GÉNÉRALITÉS

§ I". — TlItORIE GÉNÉRALE UES IRRATIONNELLES.

348. Soit F(.r)=o une équation algébrique quelconque de degré m. Elle aura m racines : cl l’on sait que toute fonction symétrique de ce.s racines s'exprime rationnellement par les coellicients de l’équation.

Ces fonctions sont en général les seules qui jouissent de cette jiropriélé. Supposons en effet qu’on ait ç = ij/, y étant une fonction non symétrique des racines, et ijj une fonction rationnelle des cociricicnts. Substituons dans à la place de chacun des coefficients sa valeur en fonction des racines; l’équation <p = ^ deviendra une relation entre les racines, relation qui ne pourra se réduire à une identité, puisque le second membre est symétrique, et que le premier ne l’est pas. Mais ou ne peut admettre qu’il existe en général et nécessairement aucune relation de cette espèce entre les racines : car on peut former une équation du degré m ayant pour racines m quantités entièrement arbitraires x,,..., x„. C'est donc seulement dans certains cas particuliers qu'il pourra exister entre les racines des relations telles, qu’une fonction non symétrique de ces racines soit exprimable rationnellement au moyen des coefficients.

Mais on peut généraliser le problème, et chercher quelles so'iil. poiir chaque équation donnée F(x)x=o, les fonctions des racines susceptibles d’étrê exprimées rationnellement en fonction des coeflicicnts et de certaines irrationnelles données arbitrairement à priori, irrationnelles que nous dirons adjointes à t équation.

Nous considérerons dorénavant comme rationnelle toute i|iiaiitilé cxpri-

UVRF. TROISIÈME.

ir.i

iiiahk ratiunnelleincnl au moyen des coefQcienls de l’éqiiaiion et des quantités adjointes. ^

Une équation a coefficients rationnels est dite irréductible, lorsqu'elle n’a aucune racine commune avec aucune équation de degré moindre et à coefficients rationnels.

3i0. Lemmc I. — Si l' urte des racines d’ une équation irréductible f[x) e>

satis/uit à une autre équation à coefficients rationnels <p[x) = o, toutes y sari font.

En ell'el, cherclions le plus grand commun diviseur de 9(0:) et de f{x) : il ne peut se réduire ii une constante, les équations f{x) = o et q(x) — o ayant des racines communes : ce sera donc une fonction de x, en

l'égalant ii zéro, on aura une équation dont les racines satisfont évidemment à chacune des deux équations 9(jr) = o et f[x) = o. dette dernière équation étant irréductible, le degré de ne peut être inférieur à ce-

lui de f{x) : donc est égal à f{x), à un facteur constant près.

CoROLi.AiHic. — Si toutes les racines de P équation ç{x) = o- satisfont à l'équation f{x) = o, :f(x) sera une puissance exacte de f(x), à un facteur ronstant prés.

En olfct 9(ar) est divisible par /(x) (Lciiime 1). Si le quotient de cette division ne se réduit pas à une constante, il sera lui-même divisible par /(.r): etc.

!)50. Lemmf II. — Soit F(x) =0 une équation dont les racines x

soient toutes inégales. On peut déterminer une fonction V de ces racines, telle, que les 1 .a.'i... m expressions que l'on obtient en v permutant les racines de toutes les manières possibles, soient distinctes en valeur numérique.

Posons en effet

V = MiX, -1- M,x, -1- ...,

étant des entiers indéterminés. En égalant entre elles deux quelconques des fonctions qui dérivent de V par des substitutions entre les racines x,,i..,x,„, on aurait une équation de condition à laquelle devraient

satisfaire .M,, Mj Aucune de ces équations n’est identique : car les cpef-

licients de dans chacune d’elles sont les différences des racines

.X,,.... x„, qui par hypothèse ne sont pas nulles. D'ailleurs ces équations sont en nombre limité. Il est donc aisé de déterminer les entiers M,, M,,... de manière à ne satisfaire à aucune d'elles.

DES IRRATIONNELLES, 2

' Nous désignerons dans ce qui suit par V, l’une des valeurs de la fonction V, choisie arbitraircmenl; par V„, V4,... les valeurs qui se déduisent de celle-là, lorsqu’on y effectue entre les racines les substitutions respectivement représentées para, b,....

351. D>noLLAiiiE. — Soit G un groupe quelconque de substitutions entre les racines x,,..., x„. On peut former une fonction W de ces racines, dont la valeur numérique soit invariable par les substitutions de G, et varie par toute autre substitution .

Soient en cflet i,a, b,... les substitutions de G. Posons W.. :(X- V,)(X-V.)(X-V4....

X étant une constante indéterminée. Une substitution de G, telle (|iie a, transforme W, en , ,

(\-V.)(\-\v)(X- Vw)...= \V.:

mais les substitutions 1, a, b,..., formant un groupe, se confondent, à l'ordre près, avec a, a*, ba,...\ les facteurs binômes qui composent W* sont donc les mêmes, à l’ordre près, que ceux qui composent VV, : cette fonction n’est donc altérée par aucune substitution de G. Soit au contraire a une substitution étrangère h ce groupe: elle transforme W, en

(\- V.)(X- V„)(X-Vh)... = VV..

