I.e déterminant
I (LjCi ) (Ci t-r)
.jfCtCv) ...
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ne peut être congru à zéro, par la même raison qu’au n° 295 On pourra donc déterminer des substitutions D. D,,,.. dérivées deC<-.,C,.”- dont 1rs
2t« I.IVRE nEEXilîMF..
ex|iosanTsd't‘change avec C*, C,,... soienlious congrus à zéro, sauf ceux-ci ; rCj D), (C, D,),..., qui seront congrus à i . Cj, I), Ct. D auront leurs caractères congrus à zéro, et leurs exposants (rechange avec Q;, Cv C*.....
seront congrus à zéro, ainsi r|ue les exposants d'écliangc mutuels des subsiilulionsC,, C, eteeux des substitutions D, D,,... (293).
296. Considérons d’autre part les substitutions Ci, C» Le déterminant
de leurs exposants d’(''cliange mutuels ne peut être congru h zéro. Car s'il l’était, on pourrait déterminer une substitution (O, dérivée de Q;, C,-,..., et dont les exposants d’échange avec Ci-, Cy,... fussent tous congrus à zéro. .Mais scs exposants d’échange avec (\, C,,...; C,, C,.,...; C» ,... sont congrus à zéro, uO étant dérivée des substitutions correspondantes aux indices
ct Ci, par exemple, l’étant des substitutions correspondantes à Vo,..., Vj i, lesquelles ont avec les précédentes des exposants d’échange congrus à zéro. Donc tO aurait tous ses exposants d’échange congrus à zéro, ce qui est impossible.
On pourra donc déterminer (232-234) une double suite de iv substilutiotts .t.,, S!.,;...: dérivées de C„, Cy,..., et telles que l’on ait
(Al itîli (Aï . . . HS( %t-, Cts) 9K I ,
leurs autres exposants d'échange mutuels étant congrus à zéro, ainsi (|ue leurs exposants d’échange avec (t, D, C,, I) ; C* On pourra en ou-
tre (258) faire en sorte que A„ >1!.,;...; A„ ax, aient pour caractère zéro. X,, V!., ayant à la fois pour caractère n ou i. suivant que la majorité des substitutions dérivées de Co, C,,... a clle-mcmc pour caractère o ou i.
297. Il est aisé de voir que la seconde de ces deux hypothè.ses sera tou-
jours la vraie. Soient en elTel Soi..., e,y, les substitutions respectivement correspondantes aux indices imaginaires x,'”''’
Chacune des substitutions dérivées de Ce, C,,... accroit les indices conjugués fie constantes conjuguées : elle sera donc de la
forme
k étant un entier réel ou complexe. Réciproqueincnt, il est clair (|ue toute substitution de cette forme accroit de constantes réelles les fonctions U, V,...; elle est donc dérivée de Cy, C,,....
DES SCBSTITLTIOSS.
ÎI7
Le cararlcre de la substitution K est congru à
If*' 4-. . .= y (If *')’'•
D'ailleurs i est un entier complexe formé avec une imaginaire de degré av.
Le nombre des substitutions dérivées de Cy, C» dont le caractère est zéro,
est donc égal au nombre des solutions communes aux deux congruences.
^ (mod. i).
lesquelles équivalent évidemment aux trois suivantes ;
/ (mod. i).
Suit I, une racine commune aux deux premières congruences, et qui différé de zéro. La troisième congruence donnera, pour A, a’-t- i valeurs distinctes correspondant à celle-là. .\u contraire, à la valeur l = o, qui satisfait aux deux premières congruences, correspond la valeur unique k~o. Si donc I est le nombre total des solutions communes aux deux premières congruences, k aura (a’-t- i)r — a* valeurs.
298. Pour déterminer s, remarquons que toutes les valeurs de l sont de la forme
n 4- AX -)- cV . -I-
/. étant une imaginaire d'ordre y. On aura donc
raia»t rB»"i
^ = ^ (« + A/. -f- <//,■■■ va -t- A^ X*" -t- . 4 </^ .
Or^ X’' ^ sont respectivement la somme des racines de la
congruence irréductible dont dépend X, la somme de leurs carrés, etc., enfin la somme de leurs puissances v — i'*"" : ce sont donc des constantes réelles. D'ailleurs elles ne sont pas toutes congrues à zéro. Car si cela était, les sommes de puissances des racines de la congruence en X jusqu’à la
ilg LIVRE DEUXIEME.
V i"''"' inclusiveineiil étant congrues à iéro, elle se réduirait à la forme X'-l- ^ = O, résultat absurde; car si q~o, la congruence ci-dessus admet la racine O, et si q~t, la racine i; elle n’est donc pas irréductible.
Supposons, pour fixer les idées, que le coefficient de h, ^ sbil congru
à I. Ou pourra prendre arbitrairement cbacun des v— i autres eoeflicieiits a,..., <l égal à o ou à i ; et pour chaque système de valeurs de ces coeflieienls, on aura une valeur de b satisfaisant à la congruence
Le nombre total s des solutions de la congruence sera donc a'^' ; et par suite le nombre des substitutions dérivées de C,:, C,,... qui ont le caractère üéro est égal à (a’-i- 1) a’"' — a’'-' — a*~'. Les autres, en nombre
a” ' ■+■ a'^', ont pour caractère i.
