GROUPES A EXCLURE

701. Théorème I. — Un groupe résoluble de degré M et relatif à une décomposition de M où deux facteurs successifs soient égaux à 2 ne peut être général.

Soient, en effet,

la décomposition considérée. A, A', A", A",... les groupes successifs qui, combinés ensemble, reproduisent le groupe considéré L : les racines peuvent être groupées en systèmes et en hypersystèmes choisis de telle sorte: i® que le groupe (A'",...) permute entre elles les racines du premier système sans déplacer les aulres; 2® que le groupe (A', A") permute entre eux les systèmes du premier hypersystème, en remplaçant les unes par les autres les racines correspondantes, sans déplacer les racines des autres hypersystèmes; 3® qu'enfin le groupe A permute entre eux les hypersystèmes.

Le nombre des systèmes que contient le premier hypersystème est égal a 2.2=4- Désignons-les par Soo» Soo Sio» Su • A" se compose de la substitution I, jointe à une autre substitution qui permute Soo et Soi» sans déplacer les deux autres systèmes; A' se compose de la substitution i, jointe à une autre substitution qui remplace Soo et Soi par Sio et S,,, et réciproquement. Ces substitutions, combinées entre elles, forment un groupe qui contient évidemment huit substitutions distinctes, toutes comprises parmi les vingt-quatre substitutions que Ton obtient en permutant de toutes les manières possibles les quatre systèmes ci-dessus. Ces dernières substitutions forment un groupe k résoluble (car on sait que Téquation générale du quatrième degré est résoluble), et plus général que (A', A"). Cela posé, le groupe dérivé de A, X:, A'%... est évidemment résoluble, et plus général que L.

702. Théorème II. — Soient H un groupe résoluble primaire et décomposable de degré p^"'\ D et Y les deux grottes partiels, de degrés X et p"^, dont

IM LIVRE QUÂTRIÈ!tfE.

il est forme. Si D correspond à une décomposition de X en facteurs q^q\ ^,... dans laquelle le dernier facteur q^^^ se réduise à 2 ei qu'en même temps p^ se réduise à ^ ou à 5y le groupe H n'est pas général.

En effet, soient A, A',..., AP les groupes parliels successifs dont la combinaison forme D.

Si Ton peut déterminer un groupe résoluble plus général que (Af, F) et altérant les mêmes indices, ce groupe combiné à A,..., AP~* fournira un groupe résoluble plus général que H. Noire proposition sera donc démontrée si nous établissons que le groupe (AP, T) n'est pas général.

Or la condition /i'"='^ ou =5 donne m=i avec/>=3 ou 5. Le groupe F ne contient donc qu'un indice x, et ses substitutions sont de la forme \x ax \, a étant un entier réel. Quant a AP, il sera formé d'une seule substitution, permutant x avec un autre indice j. Les substitutions de (AP, F)

X ax >* a' y

ou

X by V b' X

sont donc toutes de l'une des deux formes

étant des entiers réels.

Si /> = 3, chacun de ces entiers est égal k =t 1 ( mod./?), et Ton vérifie immédiatement que (AP, F) n'est pas général, car on peut lui adjoindre la substitution | x^ y x-hy, X'-y\ qui lui est permutable.

Si /? == 5, a, a\ b, b' satisfont à la congruence X*== i (mod./>) : soit g = ^ une racine primitive de cette congruence; il est clair que toutes les substitutions de (AP, F) résultent de la combinaison des suivantes et de leurs puissances

^=l-^»r g^ygyV Di=|j:, r gx.rl ï^^\x,y r,x\.

Cela posé, on vérifie immédiatement que les substitutions

g,k:=\x,r x,—y\, B, C=|r, ;• X ^r, g(x — x)l\^ forment rêchelle d'un groupe résoluble, plus général que (AP, F).

703. TuÉOREMË IIL — Un groupe résoluble primaire et indécomposable V dans lequel p^ = 3^ ne peut être général,

\^ Supposons d'abord que chaque série ne contienne qu'un indice. Soient

g=\ X., a-, gXo, g'x, |, à' =: I X.y X, X., X. I

les substitutions dont F est dérivé [g étant une racine primitive de la congruence ^*^i (mod..3)]. Elles sont échangeables aux puissances de g\

qui multiplie tous les indices par — i; g^ et 9g ont pour carré ^*, et sont échangeables à g^ près; enfin toutes les substitutions de F sont permutables au groupe {g\ g^^ 9g).