Les facteurs binômes qui composent W, étant essentiellement différents de ceux qui composent W,, ces deux expressions ne sont pas identiques, et ne pourraient prendre des valeurs égales -que pour certaines valeurs particulières de la quantité X, qu’il sera aisé d’éviter.

352. Lemme III. — La fonction V étant choisie comme au lemme II, on pourra exprimer chacune des racines x,,...,x„ en fonction rationnelle de V, et des coefficients de F(æ).

Soient V,,...V|i les pt= 1 .a.3...(/w — 1) valeurs que prend V quand on y permute lesm— i racines x^, x,,...-, x„, sans changer la place de.r,.On pourra former une équation en V du degré p, à savoir :

(-) - (V-V,)(V-V,)...(V-VJ = o.

dont les racines V,,V,,... seront toutes différentes, et dont 1rs coefficients.

isi; ■ LIVRE TROISIEME.

qui sont fies lonelions syinélriques îles rarines de l'equalion

s'exprimeront rationnellement par les coefficiunls de cette équation, c’e.slk-dire en fonction de x, et des coefficients de F(x). Par suite réqualion (i) pourra être mise sous la forme

/ ilésignant une fonction rationnelle de V et de x,. Or cette équation est satisfaite pour V = V,; on aura donc identiquement

/(V„jr,) = o.

d’où il suit que l'équation '

sera satisfaite pour x = x, :cl par conséquent les équations F(x) = oel yi;V|,x) = o auront une racine commune x,. D’ailleurs ces équations ne sauraient avoir d’autre racine commune. Car si elles en avaient une autre. Xj, l'équation

serait satisfaite pour V = V,. Or cette équation se déduit de l’équation /(V,x,) = o, ou (V-V.)(V-V.) ,.{V-V,) = o.

en changeant x, et x, l’un dans l'autre : d’ailleurs par ce changement les quantités V,,V,,...,V^ se changent en d'autres V’,, V,,..., V"^ , toutes ilis* tiiictes des premières, par hypothèse; l’équation /(V,Xj) = o peut donc se mettre sous la forme

et l’on voit qu'elle ne saurait avoir V, pour raeine.

Les équations F(x) = O et /i V,,x) = o n’ayant que la seule i-acine commune X,, on déterminera aisément cette racine. Pour cela on cherchera le plus grand commun diviseur entre F(x) et /(V,,x), et l’on poussera l’opération jusqu'à ce qu’on obtienne un reste du premier degré en x : en égalant k zéro ce reste, on aura une équation qui fera connaitre la valeur de x,; et cette

ÎS7

DES 1RKATI0NNELI.es.

valeur sera évidcniincnt ralionnelle en V,, car l'opération du plus grand romniun diviseur ne peut jamais introduire de radicaux.

On pourrait opérer de même pour trouver les autres racine.s, et l’on aurait ainsi pour toute.s ces racines des expressions rationnelles, telles que

x, = ^,,(VO, X, = -{,.( V,

3.53. THK()KK.\IK FU.M)AMENT.\L : THéoRkME 1. - Soit F(jt) = o unr ct/ualion dont les racines x,,.,., x„ sont toutes inégales, et à laquelle on peut

supposer qu’on ait adjoint certaines quantités auxiliaires y, z Il existera

toujours entre les racines x,,..,, x„ un groiqie de substitutions tel, que. toute fonction des racines, dont les substitutions de ce groupe n altèrent pas la râleur numérique, soit rationnellement exprimable, et réciproquement.

Soit V, une fonction des racines variable par toute substitution ; si l'on désigne par a, b, c,... toutes les substitutions possibles entre les racines, la quantité V, est racine de l'équation

dont les coeflicienls. symétriques en x ,x„, sont rationnels. Si cette

équation n’est pas irréductible, son premier membre se décomposera du moins en facteurs irréductibles. Soit (X — V,)(X — 5',)(X — Vj)... celui de ces facteurs qui s’annule pour X = V, : V, sera racine de l’équation irréductible

(Xda posé, toute fonction q des racines, invariable par les substitutions I, a, b,..., sera exprimable rationnellement. En effet, chacune des racine.-.

X,, X, étant une fonction rationnelle de V, et des coefficients de

F(x), f sera elle-même une fonction ralionnelle de V, et des coeflicients. Soit donc ^(5 i) cette fonction. Elle reste invariable lorsqu’on y effectue entre les racines les substitutions a, b,.... Mais ces substitutions changent V, respectivement en V„, Vj,... et ne changent pas les coefficients de F{x); on aura donc

,},( V ,)=>},( V . )=.].( V ,)=... = i i 4- ( V .) -I. •>,( V. ) -e +( V. ) -t- ... i . en désignant |iar p le degré de l’équation (3). Cotte fonction, symétrique par

(l) SemëT, jH^èhre stiptricttir

l'apport aux racines de l’ér|ualion (3), s’exprimera ralionnelle.menl par les roeflicienls de celle équation, qui sont eux-mêmes rationnels.