Uonc la majorité des substitutions dérivées de Q, - a pour caraclère 1 : donc ont pour caractère i.
299. On peut raisonner sur chaque couple de classes conjointes comme
nous l’avons fait sur le couple Vg *o 2,^, j et sur chaque classe
conjointe à elle-même, comme sur la classe iri'""''’, ..., Cela posé,
lix., C, sont dérivées de D, D,,...; Q, C, le sont de x,, ifl, v,, ai,,; etc.
Donc le groupe -f, dérivé des substitutions C,, C,,...; C,., C,,...: Q,
.sera dérivé de la double suite
Cf, I) ; Lx, f),; . . . ; -t.,, aSi ; ... ; ,V.>, al,. ; - . -
où les exposants d'échange sont congrus à 1 pour les deux substitutions d'un iiiêmc couple, et à zéro dans tous les autres cas.
Soit d'ailleurs X le nombre des systèmes; le nombre des classes d'indices qui sont leurs propres conjointes, et, par suite, le nombre p des couples de la double suite dont le caractère est 1, sera égal à Xft'; et suivant que ce nombre sera pair ou impair, F appartiendra au premier ou au second groupe liypoabélien (258-261 ).
300. Tboisikmk cas : Faisceaua- de troisième catégorie. — Les indices étant choisis comme il a été indiqué (253), groupons-les en classes, en réiini.ssant ensemble ceux qui sont conjugués les uns des autres. On peut raisonner comme dans le cas précédent; et comme aucune classe n'est conjointe à elle-même, F appartiendra au premier groupe liypoabélien.
DES SUBSTITUnONS.
il9
§ X. — .MliTIIODES GÉ^KRAUvS POl’R FORMER I1F.S GROUPES PARTIELS COKTEIV'OS DANS I.E CROEPE LINÉAIRE.
Première méthode.
301. Soit F(a;,, Vo....; x,, y, une fonelion d’un cerlnin nombre
d'indices, egalement répartis entre certaines suites y \x,,y ;....
S’il existe des substitutions linéaires qui, étant opérées à la fois sur clia-, cune de ces suites d’indices, multiplient simplement la fonction F par un facteur constant (abstraction faite des multiples du module), ces substitutions forment évidemment un groupe.
Exemple. — Supposons qu’il y ait m suites, et que les indices de l’une quelconque d’entre elles soient en nombre mn et se partagent également entre n séries xj*’,y'f’’,.. x,'*. j'-"’,. Désignons par Du le déterminant formé avec les indices x;'\ x^;;!.,, jiiL, On pourra
prendre F = D, -i- D,-i-...-t- D,,. Dégroupé correspondant ^ cette substitution satisfera à des conditions qu’il est aisé d’écrire. En posant w = a, on aura le groupe abélien.
.302. La méthode précédente, indiquée par M. Kronecker, se prête à une nouvelle généralisation.
En efl’et, soient ç une fonction quelconque, rationnelle et homogène des indices Xo, yo«---î x,,y',,...;...: i{i une fonction quelconque des mêmes variables et des coefficients de Transformons^ et tjf par une substitution linéaire S effectuée sur chaque suite d’indices x, y,...\ soient p' et (j»' les fonctions transformées. Si i}»' s’exprime en fortetion des indices et des coefficients de ÿ' de la même manière que ^ s’exprimait en fonction des indices et des coefficients de 9 (abstraction faite des multiples du module), on dira que tj( est un covarianl de 9 relativement à la substitution S. Dans le cas particulier où i}' ne contiendrait que les cocfllcicnts de 9, et non les indices, on dirait que <J< est un invariam de 9 relativement h S.
Cela posé, il est clair que les substitutions relativement auxquelles est covariant ou invariant de 9 forment un groupe. Ces deux fonctions pouvant être choisies arbitrairement, on peut déterminer ainsi une foule de groupes.
303. Bornons-nous, par exemple, au cas d’une seule suite, formée de deux indices ; et soit
îiO UVRE DEUXIÈME.
Pour que i|» suit un invariant de <p par rapport h la subsliluliun
S = I X, / ax -i- h}-, oix -t- ft'r | ,
qui transforme ^ eu
IM'aut qu'on ail
imSS.H- n9î*/(o9 +• a'S,)'-t- 3m(a0 -t- a'9,}(69 -e 6'9,)-t- n(66 + 6'9,)’.
d'où
I = la' + I mah -t- ni’, m s laa' + m{ab' ■+■ ba' ) -t- nhh' , n = -tma'b' -e nb’'.
A chaque système de valeurs de /, m, n correspondra un groupe distinct. .Ainsi, si fsi, m = o, n=o, il vient a'sso, a’si, et l'on obtient k groupe forme des substitutions
