I.’une cl l’autre hypothèse sont inadmissibles
On a d’ailleurs
car, en remar(|uant que a', a',, cette relation se réduit à la suivante
a, P’, -e a', a,|3, saa',^ a,P' -I- a’ P, = a', ( K — a, P', — a,p, 1,
qui devient identique en remarquant qu’on a par hypothèse K = 0, a, 1-; 1 , avec
I.e système des deux relations (/19) est donc entièrement analogue à celui des relations (47) (sauf le cliangemenl de n en n — 1), et aura solutions : X, étant d’ailleurs arbitraire, le nombre des lettres communes au-i' deux substitutions sera 4*» i-
On peut les grouper 4 par t\. En effet, soit (x,, Vi,...) l’une d’elles ; K étant congru à zéro, la lettre (x, -1- a,, y', -t- p,,...] qui lui est associée dans la première substitution sera également commune aux deux substitutions (322). Les deux lettres (x, -t- a',, v, -1- jS’, ,...) et (x, -+- o, -+- /S, -t- J5',,...) qui leur sont respectivement associées dans la seconde substitution forment évidemment ensemble un nouveau cycle de la première.
Ces quatre lettres sont encore déplacées par la substitution J3, -I- et forment deux de ses cycles. On a donc ici une autre espèce de trios, dont les trois substitutions ont en commun qualerncs de lettres, les autres lettres qu’elles déplacent, en nombre — 4>*»-> = a"’’, étant différentes. Le nombre des lettres déplacées par quelqu’une de ces trois substitutions sera 4''^«i-i‘+‘ 3.a*“’= nombre total des lettres.
Le nombre des trios de cette espèce est g [{a’" — 1) (a’" — a) —
('.ar les deux substitutions [a, [i....], fa', |3'. •••] peuvent cire choisies de (a’* — 1) (a*" — a) manières. Il faut rejeter les combinaisons pour le.squelles on a K~i; et chaque trio correspond ii six des combinaisons restantes.
io
i:it UVRE DEUXIEME.
324. Soi! toujours Kîao, et .supposons ri >3. Les deux sub.stitutions
a,, ^ J, a,, ] ont en commun quaternes. Soient (a:,, y,
(x, -(- a' , y, ■+■ jS",, . . .) deux lettres quelconques prises dans deux qualernes diffèrcnls. Elles forment ensemble un cycle d’une nouvelle substitution ’a'|. jî’,...]. Cliercljons combien de lettres seront communes à la fois à cette substitution et aux deux precedentes.
r.hacune des deux substitutions ^ J, [a,, contenant ii la
fois les deux lettres d'un même cycle de on aura
Supposons toujours, pour fixer les idées, qu’on ait : un aura à
satisfaire simultanément aux quatre relations
dont la première détermine r, en laissant a;, indéterminé. Les trois autres déterminent les quantités x\ , r', de 1 manières dilTérenles : car ces relations sont entièrement analogues à celles du problème précédent, le nombre des inconnues étant diminué de deux. En effet ; 1“ on ne peut avoir à la fois pour toutes les valeurs a n de l’entier 0
3j a', 3» — 3* *" 3»> *1 af s a' -t- a" a,.
Ear ces relations, jointes aux suivantes : KsM = o, donneraient, dans le cas où a’ s a,, «'=«', jSJsîjy, , et enfin = et dans le cas où a, i=œ', + a, , a‘sEa, + a^, — La
racine (a;,-i-a', j, -h ,S" ,...) appartiendrait donc, contre l’hypoibèsc, au même quaterne que {x,, j, 2° on a la relation
Lar cette relation, développée, donne la suivante
DES SLBSnTüT10.NS. 2«.
ijiic les relations L = Ms=^ K = o, jointes à l’hypothèse a, ~ i , réduisent à l’identité
a, ( a', X, »’ ?i) “'i f »"i (il -t- *. ?’ ) -t- «’ («■ + a'i ?. 1 » O.