Réeiproqueincnl, toute fonction exprimable rationnellement tem invariable par les suljstitutions i. a, b,.... Soit en efl'et ^ = >j/(V,) une pareille fonction : V, satisfaisant à l’équation à coefficients rationnels 9 = •ouïe'*

les racines V,, \'a, V’j,... de l'équation irréductihle (3) devront y satisfaire : donc la fonction ij<(V,) ne varie pas quand on y remplace successivement V,

par Va, V, ce qui revient à opérer entre les racines .r,,..., x„ les sub-

slitutions a, b,....

.35i. Il ne reste plus qu’à démontrer que les substitutions 1, a, b,... forment un groupe, ce qui ne présente pas de diflicullé.

Le polynôme V étant une fonction de rindélcrminéc X, ilonl les coelïi-

cientssont rationnels, ne devra varier par aucune des sulislitntions i , a, b

Kffecluons, par exemple, la substitution a. Ce polynôme devient

Pour que ce nouveau polynôme soit identiipio à Y, quel que soit \, il faut nécessairement que les quantités V„, V„,, ne soient autres que les

quantités V,, V„, V»,... à l'ordre près. Mais, par liypotlièse, deux substitutions distinctes donnent pour la fonction V des valeurs essentiellement différentes. Il faudra donc que les substitutions a, à\ ba,... .soient identiques à l’ordre près aux substitutions 1, a, b Ainsi, a et b étant deux substi-

tutions quelconques de la suite i , a, b,..., la substitution ba fera également partie de cette suite : les substitutions de cette suite forment donc un groupe.

355.. Le groupe défini par le théorème précédent peut être appelé le groupe de l'équation relatif aux quantités adjointes y, z„... Ce groufie pourra varier suivant la nature des quantités adjointes. Parmi tous les groupes que l'on peut ainsi obtenir, il en est un G particulii'rcmcnt remarquable, et que nous pourrons appeler d’une manière absolue le groupe de l'équation. C'est celui qu'on obtient en supposant qu’il n’y ait aucune quantité adjointe.

Ce groupe contient tous les autres : car, soit II le groupe que l'on obtient en adjoignant à l’équation des quantités y', :,... arbitrairement choisies: une fonction invariable par les substitutions de G et variable par toute autre .substitution est exprimable rationnellement avant, et « fortiori après l'adjonction de y, Z,...; donc elle sera invariable par toutes les substitutions de H : donc toutes ces substitutions sont contenuc.s dans G.

DtS IR«\T!OXXEU.ES. S.Mt

356. CoBOLLAiRR. — Si deux fondions des racines de la proposée,

sotil iniinériquomeni égales, la meme égalité subsistera entre les fonctions

obtenues en effeetuanl dans eliacunc d’elles l'une (|uelcon(|ue des substitutions de G, rar la funeliun p, — <}>,, étant nulle, est exprimable rationnellement; donc elle n'est pas altérée par la substitution a : donc O.

357. TiiÉOBiîMK II. — Toute équation irréductible F(jr) = o a son groupe transitif, et réciproquement.

Car supposons que son groupe G ne soit pas transitif : soient x, l’une

quelconque de ses racines: x les racines avec lesquelles elle est

perinutéc parles substitutions de G; ees substitutions, remplaçant les racines X les unes par les autres, n’altèrent pas leurs fondions symé-

triques : donc ces fonctions symétriques sont rationnelles. Donc F (x) admet le tliviscur rationnel (x — x,)...(x — x„).

Réciproquement, supposons que G soit transitif : F(x) ne peut admettre de diviseur rationnel tel que (x — x,)...(x — x„,). Car soit x„„, une racine de l'équation autre que x,,...,x„ : G contient une substitution qui remplace X, par x„*, : elle transformera (x — x,)...(x — x„) en un nouveau produit différent de celui-là, puisqu’il admet le facteur x — x„*, : donc le produit (x — x,)...(x — x„), n’étant pas invariable par toutes le.s substitutions de G, ne peut être rationnel.

358. Thkobf.me III. — L' ordre du groupe d’ une équation irréductible de degré n, dont les racines sont des fonctions rationnelles d'une seule d'entre elles, X,, est égal à n.

Car soient x les racines de l'équation, V, une fonction de ces ra-

cinse variable par toute substitution; elle peut s'exprimer en fonction de X, seulement. Soit V, =y(x, ) : cette fonction satisfait à l’équation de degré n

lv-/(x,);...[v-/(x,)] = o

dont les eocflicients, symétriques en x, x„, sont rationnels. Donc l’ordre

du groupe de l'équation (lequel est le degré de l’équation irréductible dont V, est racine) ne peut être supérieur à n. Mais, d’autre part, ce groupe étant transitif, son ordre est divisible par n (4i) : donc il est égal à n.

