X.y, -h{X,-h 0 -t- Tj/. -4- . . . = o

y.Mi, x.asy.Ei —a:,—

le.squelles sont évidemment en nombre a’"*’.

Or celles des substitutions de I qui laissent immobiles (o,o, i , i,..., u, o; et (i, o, I, 1,..., o, o) permutent transitivement ces a’"”’ lettres. Car s’il en était autrement, on pourrait répartir ees lettres en classes, dont l’une contiendrait au plus a*"-* lettres. C’est impossible : car soit

(x,,y,,xj, y„) une de ces lettres; la classe qui la renferme

contiendra au moins autant d’autres lettres qu’il y a de solutions aux congruences

3, ar, -I- 3, y, ,3,x, -»- a, y, -4- 3, a-, -4- 3, y, = i .

d’oii

( 3, » 3» ^ ~ — • • • > ?, SB o,

aw LIVRE DELXIËME

l/iiiüicc V, étant congru à i, les relations (57) déterminerunt /5,, jSa, les autres coeflicients restant arbitraires : et l’on aura 2’"“' systèmes lie solutions. La classe considérée contient donc au moins 2’"“*+ i lettres.

Cela posé, on aura .M, = .M ".Mj, M' étant une des substitutions de I, et .M, une substitution de G,, qui laisse immobiles, outre (o, o, 1, 1,..., o, o) cl (t,o, I, i,...,o, o), l’une des 2’"“’ racines ci-dessus, (o, i, 1, i,...,o,o) par exemple; et l’on aura 0, = 2’"“’0„ O, étant l’ordre du groupe forme par celles des substitutions de G, qui sont de la forme M,.

3ii. La démonstration peut maintenant s’achever comme aux n“* 330-33 1 .

3i5. Hemarque. — Si n > 2, on vérilie sans peine que A est le produit

des six sub.stitutiuns [0,0 o, u, 1 , 1 , o, u], [o, o,..., Oj o, o, o, 1 , 1 , ,

[«,0,..., 1, I, I, I, 1, I J, [o, o,..., I, 1,0, 0,0, oj, fo, o,.,., I. 1, 1,0, 1,0 ,

'(>, u I, 1,0, 1,0, t], qui sont de la forme Z. Donc G, est dérivé des

seules substitutions Z.

346. Thkorkmk. — 1^ groupe (i, est isornorj>he sans meriédrie au premier groupe hyimabélieit.

Lu elTet, ce groupe étant contenu dans le groupe G étudié plus liant, chacune de ses substitutions transforme la substitution [a:,, y,,..., v„j

en une substitution [§,, £„ ir,„], £,, étant des fonctions

linéaires de x,, y,,..., x„, y„ (333). De plus, les cocilicients de ces fonctions satisfont aux relations qui caractérisent le premier groupe bypoabélien; car cette propriété sc vérifie immédiatement lorsque la transformante est une des substitutions .V ou Z; et G, étant dérivé de ces substitutions, un obtiendra la transformée de [a;,, v v,J par une substitution quel-

conque de G, en opérant une suite de transformations par des substitutions des formes \ ou Z; et le type à la fois linéaire et hypoabélicn des fonctions £,, y; T,„ subsistera à chaque transformation.

Formons comme au n" 334 un groupe F,, isomorphe à G,. Cet isomorpbisme ne sera pas mériédrique (334); et F, se confondra avec le premier groupe bypoabélicn Car ses substitutions sont bypoabéliennes : et son ordre, étant égal à celui de G,, est égal à celui de En effet, les ordres de ces deux derniers groupes, respectivement donnés par les théorèmes des n°’ 263 cl 338, sont égaux pour n = 2 ou 3 : et l’identité