Cela posé, la substitution

U z= I JF„ X, gX. -h X,y X^ -h g^X, I,

échangeable à ^*, transforme g'^ et 9g en 9g.g^ et g^\ d'ailleurs g transforme U en ^^U*. Le groupe (g^\ g^, 9g, U, g) est donc résoluble, et plus général que T, car il contient U.

2? Supposons maintenant que chaque série contienne iJL = n''n'^... indices; TT, ;r',..., divisant 3^— i, se réduiront à 2. Soient g la substitution

qui multiplie l'indice général |Ç,Ç2--->3i---jr p^^r ^'^ et dont les puissances reproduisent le premier faisceau de T; A^, B|,..., A\, B'^, ...;... les doubles suites qui, jointes à g^, donnent son second faisceau; L, L',... les groupes auxiliaires qui servent à sa construction. Considérons Tun de ces groupes, tel que L; il est contenu dans le groupe abélien de degré n^^; mais en outre, nous avons vu que ses substitutions seront hypoabéliennes, si Ton suppose que les substitutions correspondantes aux indices indépendants qui ramènent son premier et son second faisceau à la forme type ont pour caractère zéro. Soient />!, ^1,... les caractères qu'auront dans cette hypothèse les substitutions Af, i)b|,... correspondantes aux indices originaires a;^, j^^--*; soient enfin "Ç =i9^^ une substitution quelconque de T, qui transforme A<,

B,,... eng'^Af'Bf'..., g^'A^ Bf '...,..., V sa corrélative du groupe L:V, étant hypoabélienne, satisfera aux conditions

(1) a, 6', -h. ..-h a\pt -h 6', g, -h...^/;,, c\d\'^.,.-hc\p,-^ d\q, -f-.

Cela posé, les substitutions C^ =g^''''A|. D, =:^*^»B,,... ont pour caractéristiques des puissances de K^ — 6''', K'^ — 6^',... (S étant égal à — i);

leurs transformées ^^''^p^'^ Af- B^'..., g^^^>P-^^AV Bf'....... peuvent se mettre

sousia forme g^'Cf' D'I'..., ^'''CVDf'. ...... et auront leurs caractéristiques

divisibles par les facteurs

Ces caractéristiques devant être égaux aux précédents, /, m, ... seront des multiples de 4, et par suite <> sera permutable au groupe dérivé des sub-

stitutions g*, C^ D(,... (ou plus simplement des substitutions C|» D|,..., g^ étant égal à Cr*Dr*C| D,).

Posons maintenant *'= ^C'J'D^*.... Cette substitution, échangeable à ^*, Co Do...» transforme g^ en g^g^\ g la transforme en g^g^9'; enfin son carré est égal à ^* ou à i . On peut le supposer égal à g*\ car dans le cas contraire, il suffirait de remplacer dans les raisonnements qui vont suivre 9* par *'g^, dont le carré sera égal à g*.

Soient Ç» £ deux indicateurs respectivement variables de o à i, et de o à ]ùi — I. On pourra remplacer les indices actuels [Ç, £2...é]^ par d'autres indices [Ce] choisis de telle sorte que g^ et *' prennent les formes suivantes :

j étant égal à g^. On pourra d'ailleurs déterminer une substitution U de la forme

qui transformer^ et *' en 9'g^ et g^*; et U sera échangeable à C^ D,,...; car ces dernières substitutions, étant échangeables à ^^ et à $", seront de la forme

Cela posé, le groupe résoluble F dérivé des substitutions g\ g^^ *', U, est permutable aux substitutions de r. Soit en effet 'Q une de ces substitutions; elle transforme g^ en g^ ou en g^; d'autre part, t? permute les unes dans les autres les substitutions dérivées de C,, D,,... lesquelles sont échangeables à 9' : donc la transformée de $' par '^ est échangeable à ces mêmes substitutions; donc t:^*<JP'V) est de la forme «'S, S étant une nouvelle substitution échangeable à Ci, D,,..., et qui ne déplace plus les séries. Donc S se réduit à une puissance de g, laquelle sera de degré pair, tp-'ç'i? et 9' devant avoir même caractéristique.

