Si l'un posait
<f = 0x + 9, y, ij/ r=(m6 + n9,)x +{m'B -e n'9, )/, la condition de covariance donnerait
an -I- a'n' = a'm -I- 6'n, bm b' m' = am' + bn' , bnssa’m',
ou, en posant pour abréger m' s K /i, m — n'==Ln,
6 = Ka', 6'sa + La‘.
On obtient ainsi le groupe formé des substitutions
I X, y nx -I- Ka'y, a'x +(« -t- La')y |
où a, à sont des entiers constants dans une même substitution, et K, I. des constantes, dont les diverses valeurs donneront autant de groupes différents.
Seconde mé diode.
305. Considérons une fonction f homogène par rapport à un ou plusieurs
DES SUBSTnTTK)NS tiâl
systi'mps de vnriables a;, v, £, y],...;..., par exemple la sulvanle
ç = 0x1 -t- ô'xn -t- S'.rÇ -f-
homogène el du premier degré par rapport à deux systèmes, eonteiiaiit ehaeun deux variables. Soient G, F doux groupes quelconques, cloni les substitutions soient linéaires, et opérées respeelivement sur x el y-, et sur |, ti; soient
S = I X, J' ax -I- br, a'x + h' y |, i = | J, k «Î -H 3»i, «'Ç -i- pr, 1
deux de leurs substitutions arbitrairement cboisics. Opérant ces substitutions dans f, on obtient le meme résultat que si l’un opérait sur les 0 la substitution
0 axO ax'O' a'a6* -e a'a'6"
6' a -I- ajî'fl' -4- a'pO" + a^'B’
0" éaO éa'5' -e fr'aS' -4- 6'a'5*
S- 639 + fr^'9'-4-A'p5"4 ft'3'5'
et il est clair qu’en prenant suceessivemeni pour S el i toutes les substitutions de G et de F, les substitutions correspondantes forment un groupe Ç.
306. Supposons en particulier qu’il n’y ait qu’un seul système de variables x, y,...; et posons
ç = flx 0' y -t-
A la substitution
S = I X, y, . . . ax -4- 6v -t- . . . , a'x -t- b' y h- ...... . |
équivaut la suivante
laquelle ne différé de S (abstraction faite de la désignation des variables) que par l’échange des coefficients symétriques par rapport à la diagonale de son déterminant ; d'où le théorème suivant :
Thkurème. — Un groupe de substilutions linéaires étant donné, on en déduira un second, en permutant entre eux dans chacune de ses substitutions les coefficients symétriques l'un de l'autre par rapport à la diagonale.
En vertu de ce principe de dualité, les groupes de substitutions linéaires sont associés deux à deux. Mais il en est quelques-uns qui sont leurs pro-
UVRH DHLXIKME
pros lissooics, par exemple ceux qui funt l'ohjel des trois p:iragriq>lies prérédon Is.
Troisième méthode.
.■$07. rnÉotifc.ME. — Etant donnés : i° un groupe F de substitutions linéaires
entre ff lettres ; a® un grotipe D de substitutions entre X lettres 1^,1 , on
en déduira un groupe G de substitutions linéaires entre lettres.
Soient en effet
S=| Go I
une sul)slitutioD de D,
une substitution de F. Im.aginons une suite de />** lettres, caractérisées par n't. indices, que nous partagerons par la pensée en X systèmes
Désignons par 2 la substitution
qui permute ecs systèmes entre eux de la même manière que S permutait les lettres correspondantes G,..., G,.,: par T, la substitution
qui laisse tous les indices invariables, sauf ceux du r-t- i'""' système, qu’elle
altère delà même manière que T altérait a-, y Il est clair qu’en prenant
snree.ssivement pour S toutes les substitutions S', S",... du groupe D, leurs correspondantes i', 2',.,. formeront un groupe A, isomorphe à D sans mériédrie: de mémo, si l’on prend pour T les diverses substitutions T', T' ,... du groupe F, leurs correspondantes T„, Tb,. Ti i. TLi>-” formeront X groupes F F>,, isomorphes à F sans mériédrie.
,308. Considérons maintenant le groupe G dérivé de l’ensemble des substitutions des formes 2, Tj,. Ses substitutions seront toutes de la
forme 2ToT,.... En effet, 4'('') désignant la fonction inverse de f{r], on vérilie sans peine l’égalité
•r,2 = 2V„ ou 2-T,2 = V„
iït
laquelle montre que les substitutions 2 sont permutables au groupe H dérivé des substitutions T„ Donc toute substitution de G pourra
se mettre sous la forme IQ, 8 étant une substitutidn de H. .Mais 8 peut se
mettre sous la forme T» T Car, soit, par exemple, 8 = T„T, ’l" ; les
deux substitutions T, et T^, étant opérées sur des indices dilférents, peuvent être interverties, ce qui ramène 8 à la forme T» T, .
Soient respectwemenl Q et O les ordres des groitpes D e/ P : l'ordre du grou/ie G sera 120\ Car il existe 12 substitutions de la forme 2, et O de cbacune des ).
formes T„, T : il existe donc 120' substitutions de la forme 2ToT,...:
ell es sont d'ailleurs évidemment distinctes.
309. THÉOBtME. — La suite des facteurs de composition de G est formée des facteurs d* composition de D, et de ceux de P, ces derniers répétés chacun \fois.
Cn effet, soient les facteurs de composition de D; D, D,,I), i
une suite de groupes ayant respectivement pour ordre 12, — , — .•••, i,
et tels ; i" que cbaciin d’eux soit contenu dans le précédent, et permutable à ses substitutions; 3° qu'il ne soit contenu dans aucun autre groupe plus général jouissant de cette double propriété. Désignons par le symbole général S, les diverses substitutions S,, S',,... du groupe D,: par Sj celles du groupe D,, etc.; par 2,,... les substitutions correspondantes du groupe i. Soient G, G,, Gj,.. H, les groupes respectivement dérivés de la combinaison des substitutions 0 avec les substitutions Z, avec les substitutions Z,, avec les substitutions Z,, etc. Les substitutions Z,, Z,
étant de la forme Z, sont permutables à H : les substitutions de G,, G,,... seront donc respectivement des formes Z,0, Z,8, ... et leur nombre sera
respectivement égal à ^ 0\ O',....
Il est clair que chacun des groupes G, G,, G,,..., H est contenu dans le précédent; et nous allons prouver : i° qu'il est permutable à ses substitutions; 3° qu’il n’esl contenu dans aucun autre groupe jouissant de cette double propriété.
Prenons pour exemple le groupe G,; soient Z', 8' une de ses substitutions, Z" 6'’ une quelconque des substitutions du groupe précédent G : on a identiquement
