Pnom.KME. — Trouver les facteurs de composition de
Soit I un groupe contenu dansf;, et permutable à ses substitutions : nous allons ebereber ses propriété.s, en supposant d’abord n > a.
Paoeosn i»« I : I contient une substitution différente de l’unité, et (juin' altère jHisx,. — Soient en effets une substitution de I;
/, ms fl', X, c, y, + a\x,-t-c,y,-t-...
t)liS SCBSTITUTIONS. SHi
la fonrlion par laquelle elle remplace x, : si /, ne se réduit pas à x,, l’iine au moins des quantités c,, a',, c,,... sera (mod. a).
I” Si c, <0, !), contient une substitution T qui laisse x, invariable, et remplace y, par /, (280) : I contiendra S,, transformée de S par T, laquelle remplace x, par/,.
Cela posé, si S, laisse invariables Xj.' Vj, x,, Vj, I contiendra sa transformée par ^
y, -I- x,+y, 4- Xj, ,v. 4- X, 4- y, 4- y.
laquelle laisse x,, y, invariables. Dans le cas contraire, parmi les substitutions de 5i qui laissent x, et invariables, il en est une au moins T, non échanpicable à S, : et I contiendra S^'-T^'S, T,, qui laisse x, invariable, et différé de l'unité.
2® Si c, =o, I contient la substitution S~‘.Lr'SL,, qui laisse x, invariable, et différé de l’unité, b moins que S ne laisse y, invariable. Dans ce dernier cas, I contiendra Mf' SM,, qui laisse x, invariable.
28i. PnoposiTiON II : I contient une substitution différente de l'unité, et qui laisse x,, v, invariables. — Car soit S une substitution de I, (|ui laisse
X, invariable, et remplace y par =//, x, 4- d,y, -i- b'^x, 4- rfj.ra 4-
Ces relations (a.*)) cl (/|i) donneront
(/', = I , i', rf 4- . . . = O.
1" Si S laisse invariables x,, x,, v,, 1 contiendra \V~'SW, qui n’al-
lèrc pas x,, y,.
a“ Si, S altérant quelqu'un des indices x,, x, on a
b',snd\ = . . . ^ O,
Si contient -une substitution T qui n’allcre pas x,, y, et ne soit pas écbanfteablc b S : 1 contiendra S“‘.T“‘ ST, qui laisse x,, y, invariables.
3” Enfin, si è',, ne sont pas tous congrus b séro, S, contient une
substitution T qui remplace x, par i',Xj4- <f, , sans altérer x,,y, :
et I contient S,, transformée de S par T, laquelle remplace y, par ^1 4-y, X,. (iela posé, si 5, contient une substitution T, qui n’altére
pas x,,y,, x„ et qui ne soit pas échangeable b S,, I contiendra S; ’.T, 'S,T,,
ilO UVRE DF.lXltME.
(|ui laisse X,, y, invariables, sans se réduire à runilc. Dans le ras eon- Iraire, S, se réduira à la forme
I j-„ r, ar„ l> X, -h r,
(,3 étant nécessairement congru à zéro si n>3). Si =o, I contient la transformée de S, par .M[*' P,,, U, laquelle laisse a.',, v, invariables : et si l)\ r ^ I, 4I contient la transformée de S, par L’ M,, laquelle remplace .r,, y, par x,, y, -t- x', : on retombe ainsi sur l’un des cas déjà examinés.
285. PnoeosiTioN III : 1 contient une des substitutions Qu,,, R^,;(où tz et V sont > i).
Kn eflcl, I étant permutable aux substitutions de ü,, le groupe V formé par celles de ses substitutions qui D’allèrcnt pas x,,y, est éviilemuient permutable il celles des substitutions de qui n’altèrent pas ces indices. .Mais ces dernières substitutions forment un groupe ‘j’,, bypuabélien de première espèce par rapport aux n —'i" couples d’indices restants. Donc, si « — i>u, le groupe I', qu'il contient, et aux(|uelles ses substitutions sont permutables, contieniira l’une des substitutions N,,,,, Q^,,,, R,,,, (270-273;.