3.59. Théorkme IV.— Le groupe de l'équation de degré mn obtenue en

S60 LIVRE TROISIÈSiE.

éliminant y entre les deux équations

où A, B,... sont des constantes rationnelles et Mfj'), N(y),... des fonctions rationnelles de y, n est pas primitif. Réciproquement , toute équation dont le groupe nest pas primitif résulte d'une semblable élimination.

Soient y,,..., les raeincs de l'équation Aj" = o; -Tp, ....l'elles île l’équation M(jKp)ar*-t-... = o; f, une fonction symétrique de a-,, a:', la fonction analogue formée avec Xp, aj iji une fonction symétrique

de q f„. Celte fonction sera exprimable rationnellement : car Çp,

s'exprimant ralionneilemeni par les coefficients M(Vp),... est une fonction rationnelle de Vp, dont les coefficients ne dépendent pas de p; substituant dans I pour les quantités fp leur valeurs en y^, f deviendra une fonction

symétrique de : elle s’exprimera donc rationnellcincnl en A, B

Le groupe de l'équation est donc contenu dans celui dont les substitutions laissent invariable la fonction <{;• lequel est évidemment non primitif, scs substitutions remplaçant les racines de chacun des systèmes •r,, X, x„,x^,... par celles d'un même système.

Réciproquement, soit F(x] = o une équation dont le groupe G ne soit pas primitif. Ses racines se répartissent, par définition, en m systèmes

x,,x' ;...; x„, x'„ contenant chacun n racines, et tels, que toute

substitution de G remplace les racines d’un système par celles d'un même système.

Soient Vp = (X — Xp) (X — x' )..., X étant une indctcrinincc; ij/ une fonction symétrique de y y„: n’étant altérée ni par les déplacements

d'ensemble des systèmes x,, x', x„, ni par les déplacements

des racines dans l'intérieur de chacun d'eux, sera invariable par toute substitution de G, et par suite rationnelle. Les diverses fonctions/ /„ sont

donc les racines d'une équation du degré m à coefficients ralioiincls, telle (|ue

A r“ ■+■ Bj'"'" = O.

Cela posé, toute fonction symétrique de x,, x',,... s’exprime rationnellement en fonction de/, (txMr plus loin le n” 362). On aura donc

On aura de même

DES IRRATIONNEU.es.

Donc enfin l’équalion

F(ar) = [M(/,)jc*-l-. . + . .] = o esl le résultat de l'élimination de y entre les deux équations

A»-" -1-. . . = O et M(y)x*+ .. = o.

360. Nous dirons désormais qu'une équation est primitive ou non primitive, simple ou composée, suivant que son groupe est primitif ou non primitif, simple ou composé : l’ordre de l'équation et ses facteius de composition seront l’ordre et les facteurs de composition de son groupe: deux équations seront isomorphes si leurs groupes sont isomorplies, etc.

361. Le groupe d'une équation étant connu, on peut se proposer de le diminuer progre.ssi veinent par l'adjonction successive de quantités auxiliaires. A chacune de ces adjonctions deux cas pourront se présenter, i® Si l'équation irréductible (3) reste irréductible, il est clair que le groupe ne subira aucun changement. Si au contraire, grâce à l'adjonction nouvelle, le polynôme (X — V,) (X — V„) (X — V»). . . .se décompose en facteurs plus

simples, (X — V,) (X — V.)..., (X — V*) on obtiendra un nouveau

groupe H, moindre que G, et formé des seules substitutions i , a

Nous examinerons d'abord ce qui arrive lorsqu’on adjoint à l’équation proposée certaines fonctions de ses racines; puis nous passerons au cas où les quantités adjointes seraient des fonctions des racines d'autres équations.

362. ïiitoRÉME V. — Soient G le groupe d'une équation F(.r) = o, f, une fonction rationnelle quelconque de ses racines ; i" celles des substitutions de G qui n altèrent pas la valeur numérique de q, forment un groupe II, ;

l'adjonction de la valeur de ip, réduira le groupe de l'équation précisément

ÙH,.

I® Soient en effet a, a, deux substitutions de G qui n’altcrcnt pas p,; on aura p„=p,, p, =p,. De la dernière égalité on déduit (356) la suivante, p„„ = p„ = p,. Ainsi la substitution a, a n’altérera pas la fonction p,, ce qui démontre la première de nos propositions.

a® Adjoignons la valeur de p, à l’équation. Après cette opération, le groupe réduit de l'équation ne peut contenir que des substitutions qui faisaient partie du groupe initial G : d'ailleurs il ne peut contenir que des substitutions qui n’altèrent pas p,, la valeur de cette quantité étant supposée rationnellement connue ; donc toutes ses substitutions sont contenues

LIVIIE TIUIISIEME.

tliiiis II,. Récipruqueiiivnl il contietiiira toutes les sulistilutiuiis de II,. Soient en effet a une de ee.s dernières substitutions, i}i, une fonction des racines exprimable rationnellement en fonction de ç, et des <)uantités préerdemnient connues: et soit

/ dési};naut une fonction rationnelle. On déduira de cette égalité la suivante (356), = /,(?«)• comme — •! vieniira ij(„= :j/,. Ainsi, toute

fonction :|<, exprimable rationnellement sera invariable par la substitution a : cette substitution fait donc partie du groupe réduit.

