RÉSUMÉ

liéduction du problème \ .

686. Les groupes résolubiest transitifs et généraux de degré M se partagent en classes, respectivement correspondantes aux diverses décompositions de M en un produit de facteurs qui soient tous des puissances de nombres premiers. (On considérera comme distinctes deux décompositions qui offrent les mêmes facteurs, mais dans un ordre différent.)

Soit, par exemple, M = qq'^ une de ces décompositions. Les groupes de la classe correspondante s'obtiennent ainsi qu'il suit :

Désignons les M racines par le symbole général [xx'x''); x, x\ x" étant des indices indépendants, variables respectivement de o à ^ — i, de o îi q'— I , de o à y"— I . Groupons les racines en systèmes et sous-systèmes, en réunissant dans un même système celles pour lesquelles a? a la même valeur, et dans un même sous-système toutes celles pour lesquelles x et x' ont les mêmes valeurs.

Soient maintenant àf^ un groupe résoluble, général et primiu/ entre les q^ racines (ooor^); LT son ordre; A' un groupe résoluble aussi général que possible parmi ceux dont les substitutions permutent entre eux d'une manière primitive les q' sous-systèmes pour lesquels ^= o, en remplaçant les unes par les autres les racines pour lesquelles x^' a la même valeur, et n'altèrent pas les indices des autres systèmes; Q' Tordre de A'; A un groupe résoluble aussi général que possible parmi ceux dont les substitutions permutent les q systèmes entre eux d'une manière primitive en remplaçant les unes par les autres les racines pour lesquelles x\ x'' ont les mêmes valeurs; n l'ordre de A. Les groupes A, A', A", combinés entre eux, forment un groupe résoluble et transitif d'ordre îîîî'^û"^^. On obtiendra réciproquement tous les groupes cherchés en choisissant successivement de toutes les manières possibles les groupes A, A', A''.

687. La question se trouve ainsi ramenée à la construction de ces der-

niers groupes. Soient A l'un d'entre eux, q= p*^ son degré. Désignons actuellennent les p^ racines de ce groupe par le synïbole [xy...) où x^ y... sont des indices en nombre n, variables de o a/?— i. Le premier faisceau de A sera formé des substitutions

et ce groupe résultera de la combinaison des substitutions ci-dessus avec d'autres substitutions de la forme linéaire

I JT, j, . . . ao; -f- 6 r -H • • • » a' x-^ V y -h ...... . | ,

le groupe partiel formé par ces dernières substitutions étant résoluble, primaire et général.

Voilà donc le problème A ramené au problème B.

Réduction du problème B.

688. Les groupes résolubles, primaires et généraux du degré /9" se partagent en classes, correspondantes aux diverses décompositions de rexposant n en deux facteurs. (L'un de ces facteurs peut être égal à j, et Ton considérera comme distinctes deux décompositions qui diffèrent par Tordre des facteurs.)

Soit n = Xm une de ces décompositions : les groupes de la classe correspondante s'obtiennent comme il suit :

Partageons les n indices donnés en X systèmes, ^r,, j,, ...;...; x\, y^..., contenant chacun m indices; et formons : i^ d'une part, un groupe D dont les substitutions permutent les systèmes entre eux (en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants) de telle sorte que les déplacements d'ensemble des X systèmes forment un groupe résoluble, transitif et général; 2^ d'autre part, un groupe F, dont les substitutions laissent tous les indices invariables, sauf ceux du premier système, qu'elles remplacent par des fonctions linéaires de ces mêmes indices, et par rapport auxquels elles forment un groupe résoluble primaire, général et indécomposable.

Soient respectivement û et 0 les ordres de D et de T : le groupe d'ordre ii0^9 qui résulte de la coipbinaison de ces deux-là, sera l'un de ceux que nous cherchons. Récipro^MÉient, tous les groupes cherchés s'obtiendront par cette construction, en choisissant successivement de toutes les manières possibles les groupes D et F.

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. »!i5

Or D est un groupe résoluble, transitif et général de degré X. Pour le déterminer, on se trouve donc conduit k résoudre le problème A, mais pour unr degré fort inférieur a p^.

Il ne reste donc plus, pour achever la résolution des problèmes A et B, qu'à construire les groupes résolubles, primaires et indécomposables les plus généraux, tels que r.