Si « — I = a, ceux des raisonnements de l’endroit cité qui restent applicables montrent que I' (et par suite I) contient, à défaut de l’une des substitutions Q|,,„ R^.„ l’une des deux suivantes : P,,, Q, ,, ll,j Qj,,. Dans l'un et l’autre cas, il contiendra la substitution
Po.sons maintenant
Il =
xi, y,
X,. y.-t- x,-!-yi J*,, x, -t-Xi-i-y, , x,-f-x,-t-y„ X,
Xj, y, y, X, -t- , -t- x„ yi + x,+ y, + y.
tics deux substitutions sont liypoabéliennes : et l’on voit suecessiveinent
DES SEBSTlTUnONS. il I
i|iic I (-oniicntlra les siibslitiilions suivantes ;
\ = A'.B 'AB. \=(M,A XM.A. Z = (M,M, f,.,)- VM, M,
B = C- ZC V, 0,., = Z [( P,., Q..^. - ZP,., Q.„ , B]>.
28(). I'bopositio IV: l contient la moid'c au moins des subslitulioris de
Kn eflcl, I contenant une des substitutions X^,„ foii a et v sont
> i) les contiendra toutes (274). Il contiendra donc le groupe 3 dérivé de ees substitutions et de leurs transformées par celtes de 5t- Or les substitutions :
! y'i Xi, yt-t-Xi-t-y, ,
X‘ + Xii -h y,
soni livpoabélicnnes : donc 3 contiendra les suivantes :
I X,, r. X. -ej-„v,
fP = t>-' Q... II... Q... N... 0=1'^"
I X* Xi»
X„ y, x, + y,-t-x,-hy„ y, .
d — ta-' N..,o=
x„ y, Xi+}i, x,h-^-,-4-.v. I
y, X. -+■ x„ y, x„ y, x„ y. y, x, -1- JTi. X>
ili UVRE DEIXIKMK.
287. Il est iiiain(en»nt aisé de voir ()uc les substi(iitions de 3 permeUeni
lie remplacer l’indice a-, par l’une (luelconquc /, des a’"— funciions linéaires a] x,-h c\ y, -t- c,j',-4- ... dont les coellicienls siilisfoni à la
relation
En elTcl, soit d’abord a,c, -f- a] -t-c, :==o, d’où a',c, -h..." i. I.’un au moins des produits sera ^o(mod. a). Soit par exemple a’,</,=s i,
d'oii a'j~c, — I, a'jc'j 4-...^ O. Il existe une substitution s, dérivée de celles des substitutions Q^.,, où a et v sont > i , rpii laisse x, invariable et remplace )'j par Vj -t- a', Xj-t- D’autre [lart, la substitution 2 qui remplace a',, y,, x,, Vj par x,, x,. >-j est évidemment by-
poabélienne : -t contiendra donc la substitution laquelle remplace
X, par/,.
Soit au contraire a, c, -h a, + c\^i, rt’jC, -t-... ~o. Il existe une substitution X, dérivée des substitutions Q^,v. Rii,v (où fi, v sont > i), qui rempinfe Xj par fl', x, -+- Cjy', et suivant qu’on aura : a', ^ i , c',s.-^o; fl'i = I , c, r— I ; ou fl', = O, c, = I , /, succédera à x, par la substitution par la substitution SiO<7, ou par la substitution sff,'.
288. Celles des substitutions de 3 qui n'altèrcnt pas x, perinelleiil de
faire succéder à y, l’une quelconque /,' des fonctions linéaires
A', X, -t-y, X, -h dont les coeflicicnls satisfont à la relation
//,(/', -I-...SZO. En effet, si A',cf,^... = o, ce remplacement sera produit par la substitution (fiS)C)*'. Si, au contraire, les coellicienls A',, tf,,.., ne .sont pas tous congrus à zéro, il existe une substitution s, dérivée des substitutions N,i,„ Q,i,», R,i.„ qui remplace x, par A',x, -t- <f, y, -t-...; et la substitution (£«£)*'. t'SffC produira le remplacement voulu, sans altérer x,.