Soient donc t?-*grat? = ^2^*', t^* ç'^? = a^r«'"»■*^ /, u, s^ étant égaux à o ou à i; on aura '^ = '^9'^g^\ ^ étant une nouvelle substitution, et <>-*U<> appartiendra évidemment a F si i«r*U^ lui appartient. Mais -vp étant permutable au groupe (C,, D^..), ^ le sera; U étant d'ailleurs échangeabi aux substitutions de ce groupe, ^-* U^ le sera; donc elle sera de la form^

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX. 5i3

a laquelle appartiennent également chacune des substitutions de F. En outre, si ii = o, elle transformera g^ et *' en ^ ^ et ^\ elle sera donc égale k UT, T étant une nouvelle substitution de la même foifnie, échangeable à g^* et à ï', et qui par suite se réduira à une puissance de g^ . Si a = I, elle transformera g^ et ^ en ^ g^. et ^ ^^ et sera égale à U^^^T, T étant encore une puissance de g" ,

Les substitutions de r sont donc permutables à T'; et ces deux groupes, combinés ensemble, donneront un nouveau groupe résoluble (527) plus général que r, car il contient U.

704. Thkorème IV. — Un groupe Y indécomposable de première catégorie^ dans la construction duquel on aurait v = a avec p = 3 ou 5, ne peut être général.

Supposons d*abord que chaque série ne contienne qu'un indice : on aura quatre indices, ajj, x% x^, a?}, et r dérivera des substitutions suivantes :

g étant une racine primitive de la congruence g^'**"*^! (mod./>).

Cela posé, si /? = 3, g^ et ^^P seront d'ordre 4» auront pour carré g*" et seront échangeables entre elles à g^ près. On déterminera aisément une substitution abélienne propre U qui les transforme respectivement en 9^^ig^ el^* ; puis Ton vérifiera sans peine que r est contenu dans le groupe résoluble plus général [g\ g", a^, U, ^, T).

Si /> = 5, on voit de même que T est contenu dans le groupe plus général (é"*» g'*» ^^^g'*. U,/, *, T), U étant une substitution abélienne propre, qui transforme g\ g^, Si^Sg^ en g\ ^^Sg^g^, g^.

L'extension de la démonstration au cas où chaque série contient plusieurs indices, se fait comme au théorème précédent.

705. Théorème V. — Un groupe T indécomposable de première catégorie, et dans lequel p^= 5, n'est pas général : i° si chaque série ne contient quun indice; 2^ si chaque série contenant plusieurs indices, et L, L',... étant les groupes auxiliaires de degrés 2^^, 2^^',... qui servent à la construction de F , le nombre dC de ceux de ces groupes dont les substitutions sont hypoabéUennes de seconde espèce est pair ( * ) .

(*) Soit L l'un de ces groupes; prenons-y pour indices indépendants ceux qui le ramènent à la

Si chaque série ne contient qu'un indice, on n'aura en tout que deux indicesa?® et a?* , et g étant une racine primitive de la congruence^^i (mod . 5), r dérivera des substitutions

Cela posé, g^ et ^ sont d'ordre 4» ont pour carré g^, et sont échangeables entre elles à g^ près : la substitution abélienne

U= I a:' (— i)'jr«— 207' |,

les transforme en g^ et g; et Ton vérifiera sans peine que le groupe {g, a, U, T), plus général que r, est résoluble.

Si chaque série contient n'^n'^,.. indices, tt, ;:',..., divisant 5 — i, se réduiront à 2-, et l'on pourra déterminer comme au Théorème III des substi-

lions C, = gP^A,, D|=:g^B|,..., C, = gP^A\, D\ = g^'B\,... telles, que chaque substitution '^Pdugroupe r soit permutable aux groupes (C,, D,, ..), (Cl)' ]