CoROLLviRK I. — l' adjonclion de plmieun functiofis des racines, <f,, f’,.... réduit le. groupe de l'équation au grou/ie H' formé par celles de ses substitutions qui n altèrent ni f,, nif,, etc.

txiROLLMRK II. — Dcujc fonctions et imariables par les mêmes substitutions de G, s’ expriment rationnellement l'une par l'autre.

Gar, en adjoignant q, à l’équation, on réduit son groupe à celles de scs substitutions qui n’altèrent pas et :{i,, étant invariable par ces substitutions, devient rationnel.

363. On peut réaliser le calcul de ij/, en fonction de q, de la manière

suivante. Soient i,a,a celles des substitutions de G qui laissent la

valeur de q, invariable : celles de G seront i, a, a ; b, ab, a,b,...\

c, ae, a, c, b,c,... étant des substitutions convenablement choisies (39). Cela posé, on voit comme au n® 61 : i“ que, m étant un entier quelconque, la fonction

VT 4-, + V? -t- 9“ = i‘r'

est invariable par les substitutions de G, et par suite exprimable rationnelletnent; 3® qu'en posant

il viendra

, G >■ "tj • ■

I.cs quantités qui entrent dans cette expression avec q, sont et les coellicients de /(Y), lesquels, étant également invariables par les substitutions de G, sont rationnels.

DES IRRATIONNELLES i«,a

364. Soit maintenant T| une fonction des racines de l’éqiialion proposée F(a:) = «, invariable par les substitutions de G, et variable par toute

autre substitution. Chacune des quantités / et chacun des coelli-

cienls de /(Y) peut s’exprimer en fonction de r, et des coefficients de F(æ’). En ell'et considérons l'une il'elles, telle que Soient i, a, b,... les substitutions de G : les diverses substitutions possibles entre les racines de la proposée seront a^, y, ay, Ay,. fi, y,... étant

des substitutions convenablement choisies (3!t); et l'on voit comme tout à l'heure que, n étant un entier quelconque, chacune de ces substitutions laisse invariable In fonction

On aura donc

{/I étant le degré de la proposée), expression symétrique par rapport aux racines, et qui pourra s’exprimer rationnellement en fonction tics coeflicients de F(x), par les méthodes connues.

Soit maintenant

il viendra

expression qui ne contient avec t, que les quantités 5,, 6',,... et les coefficients de ^(Z), lesquels, restant aussi invariables par toute substitution opérée entre les racines de l'équation F(x) = o, seront aussi exprimables rationnellement en fonction de .ses coefficients.

365. La méthode de calcul qui vient d’étre exposée est due à Lagrange. Il s’en «St servi pour établir la proposition suivante :

Soient F(x) = o une équation algébrique ; t, une fonction de ses racines, dont l'expression algébrique reste {mariable par un certain groiqie de substitutions (i , fl, b,...), et dont toutes les valeurs algébriquement jjistinctes le soient aussi numériquement. Toute /onction t, des racines de cette équation dont ces substitutions ri altèrent pas la forme algébrique est exprimable en fonction rationnelle de T, et des coefficients de F(a:).

au LIVRE TROISIÈME.

Soient en effet i, a, b,...; |S, aj3, •/, ay, by, les diverses

sulislitutions possibles entre les racines; n un entier quelconque : la fonclion t", <1 U- tj /■) + ... = 6 sera invariable par toute substitution et par suite s'exprimera l'ationnellement en fonction des eoeflicients. Cela posé, /, s’exprimera par la formule (4).

366. Tiikorkxie VI. — Tout étant posé comme au théorème V, soient a„, a,, flj,... les substitutions de II, (a„ se réduisant à i); a,, a,, a,,...; a, b, a, b, a,b,...; a„e, a,c, a^c, celles de G : iéyuation

dont le degré est égal au rapport des ordres de Q et de W,, aura ses coefficients rationnels, et sera irréductible.

i” Soit (7 une sub.stitution quelconque de G : elle transforme les uns dans les autres les termes ç*, y,,.. (61 et 363). Les eoeflicients de l'cqua-

lion (5), syinéiriques en f,, ç*. ç, ne seront donc pas altérés pare:

mais O est l’une quelconque des substitutions de G : donc ils sont rationnels. '

a” l/équatiun (5) est irréductible : car si elle admettait, par exemple, le facteur rationnel (Y — ^,){Y — ys), ce facteur resterait inaltéré par la .substitution c : mais cette substitution le transforme en (Y — ç>c)(Y — 94,) • pour qu’il restât inaltéré, Y restant indéterminé, il faudrait que 94* fussent égales à l'ordre près à 9,, 94. Soit par exemple 9^ = 94 : on en conclurait 9,4-' = 9, (356). Donc cb~' serait l’une dos substitutions a„,a„ a„... et c serait de la forme a^b, ce qui n’est pas.

