Etude du groupe G. — Soient a,, ct„, des entiers en
nombre an et qui ne soient pas tous congrus è o (juod.a). Formons tous
les couples possibles de lettres (E,, ii„), I",, yj'„) tels
que l'on ait, pour toute valeur de <3.
E; = E, + a,, y, E n, H- (moil.a):
puis désignons par le symbole [a,, a„, la substitution d’ordre a
qui a pour cycles ces divers couples. Cette substitution appartiendra à G; car elle laisse 9^ invariable pour toute valeur paire de p.
En effet, soit (x,, y,,..., x^,, (x*", y''"' x’,"’, y,"’) un des
(*) L‘un de ces groupes a été éludié d'abord par Steiner : mais M. Clebsch en a donné )e pre' roier une définition précise et générale. {Jountai de M, Bcrchardt^ t. LXIll.)
2J>I UVRK OEIXIKME.
It'i nies lie ç^. On aura la relation
cl la suljsiilulinn ^a, , ,*5 remplacera la lettre (.r, , v', t, , y, )
par :x', -h .v', -t-jS,,..., xl + a„, y„ +|S„), s'il existe une semhlahle
lettre, c’est-à-dire si l’on a la relation
laquelle, en tenant roinpte de (/|5), se réduit à
Si au contraire le premier membre de cette formule est congru à 1. la lettre (a:', .y,,..., x,,y,) ne sera pas déplaeéc par cette substitution.
I.a même observation s'applique à chacune des autres leitrc.s
..., (æ’i'*’, y\*' aC’, v;''). Donc le nombre in des lettres de la suite
(y, y y, y,),.... (y', yy.... y, ) non déplacées par la .substitution «I, (9 ,3, J est congru à la somme
prise par rapport à ces diverses lettres.
.Mais un a
^ (a, ?, 4. . .4 a.|î. = fi(a, 4-. . .4 a.^,I« O {ji ciani pair).
Donc m est pair: et le nombre u, — m des lettres déplacées le sera également. Cela posé, désignons par , r! les racines (|ue
|3 a„, fait succéder 'a (a-',, y\ v',) Parmi les in-
dices ^ il y en aura m égaux aux indices correspondants de la suite y, y .---t et fl — 771 égaux aux indices correspondants augmentes de a,. On aura donc
De même
Ces relations montrent que le produit des lettres fs,, r!, f!,,,...
est un terme de ç^»0onc [«,, |3 /3„] remplace les uns par les autres
les termes de cette fonction, et n’altère pas la fonction clle-inéme.
En faisant varier a,, fi,,..., ct„, [i„, on obtiendra a*"— i subslilulions distinctes, qui toutes appartiennent à G. Ces substitutions jouissent de propriétés intéressantes, signalées en partie par Sieincr, et que nous allons
exjioser.
dit). TiiéoKKMK. — /.a subslilulion 'a,, fi w„, fs„ dr/itace
lettres.
En effet, le nombre des lettres déplaeces est égal (dltl) an nombre des solutions simnllanées des deux congruences
Or l'une an moins des qnantilcs se,, p a„ p„ est ^o(niod. a], par
bjpotbèse; soit, par exemple, ce,ssi. La seconde des congruences ' 'y] ; déterminera v, en fonction des antres indices, lesquels salisiéroni à la relation
laquelle, en remarquant que x]ssx,, peut être mise sous la forme
et comporte , systèmes de solutions; car on |)enl prendre x, arbitrairement, puis déterminer de manières x, — «j-r,, v, — j'îjX et par
suite X,, Vj,....
.121 . PnoBLesiK. — Tramer le nombre îles lettres déplacées a la fais ptu les deux substitutions [a,, p jS„J et a',, fi fi,;.
Ce nombre est évidemment celui des solutions communes aux congruences
(■i») ^ ^ p,x, ‘ ,. p,ixo. \ pj r, a; r, 4 a;p;- o.
Soit pour fixer les idées a, - 1. Tirons la valeur de v, de la seconde
2Ui LIVRK DEUXIÈME.
congi'ucncu, Kl üubstituons-ln dans les deux autres. Posons en outre
Ces congruences deviendront
ici deux cas seront à distinguer.
322. i" Si Kh:^i, la |>rcmiêrc relation donnera pourxj.j',,..., x, ,y\ ^t„, .systèmes de solutions, pour chacun desquels la seconde relation déterininei a ensuite x,. Les deux substitutions auront donc A„, lettres communes parmi celles (pi elles déplacent.
Ces lettres appartiendront toutes à des cycles différents dans chacune des deux substitutions considérées. Car soit (x,, une lettre commune aux deux substitutions. Pour que la lettre (x, -+- v, -t- jS, ,...), qui fait partie du même cycle dans la première substitution, fût déplacée aussi par la seconde substitution, il faudrait qu'on eut
ou, en tenant compte des relations (48),
On remarquera enfin que les deux lettres (x, ■+• a, . jr, -t- |3, , . . . ) et (x, + a',, y, -+- jS’, ,...) respccticement associées à {x,, y,,...) dans les tyvles
de a,, |S ] et de [a,, ] sont associées ensemble dans un cycle de la
substitution [ «, + a', , -t- jS', ,...J qui formera ainsi acec les deux précédentes
un trio de substitutions ayant deux à deux lettres communes.
Le nombre des trios différents est égal à g-*i„ : car le nombre des solutions de la congruence K^i, où les a, a', fi', sont considérés comme variables, est et l'on a évidemment six solutions différentes fournissant . le même trio.
323. a" Soit K^o. Les quantités ,5', -t- (if, a', Uf ne peuvent être toutes à la fois congrues à zéro. Car si cela était, K se réduirait à ses deux
premiers termes jS", + [i, : a\, a,, jS’, seraient donc cim(>rus respectivement aux produits de a,, (i j3„ par un même entier con-
.stant a’,. Si cet entier était congru à zéro, a’,, /S',,..., a„, fi'„ seraient tous
congrus à zéro; s’il était congru à i, ils seraient congrus à a,, fi fi„.