689. Or, posons m=^vn^n'^\..; p" étant > 2, et n, n\... étant des nombres premiers égaux ou non, qui divisent/?''— i, et dont Tordre est indifTérent : les groupes cherchés r se répartissent en classes correspondantes aux diverses décompositions de cetle espèce, et peuvent se construire comme nous allons Tindiquer.

Au lieu de désigner les indices par a?,, j^,,..., 2,, représentons-les par le symbole général (|i la- ••>?« •••)?• ^^ P ^^^ ^" iWica/eur variable de o à v — i-, Ç,, laf- des indicateurs, en nombre (7, variables de o à rr— i; >?,,... des indicateurs, en nombre (f, variables de o à n'—i; etc. Posons ensuite

( étant une racine d'une congruence irréductible de degré v : et prenons pour indices indépendants les expressions [|, |2-*->7i**'Jr- Deux cas seront à distinguer.

690. 1** Si /7i = v, d'où 7r'';r'^'... = i, les indicateurs ?,, S^,..., vj,,... n'ont chacun qu'une seule valeur, zéro, et l'on pourra écrire, pour abréger, u^ à la place de [00... o...];.. Cela posé, le groupe T ne pourra être construit que d'une seule manière, et sera formé des v (/?''— i) substitutions de la forme

OÙ p varie de o a v — 1 (mod. v), et où a est un entier complexe formé avec l'imaginaire i.

691. 2® Si m>v, supposons, pour fixer les idées, m = v7r'^7r'^. Giaque substitution de r remplacera en général l'indice [§i ?a...>3i...]r par une fionction de la forme

y \ ^ijl. .m\. . ! ['• A- • • 'W,. . .Jr+p,

la sommation s'étendant à tous les systèmes de valeurs de /,, /a»»..-! /7t,,...;

526 UVRE QUATRdil».

p étant un entier constant pour chaque substitution, et le» quantités ^ étant des entiers complexes formés avec i.

Ces substitutions sont complètement déterminées lorsqu'on connaît les fonctions par lesquelles elles remplacent les indices de la première série. On pourra donc, en omettant dans l'écriture ce qni concerne les autres indices, les représenter par le symbole

[$.5»...yj....]. 2^(x)X X [A/i...m....],

Le groupe F ne contient d'ailleurs qu'une partie des substitutions de la foriiîe (i). Pour le déterminer avec plus de précision^ il faut construire son premier et son second faisceau.

- 692. Son premier faisceau F est formé des substitutions

I (Si Ça- • • 'ÎO» • • •]• ût[Çi Ça. • • TQi • . -Jo j»

où a est un entier complexe indépendant de §,, Iq»-**» y^m*-*- Pour le second faisceau G, divers cas sont à distinguer : i'' Si p^^ f (mod.4)9 G résultera de la combinaison de F ave^: les substitutions suivantes :

Al = 1 [ÇiÇj..'"yîf«]o O^i [$.$j...r],...]. |, B, = |[Ç,Ç,^..yî,...], [Si-hi, $i,...,yîi,...]#|

A'i=|[$»Êv^tM.l» 6"'«[$i$J...^i. ..]•!> 8'i = |[?i$a...yji...]» [?t, ?!,...» TQ. 4-1, •.,]•!

où 9, 6' sont respectivement des racines primitives des congruences

6*=2ï, 6"^^i (mod.p).

2** Si /9''=^3(mod.4), G résulte de la combinaison de F avec eertaines

substitutions A^ B,, A,, Bs*...» A'^, B\, Ces substitutions auront la

même forme que précédemment si n, n' sont impairs. Mais si quelqu'un de ces nombres, n par exemple, se réduit à 2, les deux premières substitultoos A4, Bf de la double suite correspondante A,, B,, A2, B^,... pourront être, soit de la forme (2), soit de celle-ci :

( A, =:r I [g, Çt. . .7),. . .]. — 6^'[5' "+".^ ?'»• • •» ^'»-- •]• I»

DB LA RÊSOLimON PAR BADICAUX. fSÊft

a, j3 étsnt deHX enlier» arbitrairest qui satisfdssent k la relation

693. Cela posé^ soit L un groupe résoluble et primaire de degré tt^^, aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus : dans le groupe abélien, si Ton n'a pas à la fois/>''r^3(mod.4) et tt = s; dads le groupe bypoabélien de première espèce, si p"* étant congru à 3(mod.4) et n égal à 2, A, et Bf ont la forme (2); dans le groupe hypoabélien de seconde espèce, si A,, B| ont la forme (3). Les substitutions de L seront de la forme W*S, S étant une substitution abélienne propre, c'est-à-dire qui n*altère pas les exposants d'échange, W une substitution qui les multiplie par ^'^ g une racine primitive de la congruence g^'^^i (mod.Tr), et d un entier égal, suivant les cas, à i ou à 2, et que nous appellerons V exposant du groupe L.