367. Kfmarqi f.. — Ijes substitutions de G qui naltérent pas 9, étant

a„,a celles qui naltérent pas 94 seront b~' a„b, b~‘ a,h,...; celles qui

naltérent pas Oc seront c~‘ a,c, c"‘a,r,.,.; etc. Car soit o une substitution de (î qui n’altère pas 94 : on aura

94 = 94,, O'où 9. = 94j-i, d'ou beb 'zc^a,, 7 = lr 'a,b.

368. Tiiéohèjie Vil. — Tout étant posé comme aux théorèmes précédents, l 'adjonction simultanée des valeurs rfc 9 , , 94, 9^, . . . réduira le groupe de l’équation proposée à I,T étant le groupe le plus général parmi ceux qui sont contenus dans H, et permutables aux substitutions de G.

1-in elTet, le groupe se trouve réduit aux substitutions communes aux

DES IRRATH)NNELLES. 2f»Ti

f;roii|ies

\ii=z{b 'a,h, b a,b, ), II, = ( c“'n,c. . . . . .

lospcctivciiu'nl formés par les suhsiitutions qui ii'altiTenl pas ç,, jj, if,

Or soient J le groupe foriné par ces substitutions communes; s une queleonque de ses substitutions; <7 une substitution quelconque de G : la substitution a~'s<j sera commune aux groupes transformés de II,, Ht. H,.--par IX. Mais ces groupes transformés sont identiques, à l’ordre près, à 11,, Hj,

Car cbacunc des substitution.^ a, 6a, ca appartenant à G, pourra

se mettre sous l’une des formes a^, a^b, a^c,.... Soit par exemple bc = a^rt; le groupe transformé do llj par a sera formé «b-s substitutions

v~' b~'a,b 7 =• ' n,a,d, 7 'b~' a,b7 = it ' a~' a,a,d,. . . ,

(|ui ne sont autres i|ue les substitutions de Hj. Donc o-“'ja appartient à J : ce groupe est donc permutable à a : donc il e.sl. contenu dans I.

Réciproquement, le groupe I étant contenu dans H,, les transformées de .ses substitutions par b, c,... seront contenues dans llj. Ht,...; mais ces transformées reproduisent, à l’ordre près, les substitutions de I; donc toutes les substitutions de I sont communes a H,, Hf lU....

36U. Remarque. — Dans le cas particulier où H, serait permutable à toutes les substitutions de G, on aurait

ll. = II*=:ll,=... =1.

et les fonctions^,, invariables par les mêmes substitutions de G,

s’exprimeraient rationnellement en fonction de l’une quelconque d’entre elles.

Réciproquement, si les fonctions^ ,, f/,, s’expriment rationnellement en fonction d’une seule d'entre elles, elles seront invariables par les mêmes substitutions de G : on aura donc H, = Hi= et ce groupe sera trans-

formé en lui-même par toutes les substitutions de G.

370. TnéoRKME VIII. — Soient îi l’ordre de G; = — l'ordre de \ : l'ordre du groupe G' de l'équation (5) sera v.

Posons en cfl'et W = M,9, -i- M,,M», Me,... étant des coDslantcs indéterminées : W sera racine d’une équation irréductible d’un degré égal à l’ordre du groupe de l’équation (5) (353). Mais, d’autre

*«i UVRE TROISIEME.

|);irl, \V pcul être considérée comme fonction des racines de l'équalion Ffx) = o, laquelle fonction, non altérée par les subslüutions de I, l'est évidemment par toute autre substitution de G. Elle dépend donc d'une éi|ualion irréductible dont le degré e.st égal à v, rapport des ordres de G et de 1(366).

.371. TuKoRtjiE IX. — S'il n'existe aucun groupe plus général que I qui soit contenu dans G et permutable à ses substitutions, le groupe G' sera simple.

t]ar s’il existe un groupe I' contenu dans G' et permutable à ses substitutions, suit v' son ordre : une fonction des racines de l’équation (5), invariable par les substitutions de I' et variable par toute autre substitution,

dépendra d'une équation irréductible de degré A (366), dont les racines

seront fonctions rationnelles les unes des autres (369). .Mais peul élie considérée cuminc une fonction des racines de F(^) = o; soit L le groupe formé par celles des substitutions de G qui ne l’altèrent pas : i** L contiendra 1, dont les substitutions, n’altérant pas fe peuvent altérer tji;

3“ il .sera plus généi'al, car son ordre étant égal à celui de G, divisé par le

degré ^ de l’équation irréductible dont dépend t), (366). est égal

celui de I étant simplement — ; 'i" enfin les racines de l’équation en ^ étant

fonctions rationnelles les unes des autres, L est permutable aux substitutions de G (369).

En renversant ce raisonnement, on démontre que : réciproquement, s'il existe un groupe L plus général que I, qui soit contenu dans G et permutable à ses substitutions , G' ne sera pas simple; car on pourra déterminer un groupe r contenu dans G' et permutable à ses substitutions.

