sx; +• x; 4-. . .4- (fl - m')«;»fi (a, 4- a

«J 4- nJ 4- . . . sa Y ^ 4- Y J 4- . • . 4- ( U — m’ ) Pj as 11 (P, 4- P, ).

Opérons de même sur 9 la substitution [a*,, fi',,..., a'., p'j. Soit le

il» UVRE DEUXIÈME.

nombre des fadeurs de S inaltérés par cette substitution : on aura

m' 5, K 5. -t- *; TT. -f- a, -4- . . . a, .

et si « = (sr, , H' , H’. ).. . (Si'', n>’ s,'’, II.'’) est ce que devient 5

par cette opération, on aura

ï;-*-E; + ...s5; -4-^ — m') a, ^ P («, + «; -4 a;)so.

h; + ii;+. . .Œni-f . .-f- ((1 - m-)a,= « (?, +

Donc 0 est un terme de : donc la substitution

n’altère pas mais transforme ses termes les uns dans les autres.

338. Théorémf. — groupe G, est dérivé des seules substitutions 2 et .V, et son ordre o>„ est égal à

4a.j(a>*-'-i)a— i)a»j Wn>a,

a.(i .1.3)’, si n = ».

-Soit d’abord n = a. On aura

et les substitutions qui laissent cette fonction invariable dérivent évidemment de la substitution A, qui permute outre eux ses deux termes, jointe aux substitutions 2, qui permutent deux à deux les facteurs de cbacun de ces termes. Il est clair en outre que G, a pour ordre a.(i . a.3)*.

Nous allons maintenant prouver que le théorème est vrai pour n, s’il l’est pour n — I.

339. Le groupe I dérivé des substitutions 2 est contenu dans tl, (336) :

il est d'ailleurs transitif. En effet, supposons qu’il en soit autrement; on pourrait partager les lettres en classes, en réunissant celles que les substitutions de I permutent ensemble. Soient C la classe la moins nombreuse, (x,, V,,...) une lie ses lettres: la substitution [a,, la remplace par

DES SUBSTITmONS

une autre lettre [x, + y, -4- jS ] si l’on a, outre les conilitions

la suivante

\55) + = ou j3,x,-+- x. t- a. i.æi 1.

On aura donc au moins autant de lettres dilTérentes de la proposée et appartenant à la même classe, que les relations (53) et (55) donnent de solutions pour a,, jS,,..., <x„, Or l’une au moins des quantités j,, v,,... dilTere de o (mod. a) en vertu de la relation (54). Soit, pour fixer les iilées, a:, = I. La relation (55) déterminera J5, en fonction des autres coeirieients. qui satisferont à la rongruence

I Œa, (I — a,j-, — p.Jr,— a,^, — — a,.v.) -1- a. 3, -f- . . . -4- a,

Cette congruence a aA«, solutions : car a, peut être choisi arbitrairement, et l’on aura ensuite manières distinctes de déterminer a,— a,x„ — et par suite, «„

Donc la classe C contient au moins -1- 1 lettres; donc In classe la

plus nombreuse en contiendra au plus — 1.

340. Ce résultat est inadmissible : car il est aisé de prouver que la classe

qui eSntient la lettre (1, 1,0, o o, o) contient plus de — i

lettres. En effet, cette lettre est déplacée par celles des substitutions 1, eu

nombre qui sont de la forme [a,, a, -4- 1, a,, ,3, fi„]. le.squellcs

la permutent avec les 2A„, lettres de la forme(a,-t-t.a,, a», jS,,..., a„ fi„),

et en particulier avec la lettre (1, o, 1, i ,...,o,o). Or, soient aj, j5,

J3, des entiers quelconques, .satisfaisant à la condition aj|3,-4-...-(-a,,'5, 1;

la substitution fa, -4- (3,, aj-4-^,-4- 1, a,, (i,,..., a„, [i„], laquelle est l’une des substitutions 1, remplace (1,0, 1, 1,..., o, o) par

En faisant varier aj, p»,..-, a„, (5„, on obtiendra 3i,, nouvelles lettres appartenant à la mémo classe que les précédentes, dont elles dilTére-

ront d’ailleurs essentiellement par cette circonstance que leurs deux premiers indices sont égaux.

iHî LIVRE REUXIÈME

La daüsc considcrpe conlipnl donc au moins 3a„ , lellres, nombre supérieur à A„— 2.R„.| — I, n étant supposé > a.