Soit de même h' un groupe résoluble et primaire île degré *'*^j aussi général que possible parmi ceux qui sont contenus dans le groupe ^él^ (dans l'un des groupes hypoabéliens); soient W, S', g\ d' les substitutions et les quantités analogues à W, S, ^, «f et relative^s à ce groupe.

Associons maintenant les substitutions de L à ce^lles de \J de toutes les manières possibles, de telle sorte que deux substitutions associées

V = I a:,, /,, ... af, JT, H- c, /, H- . . . , 6', :r, H- d'.j, H- . . . , . . . I , V'= 1^'.,/.,... «»/./.+..., (ï.^'.-hd'.r> I>

multiplient les exposants d'échange par des facteurs respectivement congrus à une même puissance de p. Soient /^(mod.rr), /?^(mod.7r') ces fac^ teurs : on pourra déternriiner des substitutions èe la forme (i) qui transforment A|,B,,...; A',,B',,... cîn/,Af'BÎ^.., g^.Aî'Bf' ;/; A/b/»...,

g^'j A'/' Bf/'. ..,..., /,, g',,..., f[ , ^'1»... étant des substitutions de F. L'ensemble de ces substitutions correspondantes aux divers systèmes de substitutions associées forme le groupe cherché T, dont la construction se trouve ainsi ramenée à celle de L et de L\ laquelle constitue le problème C.

Soient w, w' les ordres respectifs de L, L'; ù la moindre valeur de 0 pour laquelle on puisse avoir

p? = g^'«' ( mod. r ) = g^"^*'( mod. tt'),

«, fi', étant des entiers : (^ sera un diviseur de v, au plus égal à 2, et Tordre de r sera

m cl(t),d'(ti'

A chaque manière difTérente de déterminer les groupes auxUiaires L^ L', correspond pour F un groupe différent. Cependant on obtiendra le même groupe r, à/a notationprès, en employant pour groupe auxiliaire à la place de L, par exemple, Tun quelconque des groupes qui lui sont semblables^ c'est-à-dire qui s'obtiennent en le transformant par une substitution abélienne propre (hypoabélienne).

Réduction du problème C.

694. Les groupes résolubles et primaires les plus généraux parmi ceux qui sont contenus dans les groupes abéliens(hypoabéliens) de degré y^*'' sont decomposables ou indécomposables.

695. Groupes décomposa.bl£s. -t Ces groupes sont de deux espèces : Première espèce. — Ces groupes ne peuvent exister que si p est impair,

n pair, et a résidu quadratique de p. On les construit comme il suit :

Supposons que nous ayons formé les groupes résolubles et primaires les plus généraux parmi ceux qui sont contenus dans le groupe abélien de degré /7^ et dont l'exposant est égal à 2 {*). Soient h' un de ces groupes; O' son ordre; A' le groupe partiel formé par celles de ses substitutions qui sont abéliennes propres;

I ^•, ,n» • • • «^» •+- PJo -+-... , a' ^•4- (3'/, H-

les substitutions de A', rapportées à un système quelconque d'indices indépendants 0^0» Jo'*-* Écrivons à la suite des indicesa?o* jo»--- d'autres indices en nombre égal a?,, ji,... et supposons que les exposants d'échange des substitutions correspondantes C^^,, C^,,... avec les substitutions C,,, C^.,... soient congrus à zéro, et que leurs exposants d'échange mutuels soient égaux à ceux des substitutions C^^^, C^.,... respectivement multipliés par ^"V Le groupe formé des substitutions

^0» ^t» • • • QLX% -1- |3^o "T" • • • ) OL X^ -+- p y% "T~ • • • > • • •

jointes à la suivante

(*) Foir ci-après (696 et 699) la manière de construire ces grou|)es.

sera l'un de ceux que nous cherchons. Il aura pour ordre \ » et pour exposant l'unité.