372. THÉonéME X. — Soient F(a') = o une équation dont le groupe G soit eumpoté : G, I, 1,,... une suite de groupes tels : i" que chacun d'eux soit contenu dans le précédent et permutable à ses substitutions ; 2“ qu'il soit aussi général que possible parmi ceux qui satisfont à celte double propriété; N,

.^, . . . !et ordres res/iecti/s de ces groupes :

•la résolution de l'équation proposée dépendra de celle d'équations successives, dont les groupes seront simples, et contiendront respectivement v, v

substitutions.

(’.ar soit q, une fonction des racines de la proposée, invariable par les

DES IRRATIONNELLES. liiT

siilistitutions F : die Hé|)cn(l d’une équation de degré v (366) dont le groupisera simple (371) el d’ordre v (369 et 370). (^ttc équation résolue, le groupe de la proposée sera réduit à I : soit maintenant ç', une fonction de» racines invariables par les substitutions de I, : elle dépendra d'une équation de degré v,, dont le groupe sera simple et d’ordre v,, etc.

Ce théorème montre qu'on peut classer les équations à groupe composé d’après le nombre et la valeur de leurs facteurs de eomposilion v, v

373. Supposons maintenant qu’on adjoigne à l'équation proposée F(a:; = o une ou plusieurs fonctions des racines d’une autre équation f{z) = o.

Le cas où l’on adjoindrait plusieurs fonctions x,.... revient à celui où l’on n’en adjoint qu’une seule : car soient G' le groupe de l'équation /(;) = O, H', le groupe formé par celles de scs substitutions qui n’altèrent

aueiine des fonctions r, une fonction de z invariable par

les substitutions de H', et variable par totite autre substitution. L’adjonction de réduisant le groupe de /(a) = oâ H',, dont les substitutions n’allèrent pas r,, celte fonction deviendra exprimable rationnellement. Réciproqiiemeiit, l’adjonction der, réduisant ce groupe à IT,, dont les substitutions n’altèrent pas/,,/',,..., ces fonctions deviendraient rationnelles. Donc toute fonction rationnelle de r, s’exprime rationnellement en y,i. et réciproquement. Donc il est indifférent d'adjoindre à une équation quelconque, soit y,,... soit simplement r,. .

.374. .\djoignons donc à l’é(|uation F(x) = o l’unique fonction r, : soient

a les substitutions de H',; «o, a ; a,-/, a, y

celles de G' : r, dépend d’une équation irréductible

Supposons que l’adjonction de r, réduise le groupe de F(x) = o à FF,: soient, comme tout à l’heure, a,,... les substitutions de ce groupe; a„ a : üçb, a, h,...; a„c, a, c, celles de G. Soient entin f, une fonc-

tion des racines de F(a^) = o, invariable par les substitutions de H,, et variable par toute autre subslilulion; clic satisfera à l’équation

Mais, par hypothèse, s, est une fonction rationnelle der, ; soit f, = '{'(r,) : r, sera racine de l’équation

.Mnis, (l'autre part, r, salisrait à r(>quation irréductible (G). Une des ra> cines de rette équation satisfaisant à l’équation (8), toutes y salisfont (349). Donc les quantités ijifr,), satisfont touTes à l'équation f 7).

Mais elles .satisfont à l'équation

(<J) l' - >Hr,)][V — +(r,)][Y — •)((r,)]... = o,

dont les cocniicients, symétriques en r,, r^, sont rationnels.

Les racines de l'équation (g) satisfaisant toutes à l’équation irréducliblc (7), le premier membre de (()) sera une puissance exacte du premier membre de (7) (349), à un facteur constant près, qui se réduit ici à l’unité, les deux polynômes ayant l'unité pour coeflicient de leur premier terme. .Soit a le depré de cette puissance : la suite des termes ■('(c,), s|/(/'jt),... contiendra fl termes éj^aux à f,, égaux à y», etc.

(iela posé, adjoignons à l' équation F(x] = o l'une quelconque des racines de r équation (7), telle que Cp : le groupe de l'équation sera réduit à 11,, au groupe lli dérivé des substitutions {b~' a^b, b~^ a,c,..,), nu groupe analogue Hf, etc., suivant que >(<(r^) sera égal à ç,, « f*. à

En efl'ct, soit par exemple ij>(rjj) = j». L’adjonction de rp rendant rationnel, le groupe réduit H ne peut contenir (|ue celles des substitutions de G qui n’altèrent pas 9*, c’est-à-dire celles de II4. Le nombre de ces substitutions étant égal à celui des substitutions de H,, on voit que l'ordre de n est nu plus égal à relui de H,. Ilériproqucment, en partant de la racine au lieu de partir de la racine r,, on verrait que l’ordre de II, est au plus égal à celui de II : donc ces deux ordres sont égaux, et II contiendra toutes les substitutions de H*.

37.Ï. THtoHKME XL — Les notations du numéro précédent étant conservées, si H', est permutable aux substitutions de G', H, le sera à celles de G.

