutions (Do, (Do
cQ2«-'-i» côaa-i, c02«2. (î)2«-it qu'cllc transformc en (Do, (D2cD,(ï)o, (D2«-icD,(D.,, (Da*-!^, cD,(î)o, (D2«i :D,(î)o, (D,; V la substitution qui transforme (Do, (©,, (£>,,
COjcc-i, (D2«-'+i, (D2«i en (D,, tDo, (D2^î)i(Do, (D2«-i(D|(Do, (D2«-'+|(D«(Do, (Ô2«-«®i®o«
Il est clair que ces deux substitutions sont hypoabéliennes, et que leur produit donne la substitution (4i).
Cela posé, U laisse (D© invariable, et transforme circulairement lès unes dans les autres, d'une part les 2*h-2*-*— 3 substitutions (D2, (D,,...,
(Dja— i j, (Dja— 1 (0| (Do, (W2«— 14.1 (©2 ^^0 » * • • » (D2«« (D2«— > (Do , (D2«--'-i-|, (D2*— 1^2»' • • »
cD2«2» (D2«i tD,(Do, d'autre part les 2*-h2*"* — 3 substitutions (D,, (02®! (D„,
(D3 (D2 ^1 , • • • > (D2p(D2p— 1 • • • ®0» (D2{H.| ®2p» • • ®l » • • • » (D2«— '(JD2«— •— I • • • (D2 f • • • , (t)2«~' -f-p^2*~'-+-p • •• (*^2-+-p»»»«> Cfc)2« — |0J2* 2** • (D2«— i^- |,..*, (D2* !••• (D2«— '4- 2p(Do,
(D2«i...(î)2«-' + 2p+i»--»» ôC>2«-i- Donc la puissance 2*4- 2*~*— 3 de la substitution U laisse invariables les substitutions ci-dessus, ainsi que (Do*, donc elle se réduit à l'unité. Donc l'ordre de U est impair; donc U appartient à I.
D'autre part, V n'appartient pas à I. En effet, celles des substitutions dérivées de cDo,..., (D2«-i dont les exposants d'échange avec (Do et(D< sont congrus à zéro forment un groupe G, dérivé des substitutions suivantes; (i^aûDo, (î), ,.. . , (D2«-i(D« , (D2«-i4.i (Do, G^i^-t^i^.. . , (Dg.., (Do, auxquelles V esl échangeable. Ce groupe G peut être considéré comme dérivé d'une double suite de substitutions ^v, ifi, .1/, iPo',... dont les exposants d'échange soient tous congrus à zéro, sauf ceux-ci, (•^iil))^(^i,'iii,')^^...=^ i et dont les caractères soient congrus à o, sauf pour .i et di., dont les caractères seront tous deux congrus a o ou à 1 . De même les substitutions (Do, (D, peuvent avoir pour caractère o ou i.
Supposons d'abord que -A, di, aient pour caractère zéro. Soient a?,, j'^, ^2» J2»«-- tjn système d'indices indépendants correspondant respectivement aux substitutions (Do, (D,, x, Db, La substitution Y, rapportée à ces indices, n'est autre que la substitution M| du n"" 220 et n'appartient pas à I.
Si Xf aa>, ont pour caractère i, et (Do, (D, pour caractère zéro, on prendra pour a?,, j,, a?a, 7a,... les indices qui correspondent à 4, iJb, (D©» ®m •^'» îfc',...,-et V = M2 n'appartiendra pas à I.
Enfin, si «i., oïl), (Dq, <©, ont pour caraclère i, on rapportera V aux indices ^n^M ^îfj2»--- qui correspondent aux substitutions -i>(Do, ifcCDo» •^ift>CDo®i» i'CDo (Di , ai'', 1)1', . . . , et Ton vérifiera immédiatement que V n'appartient pas à I .
685. Théorkme. — Un groupe indécomposable T de troisième catégorie a son exposant égal à i , si 2 est non résidu quadratique de p.
En effet, parmi les groupes auxiliaires qui concourent à la construction de r, il en est au moins un L de seconde catégorie. Ce groupe auxiliaire étant supposé décomposable, pour plus de généralité, est formé à l'aide de deux groupes partiels D et r,,. Les substitutions de ce dernier groupe sont de la forme ^^, les substitutions ^appartenant à I, et la substitution 0? ne lui appartenant pas (678). Mais pour que l'exposant de r» fût égal à 2, il fa.udrait que toutes les substitutions de Fo appartinssent à I (673); il faudrait donc que l'exposant p fût pair dans toutes les substitutions de Tq.
Or soit 2*** le degré de Tq; si jx= i , Tq contiendra la substitution a'; donc
1^ théorème sera démontré. Soit au contraire [i = 7rJ°7r'(>^«...; les entiers 7r„,
^^V> ••••» divisant 2t*-i-i, seront impairs; et la conslrnction de T© dépend de
0^1 le de groupes auxiliaires Lo, L'^»... contenus dans les groupes abéliens
d^ degrés ttJ^s tto^*^», Ces groupes seront respectivement formés de sub-
st^m ILutions abéliennes propres, jointes à des substitutions S, S',... qui multif>Is€^nt les exposants d'échange par g^**» (mod. 7r„), g'^^itnod.n^),. . ,, g, -.. étant des racines primitives des congruences ^'^«■■* ^=o(mod. 7r„j, ^•••^©(mod.Tr'o),.. . et rf©, d'^,... des entiers égaux à 1 ou à 2. Cela , pour que To contienne une substitution de la forme <i?P^, il faul et il U(655-§^6) qu'on puisse satisfaire aux relations
\ ' 2p = ^''o'(mod.7r,)=/?^''''.''(mod.7r'J=. . .
ir des valeurs convenables de £, e\
insidérons par exemple la première de ces relations. On pourra toujours
y Satisfaire, quel que soit/o, si rfo = '» ou si d^^ étant égal à 2, 2 est résidu
^v&adratique de tiq. Au contraire, si Ton a ^0 = 2 et 2 non résidu de 7r„, on
^^ |)Ourra y satisfaire que si p est pair.
^lais si do = 2, Lo est de troisième catégorie; donc pour que r„ ne con-
^^Onne que des substitutions où p soit pair, il faut et il sufiit que l'un L^
^m UYHB QUATRIÈME.
de^ groupes auxiliaires dont dépend sa construction soit de troisième catégorie; qu*il ait pour degré une puissance d*un nombre, premier rr» dont a ne soit pas résidu quadratique; enfin, que l'exposant d^ de ce groupe soit égal à 2.
Supposons, pour plus de généralité, que le groupe Lo soit décomposable: il se construit à Taide de deux groupes, D,, r,; ce dernier groupe, indécomposable, de troisième' catégorie, -a pour ordre une puissance de tto, et pour exposant d,,. Il (ait donc exception au théorème.
Donc si le théorème était faux pour le groupe r, il serait faux pour le groupe r,, dont le degré est moindre; on verrait de même qu'il est faux pour un groupe Ta, de degré moindre que r,, et ainsi de suite à l'inlini, ce qui est absurde.