696. Seconde espèce. — Posons n = X/w. A chaque semblable décomposition correspond une classe de groupes décomposables de seconde espèce, qu'on pourra former ainsi qu'il suit.

Choisissons les indices indépendants de telle sorte qu'ils se partagent également entre X systèmes (*) a;o, jo»---; •••; ^n jr»---'»--- tels, que les exposants d'échange des substitutions correspondantes C^, C^, ...;...; C^, ^ G^. ,...;... satisfassent aux relations

(e^C^j^o si r>^r\ et (^^ ^'0 = (^^ CD

(et que leurs caractères soient indépendants de r).

Soient D un groupe résoluble aussi général que possible parmi ceux dont les substitutions permutent les systèmes entre eux d'une manière transitive, en remplaçant les uns par les autres les indices correspondants; Lq un groupe dont les substitutions laissent tous les indices invariables, sauf ceux du premier système, par rapport auxquels elles forment un groupe aussi général que possible parmi ceux qui sont résolubles, primaires, contenus dans le groupe abélien (dans l'un des groupes hypoabéliens) de degré z?^*" et indécomposables. Le groupe Lq résulte de la combinaison d'un groupe partiel A©, formé de substitutions abéliennes propres, avec une substitution W© qui multiplie les exposants d'échange mutuels des substitutions Cj:,, Cy,,... par g^^ d étant égal à i ou 2.

Cela posé, soient W,,... les substitutions analogues à W^, opérées sur les indices des autres systèmes. Le groupe décomposable de seconde espèce qu'il s'agit de construire s'obtiendra par la combinaison des substitutions de D et d£ A© avec WoW,.... Son exposant sera égal à rf, et son ordre k

û^-^*?^^-) î il et 0 étant respectivement les ordres de D et deL©. Enfin

si/7 = 2, le groupe obtenu sera contenu dans le premier groupe hypoabélien, si X est pair et L^ contenu dans l'un quelconque des deux groupes hypoabéliens de degré ^^"*, ou si X est impair et L^ contenu dans le premier groupe

(*) Les %m indices de chaque système peuvent être réels, ou imaginaires, mais dépendant d'un nombre égal de fonctions réelles qu'on puisse à chaque instant leur substituer en qualité d'indices indépendants.

hypoabélien. Il sera, au contraire, contenu dans le second groupe hypoabélien, si X est impair et Lo contenu dans le second grotipe hypoabélien.

La détermination de D ramène au problème A. Il ne reste donc plus qu'à déterniiner Lo. c'est-à-dire à résoudre le problème C dans le cas des groupes indécomposables.

697. Groupes indécomposables. — Les groupes cherchés de degré /?*'" se partagent en trois catégories.

Première catégorie, — Les groupes de celte catégorie appartiennent au groupe abélien, ou au premier groupe hypoabélien, et ont pour exposant Tunité. Pour les obtenir, posons m = vn^n"^ .... tt, tt',... étant des nombres premiers égaux ou non qui divisent />'' — i et dont l'ordre est indifférent, et/>''étant> 4» sans quoi l'on n'aurailaucune solution. Les groupes cherchés r se partagent en classes, correspondant aux diverses décompositions de cette espèce, et se construisent comme il suit.

Le problème étant supposé résolu, choisissons les indices indépendants de manière à ramener le premier faisceau de F à sa forme canonique. Les nouveaux indices formeront deux systèmes conjoints, contenant chacun V séries, contenant chacune ifn^... indices. Ces indices pourront être représentés par le symbole [S^la... y?,...],'., oti l'indicateur /, variable de o à i, caractérise les systèmes; r, variable de o à v — i, caractérise les séries; enfin ^,, ?2>--- variables de oà 7r--i,Y3,,..., variables de ok tt' — i, etc. distinguent les uns des autres les indices d'une même série. Si V est contenu dans l'un des groupeshypoabéliens, les caractères des substitutions Cç,ç,...r»,...rr correspondantes à ces indices seront congrus à zéro; et leurs exposants d'échange mutuels pourront être supposés congrus à zéro, sauf ceux-ci Q.ç,...Ti,...roQ,ç,...Ti,...ri)> qui seronlcongrusà i. Enfin les indicescorrespondants de deux séries conjuguées pourront être supposés conjugués.