Donc Ir nombre des lettres communes aux troi^ substitutions sera
On peut les grouper en octaves. Car soit («,, y ) l’une d’elles : il existera
une autre lettre dont les indices sont respectivement x, + Xa, 4- X'a, -4- X^a, , V, 4-X^, 4-X'p', 4-X"^* quels que soient les entiers),, X', X". En effet, cela suppose seulement la relation
laquelle devient identique, en tenant compte des suivantes :
^ jr,y,= i, y a,y, a,?, ^ a, p; + a', .3, ss o , . . . .
Or il est clair (|uc les 8 letires obtenues par la variation de X, X', X" sont communes, non-seulement aux trois substitutions considérées, mais plus généralement aux sept qui sont contenues dans la formule
[fia, -4- fl' a’, H- fi'a' , up, + fi' P, -I- fi' P' , . . . ],
où p, p\ p" sont des entiers quelconques qui ne soient pas simultanément congrus à zéro. Elles formeront quatre cycles dans chacune de ces substitutions, la lettre (x, 4- X,a, -4-X'a, -4- X'a', ,...) par exemple, ayant pour asso- • ciée (x,-)- .'X -4- fij a,4- [X'4-p.'] ci, 4- '^X'4- fz'J a', 11 est clair d’ailleurs qu'en choisissant convenablement p, p', p’ on peut donner pour associée à la lettre donnée une quelconque des autres lettres du même octave.
82,3. Si n > 4, on aura plusieurs octaves. Soient (x, , y ) et
(a-, -4- a”, y, -4- [5",...) deux lettres quelconques, prises dans des octaves différents. On démontrera comme précédemment que les quatre substitutions fa,, "a’,, (5' ]. [a\, (ï", [a",, ont lettres com-
munes, lesquelles seront également communes aux iS substitutions données fHir la formule
( ,ua, 4 u'a’, ti'a' -4- ü"a7, fip, 4 fi'P', 4 p’Xi 4* /''PT,- • •]<
Ho.
a;«! LIVRE nEUXikME.
et pourront être groupées en faisceaux de i6, en réunissant ensemble celles que donne la formule
(^1 •+• -+• Vot’, X**7t ^*1 "1“ 1'^! 't- ^1»* • •/•
Les IcUres d’un même faisceau seront exclusivemenl associées entre elles dans les cycles des i5 subslitulions ci-dessus, et chacune d’elles le sera à toutes les autres.
Si n > 5, on continuera de meme.
326. Nous allons maintenant prouver que G dérive ties seules suhstilulions [a,, J3, ,...], et déterminer son ordre.
Lemme. — Ijp. groupe G est au moins deux fois transitif.
Kl d’abord, il est transitif. Car soient (x,, ,...), (x,. v',,...) deux
lettres quelconques ; G contient la substitution x, ■+■ x’, , y% J, qui
les remplace l'une par l'autre.
Cela posé, si G n’élail qu'une fois transitif, considérons celles de ses substitutions qui laissent immobile une lettre donnée (x,, y ). Les A, — i
autres lettres pourraient être réparties en classes, en réunissant ensemble celles que ces substitutions permutent entre elles; et l'une au moins de
ces classes contiendrait au plus i) lettres. Mais soit (x',,j’,,...)
une lettre appartenant à cette classe : la substitution [x, -t-x',, J
déplace a.R„, lettres. Soit (x’, j',...) une quelconque des
lettres restantes : la substitution [x, -t-x', , y,+y’,f'\ l’ail succéder
(x'.y'*,...) à (a^’|, y,,-..) sans déplacer (x,,y ); car si elle déplaçait
cette lettre, on aurait
et [xi-t-x'i.y, -i-y, ,...J déplacerait (x',,y,,...) (323), contre riiypotbése. Donc la classe à laquelle appartient (x', , y',,...) contient au moins les •*« — lettres telles que (x',, y’,,...). Mais A, — i (A„ — ij.
On arrive donc à une contradiction.