Cela posé, la substitution a'=: ^C}'D^j'...C7'D/'... échangeable à g^, C,, D|,.-> C'i» D'i»--- transforme g eng^.g. D'ailleurs son carré est égal à g,2(i-»./»,7, +...+/>, y, +...)^ expression qui se réduit à ^*, en supprimant les puissances de g\ qui se réduit à l'unité. En effet,/?,, ^o... étant les caractères des substitutions «Ad,, iib,,.., le groupe L sera contenu dans le premier ou dans le second groupe hypoabélien, suivant que la majorité des substitutions de la forme x^*\ft/,'... aura pour caractère o on i . Or une substitution de cette forme a pour caractère

•^' J' -f-/?i^i -H ÇiXi H- OU (xt-h qi){y\ -+- />i) -h. .. — />. ^i — .. .,

expression qui s'annulera pour plus ou moins de la moitié des systèmes de valeurs de a?, -h q^, j, -hp^,,.. (ou, ce qui revient au même, de j;,, ji,...), suivant que /?, ^, -+-... sera pair ou impair. Mais ^ est supposé pair; donc

forme type indiquée dans nos constructions. En admettant que les substitutions correspoïKlantes à ces indices aient toutes pour caractère zéro, les substitutions de L appartiendront au premier groupe hypoabélien si L est de première catégorie; et si L est de secx)nde catégorie, elles appartiendront au premier ou au second groupe hypoabélien, suivant que dans la décomposition

'itT = \ av, TrjiTr',-»'! . . ., à laquelle L correspond, - sera pair ou impair (608 et 658).

celles des sommes yo, y, 4-..., p\q\-h. ...... qui sont impaires sont en

nombre pair; donc leur total est pair, ce qu'il fallait démontrer.

Ce point établi, on verra, comme au théorème III, qu'il existe une substitution aliélienne U, échangeable à g^, C,, D<,..., C^, D',,..., et qui transforme g. Si' en Si' g, g; que le groupe résoluble {g^, g, S{.\ U) est permutable aux substitutions de F; et que ces deux groupes, combinés ensemble, donnent un nouveau groupe résoluble, plus général que T.

706. Théorème VI. — Soient T un groupe indécomposable de première catégorie^ d* ordre p-'^ y et correspondant à la décomposition /n = v/x = vtt^tt'^. . . ; i., YJ ^ ,.. les groupes auxiliaires de degrés Tt^^ , n'^^\... qui servent à sa construction; N le groupe formé par celles de ses substitutions qui sont abéliennes propres : sip''= 7, il existera un groupe résoluble ^ formé de substitutions abétiennes propres y et plus général que N : 1° si chaque série ne contient qu'un indice, d'où |ul = 1 ; 2" si n, n\... étant tous égaux à q, auquel cas chacun des groupes L, L',... a ses substitutions hypoabéliennes, le nombre OC des groupes de la suite i., L',. . . respectivement contenus dans les groupes hypoabé" liens de seconde espèce est nul ou pair.

Supposons, pour plus de généralité, /x > i; et soient g la substitution d'ordre 7 — 1» dont les puissances reproduisent le premier faisceau de T; Af, B4, A2> 621* ••• A\, B'j,... les doubles suites qui servent k construire ce groupe. On peut les fondre par la pensée en une seule; et les substitutions de F, qui étaient permutables à chacun des faisceaux {g^ A,, B,, A^, B.,,...), igj A',, B'j,...),... le sont évidemment au faisceau

G=:(g-, A,, B,, Aa, B,, .., A',, B', ,...).

D'ailleurs A2, B,,... ont pour caractéristique une puissance de K' — i,et Ao B, une puissance de K.* — i ou de K^-f- 1 , suivant que L est contenu dans le premier ou dans le second groupe hypoabélien. De même pour A'^, B\,.... Donc la double suite contient dc couples de termes ayant pour caractéristique une puissance de K' -+- 1 : DC étant pair, on pourra grouper ces couples par paires. Mais, pour former G, on pourra remplacer chacune de ces paires de couples telle que A,, B|; A',, V^ par la suivante A,A'|, BiA'^; A|R| A\B\, A,B|B\. Donc G résulte de la combinaison de g avec une double suite C,, D|, Ga, D2,... dont chaque substitution a pour caractéristique une puissance de K^ — i .