Il sera aisé d'obtenir, par la méthode des coefficients indéterminés, un système d'indices indépendants, fonctions des indices originaires, et satisfaisant aux conditions ci-dessus. La solution présentera même une certaine indétermination; mais on n'en doit pas tenir compte, les divers groupes qu'elle permet d'obtenir étant tous semblables.

Cela posé, deux cas seront à distinguer :

I** Si //2 = V, d'où TT^'fr'^'... — î, les indicateurs S,, la»- •• 'îi»-- n'auront chacun qu'une valeur, zéro, et l'on pourra écrire, pour abréger, a' à la place de [oo...o...jî.. Cela posé, V sera formé des [p —i)2v(/)^— i) substitutions

OÙ a est un entier conoplexe quelconque, et son second Faisceau G s'obtient en combinant à F des substitutions A,, B,, Aj, B2,...» A',, B'j,... dont l'expression ne différera des expressions (2) et (3) (692) que par le change-

nfïent de [?« ?2.-->?i-.Jo en [?, ?2.•.>3^•..]o• Soient maintenant L, L' des groupes auxiliaires formés comme au n^ 693. Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte que les facteurs par lesquels deux substitutions associées multiplient les exposants d'échange soient congrus, suivant les modules n et n', à une même expression, de la forme (— ^Yp^* A chaque système V, V de substitutions associées on pourra faire correspondre, comme au n® 693, des substitutions de la forme (4) qui aient pour corrélatives V, V. L'ensemble des substitutions ainsi obtenues formera le groupe V.

Les quantités g, d, g\ d' étant définies comme au n*^ 693, soit k le nombre des systèmes de valeurs de t, p tels, que (— \Y p^ soit congru à une puissance de g'''(mod. tt), et a une puissance de g'"'' (mod. tt'); soient d'autre part w, w' les ordres de L, L' : l'ordre de T sera égal à

,^. , w f^ , ^ d(i}. rf'oj'

(6) {p^ik-ip^-i)

V '^ '(TT — l)(7r' — I)

Si, parmi les systèmes de valeurs de t, p ci-dessus déterminés, il n'en existait aucun où t fut égal à 1, T ne serait pas primaire, et la solution trouvée serait à rejeter.

Le problème se trouve ainsi réduit à la détermination des groupes L, L'. A chaque manière de les construire correspond pour F un groupe différent. Cependant, si Ton remplace dans la construction le groupe L, par exemple, par un autre groupe qui lui soit semblable, le nouveau groupe obtenu sera lui-même semblable à F.

698. Seconde catégorie. — Les groupes cherchés ont pour exposant Funitê. Pour les former, posons m ~ vtt*';:'^..., -, ;r',... étant des nombres premiers qui divisent />" -h i. Excluons toules celles de ces décompositions

pour lesquelles — est impair, si le groupe cherché F doit être contenu dans

le groupe hypoabélien de première espèce; toutes celles pour lesquelles

— est pair, si F doit être contenu dans le groupe hypoabélien de seconde

espèce; n'en excluons aucune si F doit simplement être contenu dans le groupe abelien. A chacune des décompositions restantes correspontl une classe de groupes F, que l'on construira comme il suit.

Supposons le premier faisceau du groupe cherché ramené à la forme canonique par un changement d'indices indépendants : les nouveaux indices formeront un seul système contenant 2v séries, et pourront être désignés par le symbole général [?il2--->3i---]r» oix l'indicateur r, variable de o à QV— I (mod. av), distingue les diverses séries; tandis que les indicateurs §,, £2,... en nombre a et variables de o à tt— i, les indicateurs yj,,... en nombre a' et variables de o à tt'— i, etc., distinguent les divers indices d'une même série.