327. TRÉoaéiuE. — Le groupe G est dérivé des seules substitutions
[a,, (2 ] ; et son ordre ü„ est égal à
j (jR.— i) a” *. . . ■■R, — i) a* j i .ï.3.4.5, si « > a.
Gc lliéorème est évident si n = a, d'où A, = 6, = i. Car les suli-
stilutions [a,, ne contenant chacune qu’un cycle, ne sont autres que
les diverses transpositions que l’on peut effectuer entre les six lettres (x,, y ). En les combinant ensemble, nn obtiendra toutes les substitu-
tions possibles, en nombre i.a.3.4-S.6.
328. Nous allons maintenant prouver que le tbéorètne est vrai pour n s’il l’est pour /i — i .
Nous avons vu (32(>) que les substitutions dérivées de celles de la forme fa,, permettent d’amener deux lettres données, (o, o, i, i,o,
et (i, u, I, t, o, o,...) par exemple, à la place <le deux lettres quelconques. Soient donc L une substitution quelconque de G; V la substitution dérivée des substitutions [a, qui amène (u, o, i, i, o, o,...) et
(i, o, I, 1,0,0,...) aux mêmes places. On aura L = L'M, M étant une substitution de G, qui laisse ces deux lettres immobiles. Le nombre des systèmes de places distinctes que l’on peqt assigner à ces deux lettres étant d’ailleitrs égal à i), l’ordre de G sera — t) 0, 0 étant l’ordre
du groupe partiel H formé par les substitutions M ( ii).
Or ces substitutions, ne déplaçant pas (o, o, i, i, o, o, ...). (i, o, I, I, o, o,...) et n’altérant pas ip,, laisseront évidemment invariable la fonction partielle formée par ceux des termes de p, qui contiennent en facteur le produit de ces deux lettres. Mais soit
l’un de ces termes. Les relations (44) donneront
Donc les deux lettres (x, , y\ , a:’, , y, . a;’j , y, , . . .), {x\ , /, , x\ , /, , a-’,, /,,... ) forment un cycle de la substitution [i , o, o, o, o, o,...J. Donc les lettres qui figurent dans cette substitution seront précisément les mêmes que celles qui tigurent dans i)(. Les substitutions de H, n’altérant pas cette fonction, permuteront exclusivement entre elles les = a’""* lettres restantes,
qui n’y figurent pas. '
329. Celles des substitutions fa, )3,...j qui appartiennent è H permutent
i:W UVRE DEUXIÈME.
tran.silivi'inciit les a*"-* letlres ti-dessus. Su|)|nisons eu effel qu’il en soit autrement, et groupons res letlres en classes, en réunissant ensemble celles que CCS substitutions perinutenl entre elles. L'une au moins de ces classes contiendra tout au plus a’*'’ lettres. Mais soit (x,,j,, a-„ y,, x,, Vj,...) une lettre de cette classe: ses indices satisfont aux deux relations suivantes :
r, )'i + J-,/, + JT, J-, 4 ... » I, (x, -t- .T,/, -f- jr./j d'où
D’ailleurs, pour qu’une substitution [a,, jS,, aj, p,, a,, ,?i,...J ne déplace ni O, O, I, I, O, O,...) ni (i, o, i, i, o, o,...), mais déplace (x,, y,, Xj, J,, x,,^j,...), il faudra qu’on ait
(5i| (a, -I- I) -t- va, -K ly i) a, + . . . SH o, d'où jî.so,
.Vutant donc ce système de relations aura de solutions, autant on aura de
lettres (x, y, + ^ ) différentes de (x,, y,,...) et appartenant è la
meme classe.
Or il existe (259j a"“’ manières de déterminer a, -t- i, i,
a,, fi,,... pour satisfaire h la relation
{et,-*. I ) (P, -e I ’j -e a, p, .f . * o.
Posant en outre jS,==o, les relations (5o) et (5i) seront .satisfaites : et l'on pourra déterminer a, par la relation (5a), ce qui n’offre aucune difticulté, le coefficient y, -H |S,, qui le multiplie, étant congru à i.