Cela posé, les indices indépendants pourront étr€ choisis de telle sorte

que les substitutions g, C,, D,, Cg, Di,... prennent la forme

lit I2V» ^ étant des indicateurs variables de o à i. Posons maintenant

u = I [$. ?.• • •]•. [5. ?.• • •]' 4[S. S- • •]•+ 4[$. 5.- • •]'. [h l" • •]•+ 3 [ç. ?,. . .]' I, V = I [?. $.. . .]% [Ç, ?.. . .]' 3[S. ?.. . .]•+ 6[?. ?.. . .]', Hl h- ■ •]•+ 4 [l C- ■]' I-

Ces substitutions, échangeables à g^, C,, D,,..., le sont entre elles, à g^ près; enfin elles sont abéliennes propres.

Les substitutions abéliennes propres contenues dans F sont toutes permutables au groupe {g^, U, V). En effet, on a vu que ces substitutions résultent de la combinaison de ^, G,, D,,... avec les substitutions

et leurs analogues.

Or g transforme g^, U, V en g^, g^\, VU; ^ les transforme en ^', V, U; enfin C, , D,,..., 3fl,^,^, g^^^\Ly altérant de la même manière les indices des deux systèmes, leur sont échangeables.

Cela posé, les substitutions ^, U, Y, jointes aux substitutions abéliennes propres contenues dans T, formeront un groupe N' évidemment plus général que N, et dont les substitutions seront abéliennes propres.

707. Corollaire. — Le groupe F, et plus généralement les groupes décomposàbles formés à l'aide de F, ne devront être employés dans nos constructions comme groupes auxiliaires, que si l'une au moins de celles de leurs substitutions qui multiplient les exposants d'échange par des non résidus quadratiques de 7 est utilisée dans la construction (sans quoi le groupe obtenu ne serait pas général).

En effet, soient L, un de ces groupes; /?^^ son degré. Le groupe M, formé par celles de ses substitutions qui multiplient les exposants d'échange par un résidu quadratique, s'obtient en combinant ensemble : i® le groupe N; 2^ un groupe D dont les substitutions permutent les X couples de

DE LA RÊSOLCTiON PAK RADICAUX. 547

systèmes tout d'une pièce; 3^ une substitution 7 qui multiplie tous les indices par g. Cela posé, le groupe (N', D, 7) sera résoluble, et ses substitutions seront abéliennes. SoitL,, Tun des groupes résolubles les plus généraux parmi ceux qui contiennent ce dernier groupe, et sont contenus dans le groupe abélien.

Soit maintenant T* un groupe dans la construction duquel figure le groupe L,, seul ou conjointement avec d'autres groupes auxiliaires L'j,...; et supposons que les premières corrélatives des substitutions de r< appartiennent toutes à M,. Le groupe r,,, construit à l'aide des groupes auxiliaires Lu, L'j,..., sera plus général que r,; en effet, L,, contenant M,, Th contient évidemment toutes les substitutions deT, ; d'autre part, L,, contient la substitution abélienne propre U, que L< ne contenait pas; T,, contiendra donc une substitution dont la première corrélative se réduit à U, et les autres à l'unité, laquelle substitution n'est pas contenue dans Ff.

708. Théorème VII. — Les groupes indécomposables de seconde catégorie et dans lesquels p'^" = 2* doi\^ent être exclus comme non généraux [ou formant double emploi).

Soit r l'un des groupes en question; son premier faisceau est formé des puissances de la substitution g qui multiplie les indices de la r -+- 1'^*"* série

par g^\ g étant racine primitive de la congruenceg^'^i (mod. 2). Supposons que chaque série contienne ifn*^.., indices; ;r, tt',..., étant premiers et divisant 9, se réduiront à 3. Soient A,, B,,..., Â\, B'^,... les doubles suites qui servent à former F, et $ la substitution qui remplace chaque indice par son correspondant de la série suivante. Les substitutions g^, AJ, A'',... se réduisant à l'unité, 9^ sera échangeable à g^*. A,, B,,..., A',, B',,,... Elle le sera en outre, à g^ près, à toute substitution 'Ç du groupe F. En effet, "C^ étant permutable au groupe dérivé des substitutions^. A,, B,,..., A'^, B',,... auxquelles 9^ est échangeable, <>-<$^<) leur est échangeable. D'ailleurs elle est de la forme $^S, S ne déplaçant pas les séries; S sera elle-même échangeable aux substitutions ci-dessus, et par suite se réduira à une puissance de g.