289. L'ordre de a sera donc égal à — '!«) a<é„, .0, O étant l'ordre
du groupe 3' formé par celles de ses substitutions qui n’altcrcnl pasx,, y,. Mais 3' contenant les substitutions N,,,v, Q,,,„ R^,, et leurs transformées pâlies substitutions liypoabélicnnes entre Icsn — i couples d’indices x„ y,
son ordre est au moins égal à (274).
Donc. ■■1 contient au moins ( a’"— <f„) aî„, ^ u„, substitutions, soit la
moitié au moins de celles de S’il en contenait davantage, il les contiendrail toutes : 3, et par suite I se confondrait avec ÿ,, et ce groupe serait simple. (Nous verrons plus loin que cette hypothèse n’est pas possible.)
DES SlTBSTnt;TIONS. ila
Au conlraire, si 3 ne contient que la moitié des substitutions de /i,. I pourra être supposé moindre que S, : il se confondra alors avec 3.
290. Pnoi»f)srriO!« V : ,5, a pour facteurs de composition 2 e< ^
Celte proposition se démontre comme celle du n® 275.
291 . Nous avons laissé de côté le cas où 0 = 3. Il est aisé de voir que ■ dans ce cas les facteurs de composition cliercbés sont 2, 2, 3, 3. 2.
Faisceau-x' hypoahéliens.
292. Soit maintenant F un faisceau de substitutions abéliennes éebaii- ^eables entre elles, et tel, que le groupe formé par celles des substitutions abéliennes qui lui sont permutables soit primaire. Cbercbons si l’on peut déterminer les car.tctères des substitutions correspondantes aux divers indices de telle sorte qué F soit contenu dans l’un des groupes bypoabélicns.
Les indices indépendants étant eboisis de manière à ramener les substitutions de F à leur forme canonique, un sait que cbacune de ces substitutions multiplie chaque indice par un facteur constant (188-189). Soient donc i', y, ... ces divers indices : une substitution de F qui les multiplie respectivement par a, (9,... multiplie para, ^,... les caractères des substitutions correspondantes ('y,.... Mais, étant bypoabéliennc, elle ne les altère pas. Donc ces caractères seront’ congrus à zéro, à moins que les facteurs (réels ou complexes) a, /3,... ne se réduisent à i.(mod. 3). Mais si F ne se réduit pas à la seule substitution 1, l’une au moins «le ses substitutions multipliera l’un des intlices, x par exemple, par un facteur a différent de l’unité : on aura donc Cj.= o. D'ailleurs la suite des facteurs ]>ar les«]uels les diverses substitutious de F multiplient v est la même, k l’ordre près, que celle des facteurs par lesquels elles multiplient x (191). Donc F contient une substitution qui multiplie J par a : donc o; etc.
Donc les substitutions C,, C,,... doivent avoir pour caractère zéro. C«?tte condition est évidemment suDisante pour que les substitutions de F n'altèrent pas ces caractères. Mais il est intéressant de savoir dans chaque cas quel est celui des deux groupes bypoabélicns qui contient F.
293. PiieMiFR CAS. Faisceaux de première catégorie. — Si F est de première catégorie, soient x, y,... les indices d’un système quelconque, a:', y', .. . ceux du système conjoint; «, c, . . . ceux des autres systèmes. Les in-
il 1 U\ nE BEI XlilME.
ilicos 'miajiiniiircsx, üi''|ienil(‘nt (l'mi noiiiiii-f rjjal de fonctions réelles X, Y. . . . que l'on |teiit prendre à leur place pour indices indépendants ( 151^. I.es substitutions C^, C,,. . . respectivement correspunilantes à ces nouveaux
indices seront de la forme C'CJ Rapportons également cliaeiin des autres
systèmes à des indices indépendants réels; et soient X', Y'',... les indices auxijuels est rapporté le système conjoint du premier; U, V.... les autres: fj. C,....; . (’i,... les substitutions correspondantes. Le déterminant
(CxCv) ...
