I.a quantité V, satisfait donc i l'équation
D'autre part elle satisfait (353) à l'équation irréductible de degré N,
ff(X) = {\- V.)(X- v,)(\- V,)... = o,
Ordonnons les deux polynômes ^'(X, z a,) et n(X) suivant les puis-
sances descendantes de X. et divisons le premier par le second : il viendra
p(X) et (7(X) étant deux polynômes entiers par rapport à X, à coefficieuts
rationnels en z a. et le degré de a(X) par rapport à X étant au plus
égal it ,N — I .
Soit donc
ï(X)=AX" M BX»-’ ■ deux cas pourront se présenter :
I" Si I on a simultanément \ = o, B = o, .... on aura, au lieu de l'équation unique
“ = ?'( V„ J z.) = P(V,).t:(V.)-i- AV'î'-e BV»-*-,....,
les suivantes :
dont la première est une relation entre les racines x de l'équation
f (^) = D. les autres des relations entre les racines z,... r, de /(a) = o;
i7« UVRE TROISIÈME.
c’est grâce à la présence de ces relations que peut exister l'équatiifn (lo) (|ui ne lie <ftîen apparence les racines de F(x) = o à celles de y(i) = o. tie cas doit donc élrc rejeté.
a® Si l’on n’a pas Biniiiltanénient \ = o, B = o,..., divisons le polvuome c(X) par le coelTicient de la plus haute puissance de X, puis cherchons le plus grand commun diviseur A de ce polynôme avec le polynôme ft(X). Les
cocITicients de A seront des fonctions rationnelles de : D’autre part,
en désignant par V,, V„, celles des racines de !:^\) =•<) qui satisfont
en même temps à l’équation 5’(X) = o, on aura
et les quantités V,, V„ Va,,... étant des fonctions rationnelles de .r
si l'on développe le polynôme A suivant les puissances de X, les coefficients de ces diverses puissances seront eux-mêmes des fonctions rationnelles
de X Mais nous venons de voir que ces coefficients s’expriment
également en fonction rationnelle de z égalant ces deux expres-
sions pour chaque coefficient, on aura une suite de relations de la forme
(") '}''(•* -•). J"-) — /," (îi.- ... î.).. ..
f.a relation (i«) n'est qu’une conséquence de celles-là : en effet les relations (i i) expriment que les deux polynômes o(X) et ir(X) s'annulent tous deux pour X = V,, X = on aura donc en particulier
Il nous reste à démontrer que toutes les relations (i i) qui peuvent exister entre les racines des deux équations F(x) = o et = o sont des conséquences d’une seule il’cntrc elles. Cette démonstration n’offre aucune dilliculté. Soient en effet H, ce que devient le groupe de l’équation F(x)=^ « par l’adjonction des quantités ^m) nue fonction inva-
riable par les seules substitutions H,; elle sera exprimable rationnellement en fonction de ; et l’on aura ainsi
'Har ) = •/,( J i.).
Les autres fonctions «{>', (l)". ... rationnellement exprimables eu fonction des z„ .sont invariables par les substitutions de H, et par suite fonc-
tions rationnelles de ij/. Leur expression en fonction de z,,..., z„ se déduit donc de celle de <}< en fonction de ces mêmes quantités.
DES IRRAT10NNF.IJ.es
.‘J85. TiiKonriHF, XV. — Aucune équation irréductible de degré /iremier p ne peut être résolue au moy en d' équations auxiliaires de degré inférieur.
r.Hi' l'équation étant irrétlurtible. son gruu|Uï est transitif : il a <lum' son orilrc divisible par p\ et l’on voit par le tbéorènie XIII qu'il continue h être divisible par p tant qu’on n’emploieia pas d'équation auxiliaire dont l’ordre soit divisible par p. Mais l’ordre du groiipc'd'une éi|uation auxiliaire de degré q<.p est un diviseur de 1.2. ..y; il est donc premier à p. Donc l’ordre du groupe de l’équation proposée restera divisible par p tant qit’on n’emploiera i|ue de semblables équations.
él86. THéosé.Hi: XVI. — L'équation générale du degré n ne peut être résolue au moyen d' équations de degrés inférieurs [sauf le cas où n = 4)-
En efTel son groupe a pour ordre 1.2... n. En résolvant une équation du second degré on peut le réduire au groupe alterné, dont l’ordre est '
.Mais ce nouveau groupe est simple (85). Donc l’équation ne peut plus être résolue qu’au moyen d'une équation auxiliaire telle, que l’ordre de .son
groupe soit au moins égal à - . Mais si q est le degré de cette éf|ua-
tion auxiliaire, son ordre divise 1.2.. .9. Donc q ne peut être moindre que n.
