LIVRE DEI XIEME

expression i|ui se réduit à la forme £*“'2',2''6; car, 1", 2",. cl, par suite, 2"~'2',2", sont permutables .à H. D'ailleurs 2"“' 2', 2" est de la forme 2,, sa correspondante S''“'S’,S" étant, par hypothèse, de la forme S, . Donc la transformée appartient à G,, et 2»" est permutable à ce groupe.

D’autre part, il n’existe aucun groupe plus général que G,, qui soit contenu dans G et permutable à ses substitutions. Car s'il en existait un, Ç,, soient (t’. o",... celles de ses sub.stitulions qui sont de la forme 2; s', s",... leurs correspondantes de la forme S. Le groupe partiel (a', (f,...) étant plus général que le groupe formé des substitutions 2, (sans quoi ç, ne serait pas plus général que G,), le groupe partiel (r', j"....) formé par leurs correspondantes sera plus général que D,. D'ailleurs il est permutable aux substitutions S; car, soit S' l’une de ces substitutions : S'~'x'S' a pour correspondante 2'-' î' 2', laquelle est évidemment de la forme 2, ctappartient en outre à ff,, auquel 2' est supposée permutable : (Jonc 2'~‘<r'2' appartient au groupe (o-', a",...}; et sa correspondante S'~'x’S', au groupe {s', s'',...).

.Mais, par hypothèse, il n’existe aucun groupe plus général que D,, et permutable aux substitutions S ; donc l’existence du groupe Ç, est inadmissible.

Les facteurs de composition de G sont donc fi,, pi, et les facteurs de

composition de H.

.■ilO. Soient maintenant v,, v,,... les facteurs de composition de P; P,' I'"', P'”,..., I, une suite de groupes ayant respectivement pour ordre O,

I cl Mds, que chacun d’eux soit contenu dans le précédent, et permutable à .ses substitutions, cl ne soit contenu dans aucun autre groupe plus général jouissant de cette double propriété. Désignons par le symbole généralT.'’ celles des substitutions de P, qui correspondent aux substitutions de P'*', par T;’’ celles qui correspondent aux substitutions de P‘”, etc. On verra, en raisonnant comme tout à l’heure, que les groupes respectivement dérivés de la combinaison des substitutions T, T,... avec les substitutions T,, avec les substitutions T.'*, avec les substitutions T;*’, etc., cniin avec la seule

substitution i, ont respectivement pour ordre O'"'; que

chacun d’eux est contenu dans le précédent, cl permutable .à ses substitutions: enlin, (|u’il n’est contenu dans aucun groupe plus général jouissant de celle propriété. Donc les facteurs de composition de II sont v,, v,,..., et les facteurs de composition du groupe H, formé par lessubslitulionsï.T,....

DES SUBSTrrüTlONS. S2:.

On voit (le même que ces derniers facteurs sont v,, Vj,..., et les facteurs de composition du groupe H, formé par les substitutions T,...; et l'on continuera ainsi jusqu'il l'aclièvement de la démonstration.

311. Tin-iOBKME. — Pour que le groupe G soit primaire, il faut et il suffit que r soit primaire, et D transitif.

Si r n’est pas primaire, il existe certaines fonctiohs s, s',... des indices jt, y,..., en nombre moindre que ces indices, et que les substitutions de r remplacent par des fonctions linéaires de s, a',... (142). Soient

s,, Z ;... les fonctions analogues respectivement formées avec les

indices Vo....; x,, y,,...;... : leur nombre est inférieur à celui de ces

indices. D’ailleurs, chacune des substitutions 1, T„, T dont G est dérivé

les remplace évidemment par des fonctions les unes des autres : donc G n’est pas primaire (142).

Si I) n’est pas transitif, les substitutions 2 ne permutent pas transitivement les systèmes y„,...; x,, y,, . Groupons ces systèmes en classes, en réunissant ensemble ceux que ces substitutions pcnnulcnt entre eux. Il est clair que chacune des substitutions 2, To, T,,.,, remplace les indices d’une même classe par des fonctions de ces seuls indices : donc G n’est pas primaire.

312. Réciproquement, si T est primaire el D transitif, G sera primaire.

En effet, s’il lie l’était pas, il existerait des fonctions <{i, «J»,,... des indices

x,,y,,...: X,, y,,...;..., en nombre moindre que ces indices, et telles, que chaque substitution de G les remplacerait par des fonctions linéaires de

i|/ Cela étant, soient t(i l’une de ces fonctions, y, celles qui la

remplacent dans les diverses substitutions de G : <Ji, X’ /.'■••• ‘les

fonctions linéaires de i);, il en sera de même de toute fonction o linéairement formée de celles-là; cl <4, . étant remplacées dans chaque

substitution de G par des fonctions de ij>, les diverses fonctions 'a,

u',... par lesquelles la fonction u se trouve remplacée dans ces mêmes substitutions, dépendraient elles-mêmes linéairement des seules fonctions ip, en nombre moindre que )./i. ^