Donc la classe considérée contient au moins a**-* -4- a*"’ -t- i racines, nombre supérieur b a”"’. Nous arrivons donc b une contradiction.
Donc les substitutions de II permutent transitivement les a’"*’ letlres considérées; cl son ordre est égal b a’”*’ O,, 0, étant l’ordre du groupe II, formé par celles de .ses substitutions qui laissent immobiles une de ces lettres, choisie b volonté, par exemple (o, i, i, i, o, o,...]. En outre, toute substitution M prise dans H pourra évidemment se mettre sous la forme .M'.M,, .M' étant la substitution dérivée de celles ite la forme [a,, |3,,...] qui amène (o, i, i, i, o, o,...) b In même place que M, et M, une substitution de H,.
.330. Les substitutions de H,, laissant immobiles les trois lettres (o. o, I, I, o, o,...), (i, o, I, 1,0, o,...), (o, I, I, I, o, o,.J.),' et n’alté-
rant pas 9,. n’altéreront pas les fonctions i)«,, respertiveinent for-
mées par ceux des termes de 9, qui contiennent en facteur les prodoils {o, O, I , I, O, o,...)(i , O, 1,1, O, O,...), (o, O, I, I, o,o,...)(o, I , I , I ,
{1,0, 1, 1,0,0, ...){o, 1, 1, 1,0,0,...). Elles remplacent donc les unes par les autres les lettres de la forme (o, o, x,, y,,...), qui seules
jouissent de la propriété d’étre déplacées par i|/ et par ^|/,, .sans l'être par J»,.
Soit donc 9', la fonction partielle formée par ceux des termes de 9, qui sont exclusivement composés avec les lettres (o, o, x„ y^, a;,, y,,...). Toutes les substitutions de H, laisseront invariable. Considérons d’autre part les substitutions [o, o, a,, |5,, /3, ,...], et désignons (lar
[o, o, S], les substitutions partielles obtenues en ne
conservant que ceux de leurs cycles qui sont formés par les racines (o, o, Xj, J,,...). Le ibéorème étant supposé vrai pour a(n — i) in-
dices, le groupe de la fonction 9', sera évidemment dérivé des substitutions [o, o, a„ |3,,...]', et son ordre sera égal à U,,. L’ordre du
groupe partiel formé par celles de ses substitutions qui laissent immobile la
lettre (0,0, I, I, o, o,...) sera Soient maintenant A' une substitution
de ce groupe partiel; A la substitution formée avec les [o, o, de la même manière que A' l’est avec les [o, o, «„ )3„ j3,, ...]'. Il est
clair que A permute les lettres (o. o, a,-,, v,, x^.y,,...} de la même manière que A'; donc elle laisse immobile la lettre (o, o, 1, i, o, o,...). D'ailleurs les substitutions [o, o, (i,, a,, jS,,...}, dont elle dérive, ne déplacent ni (1,0, I , I , U, o,.,.) ni (o, i , ■ , 1 , o, o,...); donc A ne les déplacera pas non plus, et appartiendra à H,.
.‘tSt. Les substitutions \ seront les seules que œntienne H,. Soient en
effet B une substitution de H,; B' la substitution obtenue en ne conservant que ceux des cycles de B qui sont formés par les racines (o, o, Xj, Vj, x,,y„...) : 9', sera invariable par B, ou, ce qui revient au même, par B'. Donc B' se confond avec l'une des substitutions .V. La substitution A, formée comme tout h l'beure, permutera évidemment les lettres (o, o, Xj, Vj, X,, Vj,...) de la même manière que B. On aura donc B = AC, C étant une nouvelle substitution qui laisse immobiles toutes les lettres (o, o, X,, V,, X,, y',,...) ainsi que (1,0, 1 , 1, o, o,...) et (o, 1. i, 1 , o, o,...j.