Soit donc '<>-* **<> = ^i'^^^ : 9^ ayant pour ordre 3, il en sera de même de sa transformée : mais [9^g^)* = $»grP(<+*+«e) == gr^^p. Jonc 2ip^o(mod. 9) ou p^o (mod. 3). Les substitutions^*, 9^ forment donc un faisceau de substitutions échangeables entre elles, auquel toutes celles de F sont permutables. Donc F est contenu dans l'un des groupes résolubles les plus généraux parmi ceux dont les substitutions sont abéliennes (hypoabéliennes).

n\S LIVRE QUATRIÈME.

et dont le premier faisceau contient g^ et $*. Soit T' ce groupe qui contient F : il sera plus général; mais nous sommes dispensés de le démontrer : car fut-il identique à F, il se présenterait dans le calcul sous une forme différente, son premier faisceau contenant huit substitutions au moins d*ordre 3, à savoir g^, ** et leurs combinaisons, tandis que le premier faisceau de F n'en contient que deux, g^ et g^. Le groupe F devrait donc être exclu comme formant double emploi.

709. Théouème Vin. — Un groupeY indéiomposable de seconde catégorie, et dans lequel p^^ = 3*, ne peut être général : i" si chaque série ne contient quun indice; a" si chaque série contenant 2*^3*^... indices, le nombre Df , défini comme au théorème F, est nul ou pair.

1° Si chaque série ne contient qu'un indice/soient g une racine primitive de la congruence g^^i (mod. 3), e une racine de la congruence e^—i — f ; F sera dérivé des substitutions

Cela posé, les substitutions g Qi^ sont d'ordre 4f ont pour carré g^ et sont échangeables entre elles, à g^ près. On déterminera aisément une substitution abélienne U qui transforme g^, g, ^S en g^^ g^S, g; et l'on vérifiera que le groupe {g, 9, U, T), plus général que le proposé, est résoluble.

2^ Si chaque série contient plusieurs indices, on raisonnera comme au théorème V, en remplaçant ^ par <P.

710. Thkorèmk IX. — Soit F un groupe indécomposable de seconde catégorie, dans lequel p'^^ se réduise à 7*"^; le groupe N, formé parcelles de ses substitutions qui sont abéliennes propres, sera contenu dans un autre groupe plus général et formé de substitutions abéliennes propres : 1^ si chaque série ne contient quun indice; 2^^ si chaque série contenant plusieurs indices, le nombre Of , défini comme au théorème V, est nul ou pair.

Supposons que chaque série ne contienne qu'un indice. Soient g, e des racines primitives des congruences ^*r^ i, e^L— z— 1 (mod. 7); g une substitution qui multiplie l'indice delà r-\- 1'*^'"*" série parg^''*^; 9 celle qui le remplace par son conjugué de la série suivante, multiplié pare^'. Les substituions ^' et 9 ont leur carré égal h g\ et sont échangeables entre elles, à g'' près. Cela posé, on construira aisément une substitution abélienne

DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAyX. o49

propre U qui transforme g^^ 9 en 9, 9g^; et l'on vérifiera que le groupe fS"*» g^* *» U, g), plus général que N, est résoluble.

L'extension du théorème au cas où chaque série contient plusieurs indices se fait comme au théorème V.

711. Corollaire. — Le groupe ï\ et plus généralement ^ les groupes décomposables formés à l'aide de T ne devront être employés dans nos construclions que si l'une au moins de celles de leurs substitutions qui multiplient les ex-

j90sants d'échange par des non résidus quadratiques de 7 est utilisée dans la construction.

La démonstration est identique à celle du n^ 707.

712. Soient L, L',... des groupes primaires, résolubles, et aussi généraux C|ue possible, parmi ceux qui sont respectivement contenus dans les groupes abéliens (dans l'un des groupes bypoabéliens) de degrés tt^^, n^"^ ..... Associons leurs substitutions de toutes les manières possibles, de (elle sorte que les substitutions associées multiplient les exposants d'échange par un même facteur. Soient

lin système quelconque de substitutions associées, multipliant les exposants <i'échange par un facteur k. On pourra lui faire correspondre la substitution

Xyy y, , . . . d,x, -f- 6'', r. -h . . . , b\xx H- rf'.j, -+-..., a:,, j',,... a. :f. 4- y.. >■,-+-..., ^,^|4- 5 j\ -h • . .,

qui appartient au groupe abélien (à l'un des groupes bypoabéliens) de degré ;r«(<ï+<''->----)^ ^j q^j multiplie les exposants d'échange par k.