341. C.ela posé, soient L une substitution quelconque de G,, qui fasse

succéder (o, o, i, t o, o) à une autre lettre quelconque; L' la substi-

tution de I qui produit ce même résultat : on aura L = L'M; M étant une

substitution de G,, qui laisse (o, o, i, i o, immobile. Et l'ordre

de G, sera Ü étant l’ordre du groupe partiel H formé par celles de ses substitutions qui sont de la forme M.

342. La substitution M, n’altéraot pas la fonction n'altérera pas

la fonction partielle t)( formée par ceux de ses termes qui contiennent (o.o, o,u] en facteur. Mais le facteur qui multiplie (o, o, i , i,..., o, o}

dans (j/ est évidemment égal j v,) (x,, v', ty.). la

sommation s'étendant à tous les couples de lettres qui forment les cycles de la substitution [o, o, i, i,...,u, uj. Ces couples sont au nombre de (320 ; et M, laissant | invariable, permutera exclusivement entre elles les jR, — a.R,, — I = 2’*“’ — I lettres que cette fonction ne contient pas.

Kéciproquemcni, celles des substitutions de I qui laissent (n,<i,i ,i o,o)

immobile permutent transitivement ces a’""’ — i lettres. Car s’il en était autrement, on pourrait répartir ces lettres en clas.ses, en réunissant ensemble celles qui sont permutées ensemble par ces substitutions; et l'une au moins de CCS classps contiendrait au plus a” i lettres. C’est impossible; car, soit (x,,ji, x„ jj a;,. une lettre de cette classe, on aura ,

X, y. -t-(x, -4- lU -t-i) -t- . . .-t- x.y. SE o, d’où x,-i-r,»io.

La substitution [a,, a„ ^„..., a„, |3,^ sera de la forme Z, ne déplacera pas (o, o, I, 1 o, o) et déplacera x,,y, x„, y,), si

l'on a

», ;3, 4- a, 3, -t- . . . a. ïs I , », -t-3,so,

d'où

' i p, X, 4- a, r, 4- P,x, -+- a, y, -^ . . . -t- p. x. -t- a. y. sa i .

Mais (x,,y,, x,. y,. . . . , x„, r„) diffère de o, o, i, i, . . ., o, o); donc

OES SUBSTITUTIONS

^it J'i. J« nu- peuvent être à la fois congrus a zéro : les rela-

tions f 56) déterminent donc a,, |3, et l’une des quantités a,, ot„ a„, les autres restant arbitraires; ce qui donne a**-’ systèmes de valeurs

pour ces quantités. Donc la classe qui contient (x,./,, jTj, v, fn)

contiendra au moins a’" * lettres dilTércntcs de celles-lii; elle en contient donc plus de a’"”’ — i .

Cela posé, on aura évidemment M = .M’M,; M' étant une des substitutions de I, et M, une substitution de U,, qui laisse immobile, outre

(o, O, I, I O, o), l’une des a’*"*— i lettres considérées, par exemple

(i, O, I, I,..., o, o): et O .sera égal à (a”-*— i)0,, O, étant l’ordre du groupe partiel formé par celles des substitutions de G, qui sont de la forme M,.

343. La .substitution M,, n’altérant pas et laissant îininobiles les ileux lettres (o, o, i, i,..., o, n) et (i, o, i, i,..., o, u), laissera invariables les deux fonctions i|>, formées respectivement par ceux des termes de qui contiennent ces deux lettres en facteur. Donc elle remplacera les unes par les autres les lettres qui figurent dans iji, et non dans 4i. Les indica-s de ces lettres sont donnés par les solutions des congruences

Xiy, + X, y, x,y,-h . . ,sdt,