Or il est aisé de voir que C se réduit à l’unité. Car celte substitutirm, laissant immobiles les trois lettres (0,0, 1 , r , o, o,...), (1,0, i , i , o, o,...,. (o. o’, Xj.y'j, X,, y,,...), laissera invariable le terme de 9, qui seul est divi-
iiil ■ LIVRE DEUXIÈME.
üil)li‘ par leur produit. Üonc elle laisse iiDiuobilu la quatrième lettre qui figure dans ec terme, laquelle est (i, o, t,, y,, x„ y,,...). On voit de même que C, laissant immobiles (o, o, i, i,o,o,...), (o, i, i, i, o, o, ...), fo, o. Æj, Xj, y,,...), laissera immobile (o, i.Xj. y„ x,. Vi....). Considérons enfin une lettre de la forme (i, i, x,.yj. x,,y,,...) : cette lettre, multipliée par le produit
forme un terme de La substitution C, laissant immobiles ees trois dernicr.s facteurs, laissera le quatrième immobile. Donc C, laissant immobile une^ettre quelconque, se réduit à runité.
Donc les substitutions de II,, et par suite celles de G, dérivent toutes de
la combinaison des substitutions fa,, En outre, on a 0, = H".'',
et l'ordre de G sera égal i Remplaçant ü„, par sa
valeur déduite du théorème, que l’on suppose vrai pour n — i, le théorème se trouve démontré pour n.
:I32. Tiikobème. — Le groupe G etl isomorphe sans mèriédrie au grtntpc ahélieri.
Coosiderons en effet les deux substitutions
et cherchons la transformée de la première par la seconde.
Si la quantité
est congrue à i, chacun des cycles de S aura une de ses lettres, et une seule, déplacée par T (322). Lorsqu’on effectuera la transformation de S par T, cette lettre sera remplacée par celle qui lui est associée dans T, et
dont les indices surpassent les siens respectivement de a,, Donc les
.sommes d'indices, qui étaient respectivement congrues à x,, y dans
chacun des cycles de S, seront congrues à x, -h a,, y, -t- dans l'iiacun des cycles de la tran.sformée. Cette transformée sera donc
DES SUBSTITUTIONS. îil
Soit au contraire K==o. Si quelqu’un des cycles de S a l’une de ses lettres déplacée par T, l’autre le sera aussi; et les indices de ces deux lettres seront accrus de la même quantité par la transformation. Les sommes d’indices ilans les cycles de la transformée seront donc encore congrues h x,, V {mod. a), et la transformée sera égale à S.
On aura’ donc généralement
l«u iî (JCi.y* ]l«i. ? ] = [x, -e ai, K, K....].
333. Toute mbstUation de (î transforme la substitution [xi.y,,...] en une
substitution [Ç,, ri ], »j étant des fonctions linéaires de x,, v,,...
dont les roefficients satisfont aux relations qui caractérisent le groupe abèlien.
Ln eflct, K étant une fonction linéaire de x,, y,,... il en est de même de
X, •+■ a, K, y, -t- jS, K On vérifie d’ailleurs aisément que ces dernières
fonctions satisfont aux relations du groupe abélien. Donc notre assertion est vraie, si la transformante est une des substitutions [a,, p, ,...]. .Mais G étant dérivé de substitutions de cette forme, on obtiendra la transformée
de [x,, y j par une substitution quelconque de G en opérant une suite
de transformations par des substitutions de cette forme; et le type à la fois linéaire et abélien des fonctions se conservera à chaque transfor-
mation.
33i. Faisons inainlenant correspondre è chaque substitution T du groupe G, qui transforme r^i»yn”-] «n fE,, une substitution li-
néaire
Il est évident qu’au produit de deux substitutions de G correspond le produit de leurs correspondantes : dqnc les substitutions 0 forment un groupe F, isomorphe « G.
Cet isomorphisme n'est pas mériédrique. Cherchons en effet quelles sont les substitutions de G qui ont pour correspondante l'unité. Soit S l'une
d’elles. Elle est échangeable à chacune des substitutions [et,, ^ ]. Donc
elle permute exclusivement entre elles, d’une part les lettres que [«,, jS J
déplace, d’autre part celles qu’elle ne déplace pas.