Le groupe L,, formé par l'ensemble des substitutions V<, sera évidemment résoluble et non primaire. Nous l'appellerons le groupe résoluble complexe équivalent aux groupes primaires L, L',....

Soient maintenant T un groupe primaire indécomposable, assujetti ou non à la condition d'être formé de substitutions abéliennes (hypoabéliennes); F son premier faisceau; A,, B,,...; A',, B'j,...; A^ 8"^,. ..;... les doubles suites, et L, L', L",... les groupes auxiliaires de degrés tt'*', ;r"^, ;r"^^",..-

qui concourent à sa conslruction. Supposons que plusieurs des nombres tt, n\ tt",... soient égaux, etqu'on*ail, par exeniple tt = ;r'. SoitL, le groupe complexe équivalent à L» V. Associons de toutes les manières possibles ses substitutions a celles de V\... de telle sorte que les substitutions associées multiplient les exposants d'écbangc par des facteurs respectivement congrus h une même puissance dep [à une même expression de la forme (— i)V^»

si r est de première catégorie], suivant les modules rr, n", A chaque

système de substitutions conjointes V|, V",... correspondront celles des substitutions de r qui ont pour corrélatives V, V, V,..., V, Y étant les deux substitutions dont l'association donne V^. Réciproquement, soient v^ une substitution quelconque de r, V, V, V",... ses corrélatives : "^ correspondra au système V,, V",....

Nous obtenons donc le résultat suivant :

On peut remplacer f dans la conslruction des groupes T, les groupes auxiliaires dont le degré serait une puissance d'un même nombre premier par un groupe auxiliaire unique, mais complexe, qui correspondra à la double suite complexe formée par la réunion des doubles suites qui correspondcuent aux groupes quil remplace.

Le groupe r devant être général, on devra évidemment admettre que ce nouveau groupe auxiliaire est lui-même général, autrement dit, n*est contenu dans aucun groupe analogue, primaire ou complexe.

713. Théorêmk X; — Tout groupe l\ dans la construction duquel figurent deux groupes auxiliaires semblables ou improprement semblables, doit être rejeté.

Soient en effet L, L' ces deux groupes auxiliaires, de degré tt*^;

les substitutions de L;

celles de I/, que la substitution abélienne

transforme par hypothèse en substitutions analogues à V,..., sauf le change

ment de iP,,y enx\fy\f Il est clair qu'en pren.nnt pour indices indépendants X|, Y|,... les substitutions Y' prendront la forme des substitutions V, sauf le remplacement de ^,, /i,... par X,, Y,,

Soit maintenant k le facteur par lequel S multiplie les exposants d'échange ; et formons le groupe complexe L| équivalent à L, L\ Ce groupe est contenu dans le groupe plus général L, dérivé de la combinaison de L| avec la substitution

lequel est évidemment résoluble, primaire, et contenu dans le groupe abélien (dans l'un des groupes^hypoabéliens) de degré ;:**'.

Considérons maintenant un groupe F, dans la construction duquel figurent les deux groupes auxiliaires L, L'; supposons, pour fixer les idées, qu'un troisième groupe auxiliaire V\ ayant également pour degré une puissance de 7r, figure dans la construction. On peut remplacer ces groupes auxiliaires par un seul groupe complexe A| qui leur soit équivalent, et que Ton pourra évidemment obtenir en remplaçant d'abord L, L' par le groupe équivalent L,, puis en remplaçant L,, 1/ par le groupe équivalent A|. Or soit A, le groupe complexe équivalent aux deux groupes primaires La, L"; il contient évidemment A| ; le groupe Fj, analogue à F, construit avec Aa contiendra donc Fi qui devra être rejeté, soit comme moins général que Fa, soit comme faisant double emploi avec lui.

