Cela posé, soit
l'une des Ibnctions dont on suppose l’existence. L’un au moins des coeffi-
jy, LIVRE DEUXIEME
lienis a„, b, a,,... tloil différer de o (inod. />); soil par exemple
«o2o(inod. p). Le groupe F étant supposé primaire, l'une au moins de ses substitutions T doit altérer la fonction a„ x -h b„y-h...; supposons qu’elle la remplace par a'„ar-i- La substitution correspondante T„ remplace iji par y = -i- ... -H a, ar, Cela posé, la fonction
-,t. ÿ- ij, - •/ := (a, - <ï,)x, -*-(/»,- h',) J-, -e . . .
lie contient plus que les indices ilu premier système.
•Soient maintenant u„, m'„, les fonctions que les diverses substitutions de r, fout succéder à u, : la suite u,, contiendra au plus
n fonctions distinctes; car ne contiennent que les n indices
.r„, y,,... du premier système. Mais, d’autre part, celte suite contient en effet n fonctions distinctes : car supposons (|u’elle n’en contienne que n':
soient w,, w' u;*'" ces fonctions; m'„ une quelconque d’entre elles;
T'„ la substitution de i'„ qui la fait succéder à u„; T, une substitution quelconque de r„; J, la fonction qu’elle fait succéder à w’„. La substitution T.T„ lait succéder à u, : ç„ fait donc partie de la suite &>„, tü'|,,...;
c’est donc une fonction linéaire de u,, .Ainsi chaque substitution de r, fait succéder à chacune des n' fonctions toi'' ' une
fonction linéaire de ces mêmes fonctions. Donc le groupe T,, ou le groupe I’, qui n’en diffère que par la dénomination des variables, ne sera pas primaire : résultat contraire h notre supposition.
La suite M„ w’„, w„,... contient donc n fonctions distinctes w„
Soient en général m' ,..., les fonctions formées avec x,,y,,... comme celles-ci le sont avec x,, Os nouvelles fonctions sont évi-
demment distinctes entre elles; elles sont en outre distinctes des précédentes, étant formées avec des indices dilTerents. Les n). fonctions '^i,,
u^"-";...; «) ,, ,,..., lu'.tT’' sont donc distinctes, ü’aillcurst; contient une substitution qui remplace « par l’une quelconque de ces fonctions telle ([ue u',. Soit, en effet. T„ la substitution qui remplace >aa par u,,. Le groupe I) étant supposé transitif, A contient une substitution 2' qui remplace x„,yg,... par x„ y, et. par suite. w'„ par fu’ ; et la substitution
i' Tj remplacera par -ji'. .
Ainsi les substitutions de (J remplacent par des fonctions parmi lesquelles il en est ).n de distinctes; résultat contraire à celui du n” dl2. Donc il est absurde de supposer G non primaire.
311. tternargiie. — Si D est transitif, les substitutions de G dérivent
DES SCBSTITUnONS. Ü7
lûmes de celles des deux groupes A et r„. Car A conlieni une sulistitiilion 2' qui remplace x„ y„... par a-,, et le groupe dérive de A et
de r„ contient le groupe F,, transformé de F„ par 2'. Donc ce groupe contient toutes les substitutions des groupes A, F„ F,,..., dont G est dérivé.
XI. — Groupes isomorphes ai x groupes i.inkmres. Subslitations linéaires fractionnaires.
31.5. Gniois a fait celle remarque importante que le groupe G formé des substitutions linéaires
I X, V nx -r- hr, a' x -t- b' y | ( mod. p)
n’est pas primitif par rapport aux /j’— i lettres qu’il déplace. En effet, groupons dans un même système les p — i lettres correspondantes à une
même valeur du rapport (mod./>) : chaque substitution de G remplacera
les lettres d’un système par celles d’un même système. On aura ainsi p-h i systèmes, dont les déplatemcnts par les substitutions G formeront un groupe H de degré p -t- i." L’ordre de ce groupe sera d’ailleurs évidemment égal au nombre total des substitutions de G, divisé par le nombre de celles de ees substitutions qui ne déplacent pas les systèmes, ou à
Les substitutions de H pourront être représentées par le symbole
ax b r
ou
as h
où l’on assignera à l’indice s les /j -t- i valeurs o, i,..., /> — i, ao que peut prendre l’expression ^ (mod./>).
Ces substitutions linéaires fractionnaires ont été étudiées en détail par M. Serrel et par M. Mathieu. On voit que cette étude se confond avec celle des substitutions linéaires entières à deux indices, que nous avons faite plus haut.
Soit en particulier />= 5. On aura un groupe II de degré 6, et d’ordre
iia LIVRE DEl’XlfeME.
(5’ — i)5; el l'on vérifie sans peine son identité avec le groupe exeeplionnel signalé au n° 88.
81 G. La remarque de Calois s'étend sans difficulté aux groupes linéaires de degré On obtient ainsi en général un groupe de degré ^ » dont
les substitutions, en nombre
(pr-t)lp--p)..
> sont linéaires
fractionnaires avec n — i indéterminées.
Si l’on opérait, non plus sur les groupes linéaires les plus généraux, mais sur des groupes plus particuliers, on obtiendrait de nouveaux groupes particuliers, contenus dans les groupes linéaires fractionnaires généraux que nous venons d’indiquer.
Soit, par exemple. G' le groupe formé par celles des substitutions do G dont le déterminant est congru à i ; on en déduira un groupe H' formé par celles des substitutions de II dont le déterminant est congru à i, ou, ce (|ui revient au même, à un résidu quadratique quelconque; car il est clair qu’on ne change pas les substitutions de II en multipliant leur numérateur et leur dénominateur par un même entier m, ce qui multiplie le déterminant par m’.
317. Il existe des groupes de substitutions de degré moindre que les précédents, et dérivant également des groupes de substitutions linéaires. Considérons en effet le groupe G' formé des substitutions
; X, y, .. . ax by a' x b' y -t- . . . ,
ar,, Vi,.. . a' X + br y + , . ., a'fx b'fy
OÙ X, y,... •, X,, y ;... représentent v séries conjuguées contenant
chacune m indices imaginaires. L’ordre Q. de ce groupe est égal à {ff' — t) (/»"'' — (169). Groupons maintenant dans un
même système les p' — i lettres pour lesquelles les m indices x, y,... ont entre eux les mêmes rapports. Chaque substitution de G' remplacera les lettres de chaque système par celles d’un meme système; et les déplacements des systèmes formeront un groupe H', de degré ' et d’ordre Il ^
Groupes de Steiner (*J.
318. Considérons un système de lelires, en nombre = a’"“' — a*' ' :
et supposons-les représentées par le symbole général (x,,y x„, v,),
où l’on assignera aux indices x,, y x„, y„ tous les systèmes île valeurs
(non congrus par rapport au module a) qui satisfont à la congruence
X, y, +...■*■ x.y, = a (mod.a).
KfTectuons les produits pi. à p. de ces diverses lettrés; puis formons la somme de tous ceux de ces produits tels que
(*'i I r'i • r't y'T\ • • x'*‘, yf)
qui satisfont au système de relations exprimé par les formules
(44) fmod.*),
où P prendra successivement les valeurs i, a, 3,..., n. Soit la fonction entière de degré p. que l'on obtient ainsi. Nous allons étudier successivement :
i" Le groupe G formé par les substitutions qui laissent invariables les fonctions de degré pair 9,, (f,,...;
3° Le groupe G, formé par les substitutions qui laissent invariables toutes les fonctions ç>|i, quel que soit leur degré.