Les substitutions correspondantes à ces divers indices peuvent être représentées par le symbole C;.çj^...yj^ ..; et l'exposant d'échange de deux quelconques d'entre elles, Crç,$,...Ti,... et C^'$;ç;...ti',... sera congru à zéro, à moins qu'on n'ait à la fois

i r'=Hr-+-v (mod. 2v),

15', ^g, -f-u, ^,^=Ç,,... (mod.Tr), yj ',^73, h- ;>',.. . (mod.Tr'),. . .,

V étant un entier constant, qu'on peut prendre égal à o ou à i si l'on a TT = 2 avec p^^ I (mod. 4)» et nul dans tous les autres cas; u' un entier constant, égal à o ou à 1 si l'on a n'= 2 avec p"^ i (mod. 4)» et nul dans tous les autres cas; etc. Si les conditions (7) sont satisfaites, l'exposant

d'échange cherché sera égal à eP\ e étant une racine arbitraire de la con-

gruence 6^^"*^= — i (mod./i), ou simplement à l'unité, suivant que i», v\... seront ou ne seront pas tous nuls. Enfin, dans le cas où F devrait être contenu dans l'un des groupes hypoabéliens, les substitutions C^ç, $,...»,.... auront toutes l'unité pour caractère.

11 sera aisé d'obtenir, par la méthode des coefficients indéterminés, un système d'indices indépendants tels, que les substitutions correspondantes satisfassent aux relations ci-dessus. La solution présentera même une certaine indétermination; maison n'en doit pas tenir compte, les divers groupes qu*elle permet d'obtenir étant tous semblables. Les indices étant ainsi choisis, deux cas seront à distinguer : 1® Si m ==: 2v, d'où n^n'^... = i, les indicateurs Ç,, |2>---» >3i»"- n'ont chacun qu'une valeur, zéro, et l'on pourra écrire, pour abréger, u^ à la place de [00... o...];.. Cela posé, F sera formé des 2v(p^-h \){p— i) substitutions de la forme

//o>---> Mr...- alf^~' li.,. ,,, aP i P'~* Wr+p, ••

où p est un entier constant, et a, / des entiers complexes, satisfaisant aux

congt'uences

rt(/'^*-)(/'-')=^i (mod.p), iP'^'^eP-' (mo6. p).

'à" Si m> av, soit, pour fixer les idées, m -- 2vn^n"^. Chacune des >iibsiitutions de F sera de la forme

ou, tîu n'écrivant que les indices de la première série, ce qui sulRt,

r contient les substitutions de la forme

où a est une racine de la congruence (8); et son premier faisceau est formé par celles de ces substitutions pour lesquelles on a a'''"^*^!. Son second faisceau G s^obtient en combinant à F les substitutions

V, I [ÇiÇ«...r:„..]» /9^'[ÇiÇ»...rîi...]« |, B, = ! [Ç, Çi...rî,...]. /[Ç,-hi, Ç„....r. ,....♦ '.

^'i "- 1 tî« ^«•••^««•••J» «®'^»tÇ> Ç*'"^'"*]» I» "i^^ I [Çi ^•••^••••J» « [Çi, Çi»---»^»"*~*"-v« '—

5, 5 étant respectivement des racines primitives des congruences

5*^1. S'*'^^i, mod./y :

/ un facteur égal à Tunite, à moins qu*on n*ait à la fois p*^i mod. Z^, cl :: -r 2, auquel cas il sera égal tkj\j étanl-une racine de la congnieoc^ • j'r— — I mod.|i : / un facteur égal à i si Ton n*a pas à la (oisp*^^î mod. 5m et n := 2, à y- dans le cas contraire.

Soit maioteoaot L uo groupe aussi général que possible parmi e^u\ ^ mai Si>nt résolubles, primaires el contenus : i** dans le groupe abélîea ^/tdegr^ :?•*• si Ton n'a pas à la fois p^—= i mod. 4 , x = a: a* dans le groiM in* h\pv^belien de première espèce, si p' ^- 1 mod. 4 ^ :: = 2. :j = oz î* J^n^ le iirxMipe hypcabelien de secoade espèce, si p^ ~ 1 mod. 4 • :r= 2. -^ =^ ; Soit L un groupe analogue de degré r*- .

DE LA RÉSOLirnON PAR RADICAUX. 535

Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de telle sorte que deux substitutions associées multiplient les exposants d'échange par des facteurs respectivement congrus a une même puissance de/>, telle que/?P, suivant les modules n et ;:'. A chaque système de substitutions associées V, V correspondront, comme au n*' 693, des substitutions abéliennes fhypoabéliennes), ayant pour corrélatives V, V. L'ensemble de ces substitutions formera le groupe cherché r, dont Tordre sera égal ii

c?, d, d\ w, Gt)' ayant le même sens qu'au n" 693.