714. Théorème XI. — Soit L un groupe décomposable de seconde espèce^ construit à Vaide d'un groupe D dont les substitutions permutent les systèmes d'indices^ en nombre X, et d'un groupe L^, décomposable ou non, dont les substitutions n altèrent que les indices du premier système. Si X se réduit à 2 ou dr 3, tout groupe F dans ta construction duquel figureraient simultanément le groupe L et un groupe L' semblable à Lq, ou deux groupes décomposables de joremière espèce M et M', respectivement fonnés a^ec L et L', doit être rejeté.

Soit, pour fixer les idées, X = 2; et soient x^, y^,...\ x\, y\,. .. les indices des deux systèmes que contient L; X,, Y|,... ceux auxquels L' doit ^Ire rapporté pour que ses substitutions prennent la même forme que celles deXo- Soient Da le groupe formé par les six substitutions qui permutent d'un mouvement d'ensemble les trois systèmes a?,, ji,...; x^, y\,...\ X,, ^«,...: L, le groupe décomposable dérivé de la combinaison de Da et de L«; IMa un groupe décomposable de première espèce formé avec L3. Il est clair

que La et M^ sonl résolubles et primaires; que leurs substitutions sont abétiennes (hypoabéliennes); enfin qu'ils sont plus généraux que les groupes complexes L,, M,, respectivement équivalents à L, L', et à M, M'. Gela posé, la démonstratioD s'achève comme au théorème précédent.

715. Les théorèmes qui précèdent mmitrent la nécessité des précautions indiquées au n° 700 comme devant être apportées dans l'emploi de la méthode. Ces précautions étant observées, et soit qu'il s'agisse de résoudre les problèmes A, B ou C, il restera un certain nombre de formes types, à l'une desquelles pourra se ramener, par une notation convenable, chacun des groupes cherches. Deux de ces groupes, L et 4L, seront dits pareils, s'ils sont semblables, et si de plus ils ne sont susceptibles d'être amenés qu'à l'une des formes types ci-dessus. (On pourrait concevoir que, par un changement de notation, on pût mettre successivement un même groupe sous plusieurs formes types différentes.) Cela posé, pour prouver que les groupes qui restent sont tous généraux et distincts, il suffît de prouver le théorème suivant :

Théorème A. — Un groupe ^^ résoluble et transitif, construit par notre méthode t ne peut contenir un autre groupe analogue L s'il ne lui est pas pareil.

Ce théorème est intimement lié aux deux suivants :

Théorème B. — Un groupe < , résoluble et primaire, ne peut contenir un groupe analogue, mais non pareil, L.

Théorème C — Soient ^ et L deux groupes résolubles, l'un primaire, l'autre primaire ou complexe, contenus dans le groupe abéUen de degré p'"; é un entier généralement égal à zéro, mais égal à un diiHseur impair de p — i , dans le cas particulier où quelqu'un des groupes primaires et indécomposables qui sentent à la construction de L serait de degré 7-'" {m étant une puissance de 2), et correspondrait à une décomposition m = vtt^ti"' , . . . où Von eût v = 1 . 1^ groupe J formé par celles des substitutions de L qui multiplient les expo^ sants d'échange par des puissances de g^ ne peut être contenu dans 41» si et 41 ne sont pas pareils.

Si l'on a p = 2, et que 41 et L dois^ent être contenus dans l'un H de^ groupes hypoabéliens de degré p''\ soit I le groupe permutable aux sub^iti^ tions de H et contenant la moitié de ces substitutions dont l'existence a été ét€M blie (672). Le théorème subsistera en prenant pour} le groupe formé par celles des substitutions de L qui appartiennent à I.

Nous établirons du même coup ces trois théorèmes, en prouvant qu'aucun d*eux ne saurait être en défaut pour les groupes d'un certain degré, à moins que l'un d'eux ne fût en défaut pour ceux d'un degré moindre. On aurait donc une infinité de groupes de degrés décroissants pour chacun desquels l'un des théorèmes serait faux, ce qui est absurde.

Nous supposerons donc dans ce qui va suivre qu'aucun des trois théorèmes ne soit en défaut pour les degrés inférieurs à celui du groupe 4L que l'on considère : et nous verrons alors qu'ils sont vrais pour ce groupe luimême.

?m LIVRE QUATRIÈME.