Remarque. — Si la fonction t}>(x est variable par toute

substitution opérée entre les racines x x„, ces racines sont exprimables

rationnellement en fonction de ;ji(.r,,..., x„) (352), et par suite en fonction de s, 2„. La résolution de l’équation /(i) = o entraincra donc la

résolution complète de l’équation F(x) = o.Si en même temps s„)

DES IBHATIONNEIXES. i7l

i-sl varinblo par toute substitutran o|>érée entre iea z„, lu résolu-

tion de F(x) = o entraînera celle de y(a) = o. Les deux équations seront dites eifiiivalentes.

tioHOLi.^iRE III.. — Deux équations équivalentes Ffxj —o et y"! j; = <> ont leurs ordres égaux.

Soient- en effet N l’ordre de l'équation F(x) = o, N' relui de ré<|uation /(s) = O. La résolutuin de /(s) = o réduit le groupe de F(x) = <i à la seule substitution i; donc la résolution de F{x) = o réduira legroupe de /' z) = o

à ne plus contenir que ~ substitutions (378): mais la résolution de F X) rxz o

entraînant celle de /(*) = o, réduit le groupe de cette dernière équation à

la seule substitution i; on doit donc avoir ^ = i, d'où N =

OoHOU.UHE IV. — Toute adjonction de quantité auxiliaire qui abaisse le groufse de l'une de ces deux éqiustions en divisant par v le nombre de ses sub~ stitutions abaisse de même le groupe de T autre.

Kn effet, les équations étant équivalentes après l’adjonction rumine avant, leurs groupes ne devront pas cesser de présenter le même nombre de substitutions.

De ce corollaire un déduit, comme conséquence immédiate, la pnqiusition suivante ;

t'arnoLLAiHE V. — Toute équation équivalente à une équation composée est elle-même composée des mêmes équations auxiliaires.

.38i. PiiOBLèME. -- Déterminer toutes les équations irréductibles équivalentes à une équation donnée F(x) = o.

Soit f(z) — o une de ces équations. La résolution de F(x)=*o devant entraîner celle de f[z) = o, les racines z,,..., z„ de cette dernière équation

sont des fonctions rationnelles de x, x„. Soit donc z, =7, ; désignons

comme précédemment parG le groupe de F(x) = o; par a,, a,,... celles des substitutions de G qui n'altèrent pas la fonction 7,, lesquelles sub.stitutiuns

forment un groupe H,; par a„ a ; a,b, a, a,c, a, c,. ..;... celles

de G. Nous avons vu (366) que l’équation irréductible dont dépend 7, est

Î7i LIVRE TROISIÈME.

puis que l’adjonction simultanée de ses racines réduit le groupe de la proposée il I (368). Mais celte adjonction doit résoudre complètement la proposée; donc 1 se réduit à la seule substitution i : d'où ce résultat :

Pour qu'une iquatuin imductible /‘(s) = o suit équivalente à F{o:) — o il faut et il suffit ; i“ que l'une de ses racines, z,, soit fonction rationnelle des racines dé K(x) = o; a“ que le groupe H, formé par celles des substitutions de G [groupe de F(a') = oj qui n altèrent pas cette fonction ne contienne aucun groupe, permutable aux substitutions de tî (sauf celui qui est formé de la seule substitution i ) .

383. Suit H, un groupe quelconque satisfaisant ii la eunditiou ci-dessus :

il existe une inliniléde fonctions de x, x„ invariables par les substitu-

tions de H,, et variables par toute autre substitution de G. Chacune d’elles sera la racine d'une équation irréductible équivalente à la proposée F(x) — o et dont le degré v est égal au rapport des ordres île G et de H,.

Soient f, et f, deux ipielcouques de ces fonctions;

les équations irréductibles dont elles dépeudeni : ç, et f, étant invariables par les mêmes substitutions s’expriment rationnellement l'une par l'autre.

Soit donc 9, = i)/(j,). On en déduit ip', = '(/fçj), etc. (356). Donc les di- \erses racines de l’équation /'(Y) = o .s’expriment par une même fonction rationnelle des diverses racines de /(V) = o. On passera donc de l’une à l'autre de ces deux équations par une transformation rationnelle.

On peut considérer comme appartenant à la même classe deux équations telles, que les diverses racines de l’une d'elles s'expiinient respectivement par une même fonction rationnelle des racines correspondantes de l'autre. Le nombre des classes d'équations irréductibles équivalentes à la propo.sée F(x) - o est nécessairement limité, et qn pourra le déterminer en eberebant quels sonfles divers groupes H, contenus dans G et jouissant de la propriété indiquée au numéro précédent : on remarquera d'ailleurs que les v groupes

correspondent aux diverses racines d'une même équation et ne fournis.senl ainsi qu'une seule et même classe.

384. TuriORÈME XIV;— Soient F(x) = o et f(z) = o deux équations irréductibles dont les racines soient liées par des relations algébriques

DES irrationnelles 273

f>fx, jr„, î,) = o Toutes ces relations se dèduisen! d' une seule,

de la forme

où les racines des deux écfuations sont séparées (t|/ et / dési};nanl, ainsi que 9, des runeiions rationnelles convenablement choisies).

Soit en effet V, une fonction de variable par toute substitution: chacune des quantités x x„ est exprimable en fonction ration-

nelle de V,; substituant ces expressions dans la fonction 9, il vient une équation de la forme