En effet. H', étant permutable aux substitutions de G', le.s racines de l'équation irréductible (6) dont dépend r, sont fonctions rationnelles les unes des autres (369). Donc les fonctions 9,, çj. fe,... sont respectivement des fonctions rationnelles de r, : donc elles sont invariables par les substitutions deH, : mais elles le sont respectivement par celles de H,, H», H,....: donc ces groupes sont identiijues, et H, est permutable aux substitutions de G.

376. TnkoRÈ.ME XII. — Si l'on adjoint à l'équation F(.r) = o, dont le groupe est G, toutes les racines d'une équation /( a) = o, le groupe réduit H, sera permutable aux substitutions de G.

DES IRRATIONNELLES

Car iiiijoiniire à la fois toutes les racines de /(2) = o équivaut à adjoindre une fonction V, de ces racines, variable par tnute subslitiition autre que l'unité (373). Mais alors le groupe H',, se réduisant à la seule substitution I, est évideinmeut perunitaiile «ux subslilutiogs de O' ; donc II, le sera à celles de G.

377. C.oroi.laire. — Si le groupe G est simple, il ne peut éire réduit par la resolution d’une équation auxiliaire sans se réduire ii la seule substitution I (le groupe formé de celle substitution étant, par définition, le seul qui .soit contenu dans G et permutable à scs substitutions) : auquel cas l'équation F{a:) = osera complètement résolue.

378. 'riiLORLSiE XIII. — Soient F(x) = o et f[z)=zo denx équatium dont les groupes (î et G' contiennent respectivement N et .N' substitutions. Si lu résolution de la seconde éqiutlion réduit le groupe de la premicie à un groupe II,

ne contenant plus que ^ substitutions, récipnuptement ta résolution de ta première réduira le groupe de la seconde à un groupe 11’, ne contenant plus que

substitutions . De plus, les deux- équations sont composées avec une même équation au.vitiaire -^(h) = o de degré v et dont le groupe contient v substitutions.

Kn effet, soit x„) une fonction des racines de F(.r) = o, inva-

riable par les seules substitutions de H,. Elle est exprimable rationnellement en fonction des racines z 2„ de /(a) = o. On aura donc

Cette quantité i{( (a;,,..., a?„,) dépend d'une équation auxiliaire irréductible (u) = o de degré v (366). D'ailleurs, 11, étant permutable à G (376), les racines île cette équation sont des fonctions rationnelles les unes des autres (369), et son groupe contient v substitutions (358). La résolution de celte équation auxiliaire réduit le groupe de F(x) = o aux seules substitutions de H,, en nombre — ■ Elle abaissera de meme le groupe de f{z) = o de

telle sorte qu'il ne contienne plus que — substitutions; en effet, suit K le nombre des substitutions du groupe G' qui n’altèrent pas x.(Zi>---iZ„) = tr, U dépendra d'une équation irréductible du degré ^ degré de celle

équation est égal à v; ilonc = v, d'où K =

La l'OMlutioii dv l’équalion F(x) = o cntrainant celle de l’équation auxiliaire .i(u) — o, dont les racines sont des fonctions rationnelles de x

x„, réduira le groupe de f{z) = o de manière à ce qu'il contienne tout

au plus ^ substitutions : il ne pcut'd’ailleurs en contenir un moindre

nombre : car si le groupe réduit if, contenait seulement ^ substitutions,

U. étant un nombre plus grand que v, on verrait, en répétant tous les rai- •sonnements que nous venons de faire à partir de l’équation /(i)= o, que la résolution de cette équation devrait réduire le groupe de F(x) = o à ne

plus contenir (|ue ^ substitutions tout au plus; résultat contraire à notre bypotbèse d'après laquelle le groupe réduit H, contient ^ substitutions.

370. <X)BOLLAini' I. — S«' le f^roupe Ct de T équation F(x) = o est simple, elle ne peut être résolue qu'au moyen d'équations dont le groupe ail pour ordre un multiple de l'ordre de fi.

Car, adjoignons à cette équation les racines d'une équation auxiliaire fiz) = o; si son groupe est abaissé, il est réduit à la seule substitution i :'3T7). Donc l’ordre du groupe de F(x) = o, qui était N, sera réduit à i par l’adjonction des racines de f[z) = o. Donc réciproquement l'adjonction des racines de F(x) = o à l'équation y(s) = o divisera par N l’ordre de son groupe. Donc cet ordre est un multiple de N.

380. CoBOLLAiRE II. — Sf le groupe de F(x) = o est abaissé par la résolution d'une équation simple /(-) = o, les racines de cette dernière équation sont des fonctions rationnelles de x,,..., x„.

(iar la rràolution de F(x) = o, abaissant le groupe de/(2) = o (378), résout complètement cette dernière équation (377).

('.ette proposition est l’extension de co théorème d'Abel : Si une étpiation est soluble par radicaux, chacun des radicaux qui concourent à sa résolution est une fonction rationnelle, de ses racines et des racines de l'unité.