(C,C,) (OvC,) ...
ne pi'ut être congru à zéro. Car s’il rélail, on pourrait déterminer les rapports des entiers /, de telle sorte >|iie la substitution
I» = C'vc;:. . .
eut ses exposants d’écb.ange avec Cj. tous congrus à zéro. .Mais les
exposants d'échange fOC^). (l)L, (DQ), (DCy),... sont déjà congrus
à zéro, C,, C,....; Ct, C,,... étant dérivées de Cy, C,',...; C,, (;„ dont
les exposants d’écbange avec les substitutions C.,>, (y,... dont D est dérivée sont tous congrus à zéro. Donc tous les exposants d’échange de D seraient congrus à zéro, ce qui est inadmissible.
On pourra donc (2K>) déterminer des substitutions
t) = rîC}...., Il, = C*v ci'.
dont les exposants il’échange avec C,, C,,... soient tous congrus à zéro, sauf ceux-ci ((iylij, (C, D,),... qui seront congrus à i; et le déterminant des quantités «, a,, n’étant pas congru à zéro, les substitutions D, I) combinées entre elles, reproduiront toutes celles de la
forme Ci-tit--.. Donc le groupe .f dérivé des substitutions Cj,r.y,...; C,., C, ;
C,., C,.,... sera égalcmenl dérivé des substitutions Cj, C,,...; ü, D ;
Chacune des subslitntiuiis C,, 1), C,, D,,... aura son caractère congru à zéro; car clic est dérivée de substitutions dont les caractères et les exposants d’écbange mutuels sont tous congrus à zéro. De plus elles ont des exposants d'échange congrus à zéro avec Q, C», ...; car leurs compo.-cinlcs jouissent de cette propriété. Par la même raison, les exposants d’écbange mutuels des substitutions Cj, C, sont congrus à zéro; ceux des substitutions D, l),,... également.
DES SUBSTITUTIONS. . il.-.
. 0(HTons sur un second couple de systèmes eonjoiols, pui.s sur "un troisième, etc., comme nous l’avons fait sur le premier. On voit (|ue J sera •lérivc d'une double suite de substitutions dont tous les cxposanls d’éclian^e mutuels sont congrus à zéro, sauf pour les substitutions d'un même couple, dont l'expo.sant d’échange est congru à i; toutes ces substitutions ont en outre le earacli-re zéro. Donc le faisceau considéré appartient au groupe hyftoahélien de première espèce.
294. Sr.cosocAS Faisceaux de seconde catégorie. — Supposons les indires indépendants choisis comme il est inditpié (2i7-2ô2j et soient av le nombre lies séries de chat|ue système, u, = p.' •+■ aa' le nombre des indires de chai|ue série.
Considérons en particulier l’un des systèmes d’indires, Soicnl^y,,
yf~", Æ.;;-"'-'’ les indices de sa r -h série: Iv. D,
E,'"”", D,.'”'’, les sulcstilulions corrrspondanles. Les expo-
sants d’échange de rliacunc de res substitutions avec celles (|ui corresponilrnt aux divers indices indépendants seront, par hypothè.se, tous congrus h zéro, sauf roux-ci : — (E,” 1)1^.), qui sont congrus à i, et
(C/'C/J.,), qui sont congrus à.e’', e, étant une racine arbitrairement choisie de la congruence <?’’"•== — i (mod. 3). On pourra supposer r = 1 .
295. Cela posé, groupons 1rs indices en classes, en réuni-ssant ensemble
ceux qui sont conjugués. Ces classes seront de deux espères : les unes conjointes deux à deux, comme v*,..., je et a,,..., î,, t les autres conjointes à elles-mêmes, comme xj'""',..., On pourra d’ailleurs passer des in-
dices imaginaires à des indices réels, en prenant pour indices indépendatits, il la place des av indices de chaque classe, les 3v fonctions réelles dont ils dépendent.
Soient X, Y,... les indices réels ainsi substitués'^ii .V»v-i : -'i'. Y',...
ceux qui sont substitués à îi,-.! L’, V,... ceux qui sont substitués
à \ W,... les autres. Soient enfin Cj, C,, les substitu-
tions correspondantes à ces nouveaux indices.