Le problème se trouve ainsi réduit à la détermination de L, L'. A chaque manière de construire ces groupes correspond pour r un groupe différent. (Cependant, si l'on remplace dans la construction le groupe L, par exemple, par un groupe semblable a L, le nouveau groupe obtenu sera lui-même semblable à F.

699. Troisième catégorie. — Il n'existe de groupes de cette catégorie que si/> est impair, et m une puissance de i. Ils ont pour exposant 2 ou i, suivant que 2 sera ou non résidu quadratique ùe p. Pour les construire, posons 2m— 2' 2^...; puis déterminons un système d'indices indépendants [£, §2-«>3i---] tel : I® que les exposants d'échange des substitutions Q,$...Ti,..» Qç;. V... correspondantes à deux d'entre eux soient toujours congrus à o si Ton n'a pas à la fois

^', — $, — UEi^^'j— ç, :^. . .=^r 7)',— yj,— z^'ï:^. . .=E=-o (mod.2),

u, u',... étant des entiers égaux à o ou à 1, et dont la somme soit impaire; '2^ qu'ils soient dans le cas contraire congrus à (— i)^^»-^"' '»•"*' i, h se réduisant à I, si 2 n'est pas résidu quadratique de/>; a 1 ou h une racine primitive g' de la congruence g-'^'E^i (niod./>),si 2 est résidu quadratique. Cette détermination pourra toujours se faire, et cela de diverses manières; mais les divers groupes que cette indétermination permet d'obtenir sont semblables. On obtiendra au contraire des groupes essentiellement distincts en faisant varier c, c',..., puis y, u',... et enfin b.

Le groupe cherché contient les substitutions de la forme

où a est un entier constant. Son premier faisceau F est formé de celles de ces substitutions pour lesquelles a se réduit à ±:j. Son second faisceau

s'obtient en combinant à F des substitutions Â|, B4, A2» Bsi...» A'^, Vif. (téterminées comme il suit :

\^ Si u = o, on aura, en posant 6 = -- i,

2^ Si u = I et /j^^E I (mod. 4)»

y étant une racine de la congruencey^^— i (mod./)) ; 3« Si u = i et/)^ = 3 (mod.4),

Ai= I [Si Sî- . .yîi- . .] — 0^»[$i -f- 1, S», . . .,>îi>- • •] I» B,= I [ÇiÇj. . .yj,. . .] a0^»[Çi$j. . . yîi. . .] -h p[Ç, -M, Ça,. . ., yî„. . .] |,

les entiers a, ^ satisfaisant à la relation oc^-\-^^e^— 1 (mod./?). Quant à A2, B2,..., elles auront dans tous les cas la forme

Les substitutions A',, B\,... se déterminent d'une manière analogue.

Soient maintenant L un groupe auxiliaire aussi général que possible parmi ceux qui sont résolubles, primaires, de degré 2*^ et contenus dans le premier groupe bypoabélien si u = o, dans le second si u = i; L' un groupe analogue de degré 2**^; etc. Associons les substitutions de ces groupes de toutes les manières possibles. A chaque système de substitutions associées, V, V',... correspondront des substitutions abéliennes, ayant V, V',... pour corrélatives. L'ensemble de ces substitutions donnera le groupe cherché T, dont Tordre sera (/? — i)/nww',. . . , &>, w',... étant les ordres respectifs (le Lj, Li f » , • ,

La détermination de F revient ainsi à celle des groupes auxiliaires L,

L% A chaque manière de les construire correspond pour F un groupe

différent. Mais si l'on remplace dans la construction le groupe L, par exemple, par un autre groupe semblable, le nouveau groupe oblenu sera lui-même semblable à F.

Obsen^ations.

700. La méthode précédente fournit non-seulement la construction des groupes cherchés, mais encore un système complet de classification. Car

nous avons vu comment ils se répartissent en classes. Chaque classe pourra être subdivisée en sous-classes, suivant la classe à laquelle appartiennent les groupes auxiliaires employés dans la construction. Chaque sous-classe pourra être subdivisée à son tour suivant la nature des groupes auxiliaires employés dans la construction des premiers groupes auxiliaires, etc.

On trouvera d'ailleurs immédiatement, pour chaque degré donné, le nombre de classes de groupes résolubles, le nombre de sous-classes contenues dans chacune (relies, etc.

