LIVRE DEfXltME

280. r.e point établi, posons i = Si' : i cl S étant contenues dans 2' le sera; de plus, elle laissera x, invariable. Soit

la fonction par laquelle elle remplace y, ; les relations (aS) et (4 1) donneront

(43) (/’, El, 6', d', A, (/', î“ O.

Il existe une .substitution A, dérivée de celles des substitutions pour

lesquelles ja et v sont >i, qui remplace par />', x, -t- et la substitution

remplacera y, par /, , sans altérer x,.

281. Posons 2' = S'2, : 2, sera liypnabéliennu. et laissera invarialiles x,, y, ; ilonc, en vertu des relations (j3) et elle remplacera x„ jr,,..., x„, V, par des fonctions de ces seuls indices; et les relations qui subsistent entre les cuellirients de ces fonctions sont précisément les memes que dans le groupe bypoabélien de première espèce entre « — i couples d'indices. Donc 2, sera dérivée de celles des substitutions M^, pour le.squclles pi et V sont > I (203).

282. L’ordre défi, découle immédiatement de ce qui précède. Ln effet, le nombre des fonctions différentes que ses substitutions permettent de faire succéder à x, est égal au nombre des solutions de la congruence (4a), lequel est égal à a’"— (260). Celui des fonctions différentes que celles de ses substitutions qui laissent x, invariable font succéder à ,v, est égal au double du nombre des solutions des congruences (43) (b', restant arbitraire). Enfin le nombre des substitutions de 5i qui laissent x,.y, invariables est ,. Le produit de ces trois nombres donne o„ (123).