Soient donc (x,,y,,...) une lettre quelconque; (x',, y' ) celle que S
lui fait succéder. Ces deux lettres devront être à la fois déplacées ou non déplacées par chacune des substitutions [a,, ,...]. On aur^^onc (319),
ttj LIVRE DEUXIÈME,
quels que soient ^,,...4 la relation
ij’oti
Doue S remplace (a;,t J ) par ellc-mcmc. Donc elle se réduit à l'unité.
Doue la substitution 1 de F correspond à une seule substitution de G; donc il n'y a pas de mériédrie.
L’ordre de F est donc égal à
ii, ü»-. = (»’•— 1) = (2” — I ..(2’— ija,
nombre égal ii l'ordre du groupe abclien. Mais d'autre part ses substitutions sont toutes abéliennes. Donc F se confond avec fe groupe abélien.
335. CoROLLsiRE. — Le groupe G est simple, si n > a. Car il est i.somorphe au groupe abélien, qui est simple (227).
Si n = 2, le groupe G est formé de toutes les substitutions possibles entre
six Ieltres.il a donc pour facteurs décomposition 2 et -■■■' (85). Il
en sera de meme du groupe abélien.
336. ÉrcDE DU groipe G,. — Considérons maintenant le groupe G,, dont les substitutions n’altèrent pas la fonction quel que soit l’entier p.
Soit t = {x,, y\ j'i'*’,..., y-i' ) l’un quelconque
des termes de 9^, p étant supposé impair. On voit comme au 11° 310 que le nombre m des facteurs de ( inaltérés par la substitution \a,, a„, ^„j
est congru à p(a, fi, -h . .. -h a„l}„). Donc, si «, (î, -I- . . . a,(5„== 1 , le nombre p — m des facteurs altérés sera pair. Soit alors
T=: (V,, v„. . x;,. V,). . . (XW. V.-' xt''. Vi,' )
ce que devient t par la substitution [«,, fi,,..., a„, jS„] : oh aura
X) 4- XJ + . . .sxj + xJ -I- . .. -h(u — m)ar, = o,
v; 4 v; + . . . =r’, 4-rJ + (f* - m) iî,=o.
Donc T sera un terme de 9,1 : et cette fonction n’est pas altérée par la substitution fa,, (i a„, sous la condition ci-dessus :
• a, 3, 4- . . . a. p, ra I .
DES SUBSTITUTIOKS.
.Nous appellerons, pour abréger, substitutions 2 celles de la forme [«,. [i fi„] qui satisfont à celte condition.
.^37. De même n'est pas altérée par la substitution
et plu.s généralement par celles de la forme
lorsque l'on a
ûti -e . . . -e a. Ea a , . -e » a , jâ* . -4- «fl (â., ^ o,
*' P', -t- a. IS", + a'. ^ P' -t- ?i'. + a", p',
Opérons en effet sur t la substitution [«,, fi,,..., a„, et soit
T = (X'.. V. X’.. Y',).. . (\<r\ V.-> XL'>, Y/>)
le ternie résultant : on aura
X' 4- X' 4- . . . 4- aj 4-. . .4- (// — m) a, = fia,,
• v; 4- v;4-...sr',-'-r;-^••■-*•(.“-'")Pt=^‘Pr
Opérons maintenant sur T la substitution a'„, ^',J; soit m' le
nombre des facteurs de T inaltérés par cette substitution : on aura (319)
m’ P', Xi 4- a. Yi 4-,..4* p'„ X« 4- a„ \ • 4- a, P, 4- . . . 4-a'„ p;,
= fl (a, P", 4- a', P.4-...4- a, p', 4- a’, p.) si o,
et si 6 = (?,, >7' ?.. V,)... lîi"’..... Ç,"'. >!L' ) est ce que devient T ,
par cette opération, on aura