Mais pour que celle classification et celte énumération soient exactes, il est nécessaire que tous les groupes obtenus par notre méthode soient généraux, et de plus distincts (autrement que par la notation). Sans quoi ils feraient double emploi, et c'est à lort que nous les aurions considérés comme constituant deux types différents, ou même comme appartenant à deux classes différentes.

Nous montrerons que les groupes fournis par notre méthode sont en effet généraux et distincts. Néanmoins celte proposition souffre quelques exceptions. Pour exclure tout double emploi, il sera nécessaire et suffisant, en appliquant notre méthode, d'observer les précautions suivantes :

i" Dans la ré<luction du problème A (686) on rejettera toutes les décompositions de M dans lesquelles deux facteurs consécutifs seraient égaux à 2.

2^ En formant les groupes primaires de degré p^'^ au moyen d'un groupe D de degré X et d'un groupe indécomposable r de degré/?"* (688), on rejettera, lorsque/?'" se réduit à 3 ou 5, tous les groupes D correspondants à des décompositions de X dans lesquelles le dernier facteur se réduirait à 2.

3® En formant les groupes indécomposables de degré p"^ (689), on rejettera, si /?r^3, les groupes correspondants à des décompositions m = vTi^Tr"^. . . dans lesquelles v se réduirait à 2.

4" En formant les groupes indécomposables de première catégorie (697), on rejettera comme non généraux, si /? = 3 ou 5, les groupes correspondanls à des décompositions m = vn^Tr'^'... où v se réduirait a 2.

5° On rejeltera également les groupes de cette espèce dans lesquels /?^— 5, si /n = I . Soit au contraire m = n'^n''^...; tt, 7r',...,se réduiront à a; et la construction du groupe cherché F dépendra de celle de groupes auxiliaires L, L',... de degrés i^"^, 2^^, Chacun de ces groupes sera contenu

dans l'un des deux groupes hypoabéliens du même degré (*). Soit dc le

(*) Si L est indécomposable de première catégorie, ou construit à laide d un lel groupe, se**

nombre de ces groupes qui sont contenus dans le second groupe hypoabélien : si oc est pair, F devra être rejeté comme non général.

6** Si Ton a à la fois />^== 7, m = Tunité ou une puissance de a, telle que a^2^..., et DC =ee:o fmod. 2), le groupe T sera général; mais ce groupe f et les groupes décomposables qui s'en déduisent) ne devront être admis dans nos constructions à titre de groupes auxiliaires que si Tune au moins de celles de leurs substitutions qui multiplient les exposants d*échange par un non résidu quadratique de p est utilisée dans la construction, de telle sorte que le groupe obtenu contienne effectivement une substitution dont elle soit la corrélative.

7® On rejettera comme non généraux (ou faisant double emploi) les groupes indécomposables de seconde catégorie dans lesquels p^^ se réduit

8" On rejettera de même ceux où/?*" se réduit à 3*, si /w = i , ou si m > 1 et D( = ~o (mod. 3).

9** Ceux où z?^" se réduit à 7* sont généraux; mais ces groupes (et les groupes décomposables qui en sont formés) ne devront être admis dans nos constructions à titre de groupes auxiliaires que si Tune au moins de celles de leurs substitutions qui multiplient les exposants d'échange par un non résidu quadratique de/> est utilisée dans la construction.

10^ On évitera de faire tigurer dans la même construction deux groupes auxiliaires semblables ou improprement semblables (^).

11^ Soit L un groupe auxiliaire décomposable, de seconde espèce, construit à Taide d*un groupe D dont les substitutions permutent les systèmes d'indices, en nombre X, et d'un groupe L^, décomposable ou non, dont les substitutions n'altèrent que les indices du premier système. Si X se réduit à 2 ou !i, on évitera de faire figurer dans la même construction le groupe L et un groupe L' semblable à Lo» ou deux groupes décomposables de première espèce, M, M', respectivement formés avec L, L'.

substitutions appartiennent au premier groupe hypoabélien; s il est indécomposable de seconde oaté^orie« ou construit à l'aide d'un tel groupe, ses substitutions appartiendront au premier oa au

second grutipe hypoabélien, suivant que, dans la décomposition ac = A,.av, :rJ»V/i — à laquelle L corre8ix)nd, - sera pair ou im(>air.

\*\ Sont considérés comme semblables (improprement semblables) deux groupes translormablcs Tun dans lautre par une substitution abélienne propre (impropre).